# Гипербола и функция y=k/x — алгебра 8 класс: как строить график

> Цена конфет и масса покупки обратно пропорциональны: строим гиперболу y = k/x по таблице, разбираем ветви, четверти и асимптоты простыми словами.

**Алгебра, 8 класс.** Урок бесплатного онлайн-самоучителя «ШкольныйГид». Обновлено: 2026-09-27.

Страница урока: https://shkolniygid.ru/algebra/8-klass/giperbola-kx/

В магазине на 240 рублей покупатель берёт конфеты к чаю: по цене 80 рублей за килограмм выходит 3 кг, по 120 рублей — 2 кг, а по 60 — целых 4 кг. Цена выросла в полтора раза — масса уменьшилась в полтора раза. Никто ничего не складывал, но произведение цены на массу всегда 240. Такие величины называют обратно пропорциональными, и описывает их одна короткая функция.


### Обратная пропорциональность: определение и свойства


Обратная пропорциональность — зависимость вида y = k/x, где k — число, не равное нулю. Здесь потрачено 240 рублей, поэтому k = 240: цена, умноженная на массу, всегда даёт 240. Главный признак: при увеличении одной величины в несколько раз другая уменьшается во столько же раз. Область определения — все числа, кроме нуля: делить на ноль нельзя, поэтому график разорван на две отдельные ветви. Значения тоже никогда не равны нулю — кривая не дотягивается до осей.


![Гипербола y равно k делить на x: две ветви и асимптоты-оси](https://shkolniygid.ru/img/lessons/alg-giperbola.webp)

*Ветви гиперболы прижимаются к осям, но не касаются их: знак k задаёт четверти.*


> **Ловушка.** Не соединяй ветви одной плавной линией «через ноль» — в точке x = 0 функции не существует, там разрыв. Вторая ловушка — знак коэффициента: при k > 0 ветви живут в I и III четвертях, при k < 0 — во II и IV. График y = −8/x — это не «гипербола ниже оси», а те же два крыла, переехавшие в другие четверти. Проверяй знак k до того, как рисуешь.


### Строим гиперболу по таблице


График называют гиперболой. Строим по таблице: для y = 6/x при x = 1, 2, 3, 6 получаем 6, 3, 2, 1; при x = −1, −2, −3, −6 — значения −6, −3, −2, −1. Отмечаем точки и соединяем плавной линией — выходят две ветви, похожие на крылья. Оси координат служат гиперболе асимптотами: чем больше x, тем ближе кривая прижимается к горизонтальной оси, но не касается её; чем ближе x к нулю, тем резче ветвь взлетает. Слово «асимптота» переводится как «несовпадающая» — прямая, к которой график стремится, но никогда не догоняет.


| x | y = 6/x |
| --- | --- |
| −6 | −1 |
| −2 | −3 |
| −1 | −6 |
| 1 | 6 |
| 2 | 3 |
| 6 | 1 |


$$y = \frac{k}{x}, \quad k \ne 0$$

*Обратная пропорциональность: k — постоянный коэффициент*


**Строим график y = 6/x по шагам**

1. Составляем таблицу: x = 1, 2, 3, 6 и симметрично x = −1, −2, −3, −6.
2. Считаем значения: 6, 3, 2, 1 и −6, −3, −2, −1 — произведение x на y всегда 6.
3. Отмечаем точки правой ветви и соединяем плавной линией, прижимающейся к осям. То же для левой ветви.
4. Проверка: подставь x = 1,5 — должно получиться 4, ведь 6 : 1,5 = 4. Точка (1,5; 4) ложится на ветвь.


*[Интерактив: Покрути коэффициент k — доступен на странице урока]*


> **Совет.** Чтобы быстро построить гиперболу, разложи k на пары множителей: 6 = 1·6 = 2·3 = 3·2 = 6·1. Каждая пара — готовая точка графика: (1; 6), (2; 3), (3; 2), (6; 1). Для второй ветви поменяй оба знака. И помни: чем больше k по модулю, тем дальше ветви от начала координат — гипербола y = 100/x проходит через (10; 10), а y = 6/x уже при x = 6 даёт единицу.


