# Что такое функция — алгебра 7 класс: область определения и график > Тариф такси 100 + 12s подводит к главному определению алгебры: функция, аргумент, область определения. Строим графики y = x² и y = x³ по таблице значений. **Алгебра, 7 класс.** Урок бесплатного онлайн-самоучителя «ШкольныйГид». Обновлено: 2026-09-27. Страница урока: https://shkolniygid.ru/algebra/7-klass/chto-takoe-funkciya/ Такси в твоём городе берёт 100 рублей за посадку и 12 рублей за каждый километр. На 3 километра выйдет 136 рублей, на 7 — 184, на 15 — 280. За каждым таким расчётом прячется правило: сколько километров ни назови, стоимость определяется однозначно. Такое правило «одно x — ровно один y» математики называют функцией, и на нём держится вся алгебра с седьмого класса до ЕГЭ. ### Функция: правило «одно x — один y» Функция — правило, по которому каждому значению одной переменной соответствует ровно одно значение другой. В тарифе такси независимая переменная, её называют аргументом, — километраж s; зависимая — стоимость C. Правило записывают коротко: C = 100 + 12s. Область определения — все значения аргумента, которые имеет смысл подставлять: поездка не бывает отрицательной, так что здесь s ≥ 0. У функции y = 5 : (x − 3) область определения своя: x ≠ 3, потому что при x = 3 получится деление на ноль. > **Ловушка.** Не всякая зависимость — функция. Если «числу x ставим в соответствие все его делители», то у числа 12 делителей шесть — правило даёт много ответов сразу, и функцией оно не является. Вторая ловушка — область определения: подставлять x наугад нельзя. В y = 5 : (x − 3) значение x = 3 запрещено, а для корней, как узнаешь в восьмом классе, запрещены отрицательные подкоренные числа. ### Таблица значений и график Чтобы нарисовать график, составляют таблицу значений: несколько удобных x и их y. Для y = x² берут x = −2, −1, 0, 1, 2 и получают 4, 1, 0, 1, 4 — точки ложатся на плавную кривую, её называют параболой. У y = x³ картина другая: при тех же x значения −8, −1, 0, 1, 8, и кривая уходит слева вниз, а справа вверх. График — не украшение: это все пары (x; y) сразу, по нему видно поведение функции целиком. | x | y = x² | y = x³ | | --- | --- | --- | | −2 | 4 | −8 | | −1 | 1 | −1 | | 0 | 0 | 0 | | 1 | 1 | 1 | | 2 | 4 | 8 | $$C = 100 + 12s$$ *Стоимость поездки как функция пройденного пути s* **Строим график y = x² по таблице** 1. Составляем таблицу значений: при x = −2, −1, 0, 1, 2 получаем y = 4, 1, 0, 1, 4. 2. Отмечаем точки (−2; 4), (−1; 1), (0; 0), (1; 1), (2; 4) на координатной плоскости. 3. Соединяем плавной линией — выходит парабола: ветви вверх, вершина в начале координат. 4. Проверка подстановкой: точка (3; 9) тоже должна лечь на кривую, ведь 3² = 9. Сошлось. *[Интерактив: Построй свою параболу — доступен на странице урока]* > **Совет.** Функцию всегда можно проверить подстановкой пары значений: посчитал C для s = 3 по формуле и по правилу — совпало, значит понял верно. А при построении графика держи контрольную точку: подставь ещё одно x, которого нет в таблице, и посмотри, ложится ли результат на кривую. *[Интерактив: Карточки терминов — доступен на странице урока]* ### Четыре способа задать функцию Одно и то же правило можно упаковать по-разному, и на уроках все четыре упаковки встречаются постоянно. Формула — самый точный способ: C = 100 + 12s мгновенно считает стоимость для любого километража. Таблица значений — способ для проверки и построения: несколько пар «аргумент — значение». График — вся функция целиком одним взглядом. А словесное описание выручает там, где формулы нет: «каждому натуральному числу ставим в соответствие его квадрат» — это тоже функция, заданная словами. - формулой: y = 2x + 5 — точно и подходит для любого x - таблицей: пары значений для нескольких удобных x - графиком: кривая на координатной плоскости - словами: «каждому числу — его квадрат» Способы свободно переводятся друг в друга, и именно это спрашивают на контрольных. Дана таблица — распознай формулу: значения 1, 3, 5, 7 при x = 0, 1, 2, 3 намекают на y = 2x + 1. Дана формула — построй таблицу и график. Дан график — прочитай по нему пару точек. Гибкость между способами и есть понимание темы: застрял на одном виде записи — считай, функции не понял. ### Линейная функция: коротко о главной Самая важная функция седьмого класса — линейная: y = kx + b. Её график — прямая, k задаёт наклон, b показывает, где прямая пересекает ось y. Тариф такси 100 + 12s — линейная функция: посадка даёт b = 100, а каждый километр добавляет по k = 12 рублей. При k > 0 прямая идёт вверх, при k < 0 — вниз, а при b = 0 она проходит ровно через начало координат. $$y = kx + b$$ *Линейная функция: её график — прямая* Линейность узнаётся по одному признаку: аргумент в первой степени и ничего не перемножается с самим собой. Сколько стоит поездка на 10 километров? 100 + 12 · 10 = 220 рублей. Каждая прибавка в один километр даёт одну и ту же прибавку в цене — по 12 рублей, и это главный след линейности. В жизни таких зависимостей полно: оплата электричества по счётчику, бак, наполняющийся с постоянной скоростью, духи, которые наливают по граммам на кассе. Проверь на глаз: равные шаги входа дают равные шаги выхода — перед тобой линейная функция. ### Функции вокруг тебя Как только начинаешь смотреть на мир глазами функций, они лезут отовсюду. Масса куска железа зависит от его объёма: 1 кубический сантиметр — это 7,9 грамма, значит m = 7,9v. Длина окружности зависит от радиуса: C = 2πr, около 6,28 сантиметра на каждый сантиметр радиуса. Путь автобуса зависит от времени: 45 км/ч умножить на часы в дороге. В каждом примере одно и то же: назвал вход — получил единственный выход. Задание функции — это договор. Область определения — та часть договора, где перечислено, какие входы вообще принимаются. У такси это s ≥ 0: километраж не бывает отрицательным. У функции y = 5 : (x − 3) запрещён только x = 3. У счётчика электричества вход — израсходованные киловатт-часы, и дробные значения там тоже допустимы. Умеешь читать эту часть договора — никогда не подставишь в формулу то, чего формула не принимает. Историки математики приписывают слово «функция» Лейбницу: в рукописи 1673 года он назвал функцией отрезок, связанный с точкой на кривой. Эйлер в XVIII веке ввёл короткую запись f(x), которой пользуются до сих пор: f — правило, x — вход. Запись y = f(x) означает ровно это: возьми x, прогони через правило f, получи y. Полезно научиться и читать график, нарисованный кем-то другим. На графике поездки видно, где такси стояло в пробке: участок, где линия ползёт вправо, а высота не меняется, — стоимость не растёт, значит машина не едет. Крутой подъём линии — быстрый набор рублей. График отвечает на вопросы быстрее таблицы: сколько заплатим на 20-м километре, когда счёт перевалит за 250 рублей, растёт ли цена вообще. Эти навыки пригодятся и на физике, где графики скорости и пути встречаются каждый месяц. ### Разбор типовой задачи **От слов к формуле и графику** 1. Условие: оператор берёт 200 рублей абонплаты и 5 рублей за каждый гигабайт трафика. Слова переводим в формулу: C = 200 + 5g. 2. Область определения: расход трафика не бывает отрицательным, значит g ≥ 0. 3. Таблица значений: при g = 0, 1, 2, 3 получаем C = 200, 205, 210, 215. 4. Отмечаем точки (0; 200), (1; 205), (2; 210), (3; 215) и проводим через них прямую. 5. Проверка по формуле: g = 4 даёт 200 + 20 = 220 — точка (4; 220) ложится на прямую. 