# Логарифмическая функция, её график и свойства

> График y = log_a x: откуда берётся логарифмическая кривая, почему аргумент строго положителен, как меняется монотонность при смене основания — с примерами и тренажёром.

**Алгебра, 10 класс.** Урок бесплатного онлайн-самоучителя «ШкольныйГид». Обновлено: 2026-09-26.

Страница урока: https://shkolniygid.ru/algebra/10-klass/logarifmicheskaya-funkciya/

Звукорежиссёр смотрит на пульт: разговор — 60 децибел, метро — 80 децибел. Кажется, метро «на 20 громче», но на самом деле его мощность больше в сто раз: разница в 20 децибел означает умножение на 10². Логарифм спрятан в самом определении децибела — там стоит десятичный логарифм отношения мощностей. Громкость, яркость звёзд, кислотность растворов, время удвоения вклада — везде, где величины различаются в миллионы раз, шкалу сжимают логарифмом. Чтобы уверенно работать с такой шкалой, нужно знать её функцию: y = log_a x. Сразу оговорим записи: десятичный логарифм по основанию 10 обозначают lg, натуральный по основанию e — ln, а во всех остальных случаях основание пишут снизу.


### Определение: логарифм как степень


Ещё один знакомый пример — кислотность. В химии pH измеряется как минус десятичный логарифм концентрации ионов водорода: у лимонного сока pH около 2, у нейтральной воды — 7, у мыльного раствора — около 10. Разница всего в несколько единиц шкалы, а по концентрации это различия в миллионы раз: каждый шаг по pH — умножение в десять раз. Именно так работает логарифмическая шкала: равным шагам на шкале отвечают равные кратности в жизни.


Логарифмическая функция определяется через показательную. Запись log_a x = b означает ровно одно: a^b = x, то есть b — это та степень, в которую нужно возвести основание a, чтобы получить x. Спрашиваем «в какую степень возвести 2, чтобы вышло 32?» — ответ log_2 32 = 5. Из этого определения мгновенно следует область определения: возводя положительное основание в любую степень, невозможно получить нуль или отрицательное число. Поэтому у y = log_a x аргумент обязан быть строго положительным, а область значений — все действительные числа: степени бывают и дробные, и отрицательные.


$$\log_a x = b \quad\Leftrightarrow\quad a^b = x,\quad a > 0,\ a \neq 1$$

*Определение логарифма через показательную функцию*


Логарифмическая и показательная функции — взаимно обратные, как возведение в квадрат и извлечение корня. Следствие красивое: их графики зеркальны относительно прямой y = x. Кривая y = 2^x прижата к оси Ox слева и взмывает вверх справа; кривая y = log_2 x прижата к оси Oy внизу и растёт вправо всё медленнее. Проверка на числах: два в пятой — тридцать два, а логарифм тридцати двух по основанию два — пять; каждый переход возвращает нас обратно. Монотонности у пары совпадают: показательная растёт при a > 1 — и логарифмическая растёт при a > 1.


*[Интерактив: График y = log_a x с подвижным основанием — доступен на странице урока]*


**Десятичный логарифм** — Логарифм по основанию 10, обозначается lg: именно он стоит в определении децибела
**Натуральный логарифм** — Логарифм по основанию e ≈ 2,718, обозначается ln: главный в математическом анализе
**Основание** — Число a > 0, a ≠ 1: от него зависит монотонность и крутизна кривой
**Вертикальная асимптота** — Прямая, к которой кривая прижимается, не пересекая: у логарифма это ось Oy


### Монотонность: два случая


Всё поведение функции упирается в основание. При a > 1 функция возрастает: чем больше x, тем большую степень нужно выставить, чтобы добраться до него. При 0 < a < 1 показательная функция убывает, поэтому логарифмическая тоже убывает: чем больше аргумент, тем меньшая степень нужна. Например, log_3 27 = 3, а log_3 9 = 2: аргумент вырос — логарифм вырос; для убывающей кривой всё было бы наоборот. Опорная точка одна и та же для всех оснований: log_a 1 = 0, ведь любое положительное основание в нулевой степени даёт единицу. Через эту точку проходят все логарифмические кривые — по ней удобно начинать построение.


| Свойство | a > 1 | 0 < a < 1 |
| --- | --- | --- |
| Монотонность | возрастает | убывает |
| Знак на (0; 1) | отрицательный | положительный |
| Знак на (1; +∞) | положительный | отрицательный |
| Поведение около нуля | уходит в −∞ | уходит в +∞ |


Из таблицы видно, как быстро определять знак: log_2 (1/8) = −3 — аргумент меньше единицы, основание больше, значение отрицательное. А вот log_{0,5} 8 = −3: здесь основание меньше единицы, и большой аргумент даёт отрицательный логарифм, ведь 0,5 нужно возвести в минус третью, чтобы вышло 8. Проверка через определение занимает одну строку и спасает от ошибок со знаками. Сравнивая кривые с разными основаниями, замечай закономерность: чем больше основание, тем положе график справа — чтобы подняться на единицу, большему основанию нужен больший аргумент.