*[Интерактив: Верно или нет? — доступен на странице урока]*


### Обратная пропорциональность вокруг нас


Как только две величины перемножаются в постоянное число, за дело берётся y = k/x. Скорость и время на одном и том же пути: 240 километров на 60 км/ч — 4 часа, на 80 км/ч — 3 часа, а произведение всегда 240. Цена и масса покупки: те же 240 рублей — 3 килограмма по 80 или 2 килограмма по 120. Производительность и срок работы бригады, длина и ширина прямоугольника заданной площади, время чтения и скорость чтения — всюду одно и то же постоянное произведение.


- скорость и время при постоянном пути: v · t = s
- цена и масса при постоянной сумме: p · m = C
- длина и ширина при постоянной площади: a · b = S
- число рабочих и срок при постоянном объёме работ


Проверь любую из этих ситуаций вопросом: «если первую величину удвоить, что станет со второй?» Если она уполовинится — перед тобой обратная пропорциональность. Рабочих стало вдвое больше — срок уполовинился. Цены выросли втрое — купить можно втрое меньше. Это свойство — самый быстрый способ узнать зависимость y = k/x в текстовой задаче, ещё до всяких таблиц.


С этим правилом жил и газ в закрытом баллоне: давление и объём обратно пропорциональны — сжал газ вдвое, давление выросло вдвое. В физике это зовут законом Бойля — Мариотта и записывают как p · V = постоянная. Алгебра восьмого класса и физика девятого встретились в одной формуле — так бывает часто.


### Что делает коэффициент k


Коэффициент k — это и есть то самое постоянное произведение xy. У конфет k = 240 — количество потраченных рублей. В точке (2; 3) гиперболы y = 6/x произведение координат 2 · 3 = 6. Поэтому принадлежность точки графику проверяют умножением: на графике y = k/x лежит только та пара, у которой произведение координат равно k. Точка (4; 5) лежит на графике y = 20/x, ведь 4 · 5 = 20, а на графике y = 18/x её нет.


Модуль k управляет «разлётом» ветвей. Чем больше |k|, тем дальше от начала координат прижимаются ветви: гипербола y = 100/x проходит через (10; 10), а y = 6/x уже при x = 6 даёт единицу. Знак k решает, где живут ветви: плюс — I и III четверти, минус — II и IV. А вот форма кривой от k не меняется: y = −8/x — это зеркальное отражение y = 8/x, ветви просто переезжают из I и III четвертей во II и IV.


Полезно знать и про симметрию: гипербола симметрична относительно начала координат. Точки (2; 3) и (−2; −3) зеркальные — если первая лежит на графике, то и вторая лежит. Поэтому таблицу для второй ветви не пересчитывают, а просто переворачивают знаки у обеих координат.


Типичные ошибки построения видны издалека. Первая — рисовать ветви «вплотную» к осям с острым углом: правильная ветвь приближается к осям плавно, как лодка к берегу. Вторая — соединить ветви одной дугой через верх: между ними разрыв, и никакой дуги там быть не может. Третья — ломаная вместо кривой: гипербола изгибается всё круче по мере приближения к оси y. Возьми четыре точки на ветвь, проведи плавную линию и проверь её промежуточной точкой: между (2; 3) и (3; 2) у графика y = 6/x должна лежать точка примерно (2,4; 2,5).


И ещё один вопрос, который любят задавать: где у гиперболы ось симметрии? У параболы она вертикальная, а у гиперболы — наклонная, прямая y = x: точки (1; 6) и (6; 1) симметричны относительно неё, как и (2; 3) с (3; 2). Координаты поменялись местами — точки поменялись местами относительно диагонали. Это та же симметрия, что связывает график корня с параболой, — она ещё встретится в этой главе.


