# Среднее арифметическое, размах, мода и медиана — алгебра 7 класс

> Восемь утренних поездок в школу превращаются в четыре главные цифры: среднее арифметическое, размах, мода и медиана. Считаем на живом ряду чисел и ловим каверзы со средним.

**Алгебра, 7 класс.** Урок бесплатного онлайн-самоучителя «ШкольныйГид». Обновлено: 2026-09-27.

Страница урока: https://shkolniygid.ru/algebra/7-klass/statisticheskie-harakteristiki/

Каждое утро ты добираешься до школы, и телефон честно записывает время. За восемь дней набежал такой список: 18, 22, 17, 25, 20, 23, 22 и 13 минут. Мама спрашивает: «Ну и сколько ты добираешься?» Ответить честно — значит обработать данные: сложить, упорядочить, найти самое частое значение. Ровно этим занимается статистика, а четыре её главные цифры для такого ряда ты посчитаешь за пять минут.


### Среднее арифметическое и размах


Среднее арифметическое — сумма всех чисел ряда, делённая на их количество. Складываем 18 + 22 + 17 + 25 + 20 + 23 + 22 + 13, получаем 160, делим на 8 — выходит ровно 20 минут. Размах показывает, насколько данные разбросаны: отнимаем от наибольшего значения наименьшее, 25 − 13 = 12 минут. Одна неудачная поездка меняет обе цифры: если вместо 25 минут дорога заняла бы 60, среднее подскочило бы до 24,4, а размах — до 47.


> **Ловушка.** Первое: сумму делят на количество чисел, а не «на сколько похоже» — в ряду из восьми поездок делитель именно 8. Второе: среднее чутко реагирует на выбросы. Одна дорога за 60 минут тянет среднее вверх, хотя остальные семь поездок были быстрее 25 минут. Поэтому в сводках погоды и зарплатных отчётах рядом со средним часто показывают медиану — она от выбросов не страдает.


### Мода и медиана


Мода — значение, которое встречается чаще других. В нашем ряду число 22 появляется дважды, остальные — по одному разу, значит мода равна 22. Медиана — число в середине упорядоченного ряда: выпиши числа по возрастанию — 13, 17, 18, 20, 22, 22, 23, 25 — и найди середину. Чисел восемь, поэтому в середине стоят 20 и 22, а медиана — их полусумма: (20 + 22) : 2 = 21. У ряда с нечётным количеством чисел медиана — просто среднее число: в ряду 3, 7, 9 это 7.


| Характеристика | Что показывает | Как найти |
| --- | --- | --- |
| Среднее арифметическое | общую «середину» данных | сложить все числа и поделить на их количество |
| Размах | насколько данные разбросаны | из наибольшего значения вычесть наименьшее |
| Мода | самое частое значение | посчитать, какое число встречается чаще остальных |
| Медиана | середину упорядоченного ряда | упорядочить ряд и взять среднее число (или полусумму двух средних) |


$$\bar{a} = \frac{a_1 + a_2 + \ldots + a_n}{n}$$

*Среднее арифметическое ряда из n чисел*


*[Интерактив: Собери пары — доступен на странице урока]*


**Полный разбор ряда 18, 22, 17, 25, 20, 23, 22, 13**

1. Складываем все числа: 18 + 22 + 17 + 25 + 20 + 23 + 22 + 13 = 160.
2. Делим на количество: 160 : 8 = 20 — это среднее арифметическое.
3. Размах: наибольшее 25 минус наименьшее 13, выходит 12 минут.
4. Мода — 22 (встречается дважды). Медиана: упорядоченный ряд 13, 17, 18, 20, 22, 22, 23, 25, в середине 20 и 22, полусумма 21.


*[Интерактив: Отметь медиану ряда — доступен на странице урока]*


> **Совет.** Перед поиском медианы всегда выписывай ряд по возрастанию — в несортированном ряду середину находят неправильно почти все. А среднее полезно проверять прикидкой: 160 : 8 — это «шестнадцать на восемь», выходит около 20. Если точный ответ сильно разошёлся с прикидкой, где-то потерялась цифра.


*[Интерактив: Верно или нет? — доступен на странице урока]*


### Среднее против медианы: какая цифра честнее


Объявление на двери фирмы: «средняя зарплата у нас — 90 тысяч рублей». В команде пять человек с зарплатами 30, 35, 40, 45 и 300 тысяч. Складываем: 450 тысяч, делим на пять — и правда выходит 90. Но четверо из пяти сотрудников зарабатывают меньше этой цифры: среднее вытягнул вверх единственный директор. Медиана у того же ряда совсем другая: середина упорядоченного ряда 30, 35, 40, 45, 300 — это 40 тысяч. Вот она показывает «типичного» сотрудника, а среднее показывает сумму, поделенную поровну.