Монотонность превращает логарифмические неравенства в простые шаги. Пример: log_2 x < 4. Основание больше единицы, логарифм возрастает, значит x < 2⁴ = 16; не забываем область определения: x > 0, итого 0 < x < 16. А вот с убывающей функцией знак переворачивается: log_{0,5} x < 2 означает x > 0,25 — аргумент должен быть больше, потому что кривая спускается. Правило короткое: растёт — знак сохраняется, убывает — переворачивается, а область определения выписываем всегда.


> **Ловушка.** Область определения — первое, что нужно проверять. log_2 (−4) и log_2 0 не существуют: отрицательные числа и нуль аргументом быть не могут, даже если при решении уравнения вышел «красивый» корень. Вторая классика: при основании меньше единицы знак неравенства переворачивается — из log_{0,5} x > 1 следует x < 0,5, а не x > 0,5. Третья: логарифм квадрата существует и при отрицательном x, ведь x² положителен, поэтому log_3 9 и log_3 (−9)² — законные записи, а вот log_3 (−9) — нет.


### График: как он устроен и что умеет


Строить кривую удобно по степеням основания. Для y = log_2 x берём точки (1; 0), (2; 1), (4; 2), (8; 3), а для дробных аргументов значения отрицательные: (1/2; −1). Соединяем плавной линией. Две её особенности: слева она прижимается к оси Oy, которая работает вертикальной асимптотой — кривая уходит вниз бесконечно, но ось не пересекает; справа она растёт всё медленнее, чтобы подняться на единицу, аргумент приходится удваивать. Именно поэтому логарифмические шкалы и удобны: они сжимают огромные разбросы в компактную картинку.


**Построение y = log_2 x по точкам**

1. Отмечаем опорную точку, общую для всех логарифмов: логарифм единицы равен нулю. — $$\log_2 1 = 0$$
2. Добавляем точки в степенях двойки: два в первой, второй, третьей степени. — $$\log_2 2 = 1,\quad \log_2 4 = 2,\quad \log_2 8 = 3$$
3. Для дробных аргументов значения отрицательные: половина — это два в минус первой. — $$\log_2 \frac{1}{2} = -1$$
4. Соединяем плавной кривой: слева прижата к оси Oy, справа растёт всё медленнее. График готов.


С логарифмом удобно жить в степенях основания. log_5 25 = 2 и log_5 125 = 3 — ответы считываются с показателей. Полезное следствие: log_2 (2x) = log_2 x + 1 — удвоил аргумент, к логарифму прибавилась единица. Поэтому кривая и растёт так неспешно: чтобы значение выросло на три, аргумент должен вырасти в восемь раз. Для десятичного логарифма ещё нагляднее: lg 100 = 2, lg 100000 = 5 — пять порядков величины на крошечном отрезке шкалы.


*[Интерактив: Разложи свойства по основаниям — доступен на странице урока]*


Чтение графика отвечает на вопросы без вычислений. Сколько решений у уравнения log_2 x = 5? Проводим горизонтальную прямую на высоте 5 — одно пересечение, одно решение, и оно рядом с 32, ведь 2⁵ = 32. Что больше: log_3 5 или log_3 7? Основание больше единицы, функция возрастает, значит больше логарифм большего аргумента. Сравнения, которые в лоб требуют таблиц, монотонность решает взглядом.


График отвечает и на вопрос о числе корней. Решим log_2 x = 6 − x: левая часть возрастает, правая убывает, значит пересечение единственное; подбираем по степеням двойки — при x = 4 слева и справа по двойке, корень найден. Так рисунок заменяет длинную алгебру: наложи пару кривых, посмотри на точки пересечения — и ответ уже виден.