6. Читаем график: k = 5 — каждый гигабайт дороже на 5 рублей, b = 200 — даже при нулевом трафике платим 200. ### Словарь урока **Функция** — правило: каждому значению аргумента соответствует ровно одно значение **Аргумент** — независимая переменная, значение выбираешь ты **Значение функции** — зависимая переменная y, получается из аргумента по правилу **Область определения** — все значения аргумента, которые имеет смысл подставлять **Линейная функция** — функция вида y = kx + b, её график — прямая **Таблица значений** — способ задать функцию набором пар «аргумент — значение» ### Как это спрашивают на контрольной - «Найди значение функции по формуле» — подставь аргумент и не потеряй минус - «При каком аргументе значение равно…» — реши уравнение: здесь функция читается наоборот - «Задай функцию формулой по словам» — выдели постоянную часть и часть, растущую с x - «Построй график по таблице» — точки, проверка контрольной точкой, плавная линия *[Интерактив: Функция или нет? — доступен на странице урока]* ## Частые вопросы ### Чем функция отличается от уравнения? Функция — правило пересчёта: подставляешь любой x, получаешь y. Уравнение — вопрос: при каком x равенство верно. В функции ищут значение по аргументу, в уравнении — сам аргумент. ### Что такое аргумент простыми словами? Это число, которое ты выбираешь и подставляешь. В тарифе такси аргумент — километраж: его задаёшь ты, а стоимость получается сама. Аргумент всегда один на «входе» правила. ### Как по таблице понять, что зависимость — не функция? Посмотри на столбец x: если одно и то же значение x встречается с разными y, правило даёт несколько ответов сразу — это не функция. Повторы x с одним y не мешают. ### Зачем рисовать график, если можно считать по формуле? График показывает всё поведение сразу: где функция растёт, где убывает, где вершина. По формуле придётся пересчитывать десятки значений, а график отвечает на взгляд. ## Проверь себя (вопросы и ответы) #### Вопрос 1: Сколько стоит поездка на 9 километров, если посадка 100 рублей и 12 рублей за километр? **Ответ:** 208 *Пояснение: Подставляем s = 9 в C = 100 + 12s: 100 + 12 · 9 = 100 + 108 = 208 рублей.* #### Вопрос 2: График функции y = x² называется... - ☐ прямая - ☐ гипербола - ✅ парабола - ☐ окружность *Пояснение: Кривая из точек (−2; 4), (−1; 1), (0; 0), (1; 1), (2; 4) — парабола с вершиной в начале координат.* #### Вопрос 3: График y = x³ проходит через точку (−1; 1). - ☐ Правда - ✅ Неправда *Пояснение: При x = −1 получаем y = (−1)³ = −1, то есть точка (−1; −1). У куба знак сохраняется.* #### Вопрос 4: Чему не может равняться x в функции y = 5 : (x − 3)? **Ответ:** 3 *Пояснение: При x = 3 знаменатель равен нулю, а делить на ноль нельзя. Область определения: x ≠ 3.* #### Вопрос 5: Какие из записей задают функцию? - ✅ y = 2x - ✅ y = x² - ☐ числу x соответствует множество всех его делителей - ✅ y = x³ *Пояснение: В первых двух и последней записи каждому x отвечает ровно один y. Делителей у числа бывает много — это не функция.* #### Вопрос 6: Сопоставь термин и его смысл. - функция — каждому x — ровно один y - аргумент — независимая переменная - область определения — все допустимые значения x - график — все точки (x; y) на плоскости *Пояснение: Четыре базовых слова темы: без них не читаются ни учебник, ни условия задач.* #### Вопрос 7: Разложи зависимости по типам. - **Функция:** y = x², y = 3x + 1, y = x³ - **Не функция:** числу x ставят в соответствие все его делители *Пояснение: У трёх формул каждому x соответствует одно значение y, а «все делители» дают сразу много ответов.* #### Вопрос 8: Дополни определения. Каждому значению аргумента соответствует **ровно одно** значение функции. Все допустимые значения аргумента образуют **область определения**. Все пары (x; y) вместе образуют **график** функции. *Пояснение: Это три опорных факта урока: одно значение, область определения, график как множество точек.* ## Тренажёр На [странице тренажёра](https://shkolniygid.ru/algebra/7-klass/chto-takoe-funkciya/trenazher/) — 4 типов задач с бесконечными вариантами чисел, проверкой ответа и разбором каждого шага.