Поэтому характеристику выбирают под задачу. Среднее нужно там, где важна общая сумма: средний чек умножают на число покупателей и получают выручку дня. Медиана нужна там, где важно «типичное» значение и болтаются выбросы: цены на жильё, доходы, время сбора в школу. Размах берут, когда важен разброс: «за неделю температура прыгала от 3 до 18 градусов» — это размах 15 градусов. На вопрос «а что типично?» обычно честнее всех отвечает медиана.


Есть ещё одна хитрость, на которой любят строить вопросы. Если к каждому числу ряда прибавить одно и то же, среднее прибавит столько же, медиана сдвинется на эту добавку, а размах останется прежним — ведь наибольшее и наименьшее выросли вместе. Если каждое число умножить на одно и то же, всё масштабируется: среднее и медиана умножаются, а размах вырастает во столько же раз. Эти правила экономят время на контрольной: не нужно пересчитывать весь ряд, чтобы узнать, что стало со средним.


### Таблица частот: когда данных много


Когда в ряду не восемь, а восемьдесят чисел, выписывать их подряд неудобно. Одинаковые значения собирают в таблицу частот: слева — значение, справа — сколько раз оно встретилось. Двадцать ребят из двух седьмых классов ответили, сколько часов в день они проводят в телефоне, и вот вся их статистика на одной табличке.


| Часов в день | Частота, человек |
| --- | --- |
| 0 | 2 |
| 1 | 5 |
| 2 | 8 |
| 3 | 4 |
| 4 | 1 |


По такой таблице все характеристики считаются почти так же, как по ряду. Среднее: каждое значение умножаем на частоту, складываем и делим на число людей: (0 · 2 + 1 · 5 + 2 · 8 + 3 · 4 + 4 · 1) : 20 = 37 : 20 = 1,85 часа. Мода — значение с наибольшей частотой: 2 часа, их назвали восемь человек. Размах 4 − 0 = 4 часа. Медиану ищут через накопленные частоты: два человека с нулём, к концу строки «1 час» набралось 7, к концу строки «2 часа» — 15. Десятый и одиннадцатый элементы попадают в строку «2 часа», значит медиана равна 2.


Такую таблицу рисуют и столбчатой диаграммой: по горизонтали значения, высота столбика — частота. Самый высокий столбик сразу показывает моду, а сумма всех частот — объём данных. Магазины так подбирают ассортимент: за месяц продали 40 пар обуви, по размерам составили таблицу частот — и самый высокий столбик сказал, какой размер заказывать у поставщика в первую очередь. Мода вообще самая «бытовая» из характеристик: самый ходовой размер, самый частый автобус, самый популярный ответ на опрос — всё это моды своих рядов.


Статистика начинается с честного сбора данных. В опросе заранее придумывают варианты ответов — иначе таблица частот превратится в кашу: «немного», «много», «не знаю» не сложатся в один ряд. И следи, чтобы опрошенные были сравнимы: если спросить про телефон у семиклассников и их бабушек, таблица смешает две разные компании, и среднее потеряет смысл. Сначала вопрос с вариантами, потом таблица, потом характеристики — таков порядок любой настоящей статистической задачи.


### Разбор типовой задачи


**Вся статистика по таблице частот**

1. Проверяем объём данных: 2 + 5 + 8 + 4 + 1 = 20 человек — таблица полная, ничего не потеряли.
2. Среднее арифметическое: 0 · 2 + 1 · 5 + 2 · 8 + 3 · 4 + 4 · 1 = 37; 37 : 20 = 1,85 часа.
3. Мода — 2 часа: частота 8 больше, чем у любой другой строки.
4. Размах: наибольшее значение 4, наименьшее 0, размах равен 4 часам.
5. Медиана: копим частоты — 2, 7, 15. Десятый и одиннадцатый элементы лежат в строке «2 часа», медиана равна 2.
6. Сравниваем: среднее 1,85 чуть меньше медианы 2 — пара нулей в начале ряда утянула среднее вниз, а медиана их не заметила.