> **Совет.** Держи в голове степени двойки до тысячи: два в десятой — это 1024, поэтому log_2 1000 — чуть меньше десяти. Такая прикидка мгновенно оценивает порядок ответа. Готовый результат проверяй возведением: получил log_5 x = 2 и x = 25 — умножь 5 на 5 и убедись. И помни опорные точки: (1; 0) и (a; 1) — если твой график через них не проходит, где-то ошибка. Перед построением полезно встряхнуть память: чему равно log_a a? Единице, ведь основание в первой степени даёт само себя.


*[Интерактив: Прикинь логарифм — доступен на странице урока]*


Логарифмическая функция — фундамент для следующего этапа: свойств логарифмов, которые превращают произведения в суммы, и логарифмических уравнений, где область определения проверяется в первую очередь. На экзамене график помогает прикинуть число корней, а монотонность — расставить знаки в неравенствах. Собери кривую по точкам в тренажёре, прогони квиз — и логарифм перестанет быть абстракцией: у него появится лицо на графике.


## Частые вопросы

### Почему у логарифма нет графика слева от оси Oy?

Положительное основание в любой степени даёт строго положительное число: нуля и отрицательных значений показательная функция не достигает. Поэтому аргумент логарифма обязан быть положительным, и слева от оси Oy кривой просто нет.


### Чему равен логарифм единицы?

Нулю при любом допустимом основании: a⁰ = 1. Поэтому все логарифмические кривые проходят через точку (1; 0) — это удобная опорная точка при построении.


### Чем логарифмическая функция отличается от показательной?

Они взаимно обратные: логарифм отвечает на вопрос «в какую степень возвести основание», показательная функция — «что получится в этой степени». Их графики зеркальны относительно прямой y = x, а монотонности совпадают.


### Как сравнить два логарифма с одинаковым основанием без вычислений?

По монотонности. При основании больше единицы функция возрастает: больше аргумент — больше логарифм. При основании от нуля до единицы всё наоборот: больший аргумент даёт меньший логарифм.


## Проверь себя (вопросы и ответы)

#### Вопрос 1: Вычисли log_2 32.
**Ответ:** 5

*Пояснение: 2⁵ = 32, поэтому логарифм равен 5. Логарифм — это показатель степени.*


#### Вопрос 2: Какая точка лежит на графике y = log_2 x?
- ✅ (8; 3)
- ☐ (3; 8)
- ☐ (2; 0)
- ☐ (1; 1)

*Пояснение: log_2 8 = 3, значит точка (8; 3) принадлежит графику. В точке (2; 0) значение должно быть 1, а log_2 1 = 0.*


#### Вопрос 3: Верно ли, что график y = log_a x существует только при положительных x?
- ✅ Правда
- ☐ Неправда

*Пояснение: Да: показательная функция с положительным основанием не даёт нуля и отрицательных чисел, поэтому аргумент логарифма строго положителен.*


#### Вопрос 4: Какие функции возрастают на всей области определения?
- ✅ y = log_5 x
- ✅ y = log_2 x
- ☐ y = log_0,5 x
- ☐ y = log_0,9 x

*Пояснение: Возрастают те, у кого основание больше единицы: 5 и 2. Основания 0,5 и 0,9 меньше единицы — эти функции убывают.*


#### Вопрос 5: Расставь числа по возрастанию: log_2 8, log_2 3, log_2 0,5, log_2 1.
**Правильный порядок:** log_2 0,5 → log_2 1 → log_2 3 → log_2 8

*Пояснение: Значения: −1, 0, около 1,6 и 3. Функция возрастает, поэтому порядок чисел повторяет порядок аргументов: 0,5; 1; 3; 8.*


#### Вопрос 6: Сопоставь объект и его описание.
- y = log_2 x — возрастает, проходит через (1; 0)
- y = log_0,5 x — убывает, проходит через (1; 0)
- ось Oy — вертикальная асимптота кривой
- область определения — все положительные числа

*Пояснение: Обе кривые проходят через (1; 0), различает их монотонность; асимптота и область определения общие.*


#### Вопрос 7: Дополни.
График y = log_a x всегда проходит через точку (**1**; 0), а при основании больше единицы функция **возрастает**.

*Пояснение: Логарифм единицы равен нулю при любом основании; при основании больше единицы кривая идёт вверх.*


## Тренажёр

На [странице тренажёра](https://shkolniygid.ru/algebra/10-klass/logarifmicheskaya-funkciya/trenazher/) — 3 типов задач с бесконечными вариантами чисел, проверкой ответа и разбором каждого шага.