### Словарь урока


**Частота** — сколько раз значение встретилось в ряду
**Таблица частот** — запись большого ряда: значение и число его повторений
**Выброс** — значение, резко выпадающее из ряда и искажающее среднее
**Упорядоченный ряд** — ряд по возрастанию — обязательный шаг перед поиском медианы
**Накопленная частота** — сколько элементов ряда не превышают данного значения
**Среднее арифметическое** — сумма всех значений, делённая на их количество


### Как это спрашивают на ВПР


- «Найди среднее и медиану ряда» — перед медианой обязательно упорядочи числа
- «К каждому числу ряда прибавили 5 — как изменилось среднее?» — выросло на те же 5
- «Каждое число умножили на 3 — что стало со средним?» — выросло втрое
- «Найди моду по таблице частот» — ищи строку с наибольшей частотой
- «Какая характеристика не боится выбросов?» — медиана, а среднее от них растёт


Заметь: медиана из таблицы оказалась целым числом 2, хотя среднее — дробное 1,85. Так бывает, и это не ошибка. Ответ на вопрос «сколько в среднем» может быть дробным: полтора часа в день не покажешь на одном человеке, но как характеристика ряда число честное. Медиана же всегда совпадает с реальным значением ряда или с полусуммой двух реальных — поэтому на вопрос «что типично» отвечать удобнее именно ею.


## Частые вопросы

### Чем медиана отличается от среднего арифметического?

Среднее считается по всей сумме и страдает от выбросов, а медиана — просто середина упорядоченного ряда. Если в классе один богач, средние карманные деньги вырастут, а медиана останется честной.


### Что делать, если в ряду чётное количество чисел?

Берём два числа в середине упорядоченного ряда и считаем их полусумму. В ряду 13, 17, 18, 20, 22, 22, 23, 25 это (20 + 22) : 2 = 21.


### Может ли у ряда быть две моды?

Да. В ряду 1, 1, 2, 2, 3 числа 1 и 2 встречаются одинаково часто и оба являются модами. А если все числа встречаются по одному разу, моды нет вовсе.


### Почему из-за одной большой зарплаты среднее растёт так сильно?

Среднее делит всю сумму на всех, и каждое слагаемое влияет на результат. Одно значение в несколько раз больше остальных тянет среднее за собой, поэтому для зарплат чаще показывают медиану.


## Проверь себя (вопросы и ответы)

#### Вопрос 1: Найди среднее арифметическое чисел 4, 6, 7, 8 и 10.
**Ответ:** 7

*Пояснение: Сумма 4 + 6 + 7 + 8 + 10 = 35, делим на 5 чисел: 35 : 5 = 7.*


#### Вопрос 2: В ряду 3, 5, 5, 7, 9 мода равна...
- ☐ 3
- ✅ 5
- ☐ 7
- ☐ 9

*Пояснение: Число 5 встречается дважды, остальные — по разу. Самое частое значение и есть мода.*


#### Вопрос 3: Медиана ряда 2, 4, 6, 8 равна 6.
- ☐ Правда
- ✅ Неправда

*Пояснение: В середине упорядоченного ряда стоят 4 и 6, медиана — полусумма: (4 + 6) : 2 = 5.*


#### Вопрос 4: Найди размах ряда 12, 25, 7, 19.
**Ответ:** 18

*Пояснение: Наибольшее значение 25, наименьшее 7: размах 25 − 7 = 18.*


#### Вопрос 5: Сопоставь характеристику ряда с её смыслом.
- среднее арифметическое — сумма, делённая на количество
- размах — разность наибольшего и наименьшего
- мода — самое частое значение
- медиана — середина упорядоченного ряда

*Пояснение: Это четыре статистические характеристики: каждая отвечает на свой вопрос о данных.*


#### Вопрос 6: Разложи описания по характеристикам.
- **Среднее арифметическое:** сумма чисел, делённая на их количество
- **Мода:** самое частое число ряда
- **Медиана:** полусумма двух средних чисел упорядоченного ряда
- **Размах:** разность наибольшего и наименьшего

*Пояснение: Частое значение — мода, деление суммы — среднее, разность крайних — размах, полусумма середины — медиана.*


#### Вопрос 7: Дополни определения.
Среднее арифметическое — это сумма всех чисел, делённая на их **количество**. Размах — разность между наибольшим и **наименьшим** значением ряда. Медиана упорядоченного ряда из чётного числа членов — полусумма двух **средних** чисел.

*Пояснение: Сумма делится на количество, размах считается от наибольшего к наименьшему, медиана при чётном числе членов — полусумма средних.*


#### Вопрос 8: Расставь числа ряда 25, 13, 22, 17 по возрастанию.
**Правильный порядок:** 13 → 17 → 22 → 25

*Пояснение: По возрастанию: 13, 17, 22, 25. Упорядочивание — первый шаг к поиску медианы.*


## Тренажёр

На [странице тренажёра](https://shkolniygid.ru/algebra/7-klass/statisticheskie-harakteristiki/trenazher/) — 4 типов задач с бесконечными вариантами чисел, проверкой ответа и разбором каждого шага.