### Разбор типовой задачи


**Строим y = 8/x**

1. Раскладываем k на пары множителей: 8 = 1 · 8 = 2 · 4 — получаем точки (1; 8), (2; 4), (4; 2), (8; 1).
2. Для второй ветви меняем оба знака: (−1; −8), (−2; −4), (−4; −2), (−8; −1).
3. Плавно соединяем точки каждой ветви: правая живёт в I четверти, левая — в III, ведь k = 8 > 0.
4. Проверяем точку (16; 0,5): произведение 16 · 0,5 = 8 равно k — точка на графике.
5. Отвечаем на вопрос «где y больше 2»: смотрим на правую ветвь — при 0 < x < 4 значения выше двойки.
6. Итог: пары множителей дали таблицу почти бесплатно, а знак k сразу сказал, в каких четвертях рисовать.


### Словарь урока


**Обратная пропорциональность** — зависимость y = k/x, где k ≠ 0
**Гипербола** — график обратной пропорциональности из двух ветвей
**Ветвь** — одна из двух частей гиперболы
**Асимптота** — прямая, к которой график прижимается, но не касается
**Разрыв** — точка x = 0, где функция не существует
**Коэффициент k** — постоянное произведение xy для всех точек графика


### Как это спрашивают на контрольной


- «Построй график функции y = k/x» — таблица из пар множителей, две ветви, аккуратный прижим к осям
- «В каких четвертях ветви?» — смотрим только на знак k и больше ни на что
- «Принадлежит ли точка графику?» — умножь координаты и сравни с k
- «Найди k по точке» — то же произведение координат


*[Интерактив: Заполни пропуски — доступен на странице урока]*


## Частые вопросы

### Почему гипербола состоит из двух частей?

Потому что x не может равняться нулю — делить на ноль нельзя. Между ветвями, ровно над нулём, остаётся разрыв, и соединить ветви одной линией нельзя.


### Что такое асимптота простыми словами?

Это прямая, к которой график подходит всё ближе, но никогда не касается. Для y = k/x асимптоты — обе оси координат: ветви прижимаются к ним бесконечно.


### Может ли гипербола пересекать оси координат?

Нет. На оси x было бы y = 0, но k/x не равно нулю никогда. На оси y было бы x = 0, а деление на ноль запрещено.


### Чем y = k/x отличается от прямой пропорциональности y = kx?

В y = kx величины растут вместе, и график — прямая через начало координат. В y = k/x при росте x значение y падает, график — гипербола с двумя ветвями.


## Проверь себя (вопросы и ответы)

#### Вопрос 1: От села до города 240 км. Автобус идёт со скоростью 60 км/ч. Сколько часов он в пути?
**Ответ:** 4

*Пояснение: Время и скорость обратно пропорциональны: 240 : 60 = 4 часа. Произведение скорости на время постоянно.*


#### Вопрос 2: В каких четвертях лежат ветви графика y = −8/x?
- ☐ I и II
- ☐ I и III
- ✅ II и IV
- ☐ III и IV

*Пояснение: Коэффициент отрицательный, поэтому ветви живут во II и IV четвертях.*


#### Вопрос 3: График y = k/x пересекает ось ординат.
- ☐ Правда
- ✅ Неправда

*Пояснение: Ось ординат — это x = 0, а делить на ноль нельзя. График не существует в этой точке и оси не пересекает.*


#### Вопрос 4: Найди значение функции y = 12/x при x = 4.
**Ответ:** 3

*Пояснение: Подставляем: 12 : 4 = 3. Произведение x на y равно 12.*


#### Вопрос 5: Сопоставь понятие и его смысл.
- гипербола — график функции y = k/x
- обратная пропорциональность — произведение xy постоянно
- асимптота — прямая, к которой прижимается ветвь
- область определения y = k/x — все x, кроме нуля

*Пояснение: Четыре слова, которыми описывают любую гиперболу.*


#### Вопрос 6: Разложи функции по типам.
- **Обратная пропорциональность:** y = 9/x, y = −5/x, y = 30/x
- **Линейная функция:** y = 2x + 1, y = x − 3

*Пояснение: Там, где x стоит в знаменателе, — обратная пропорциональность; формулы вида kx + b задают прямые.*


#### Вопрос 7: Дополни правило.
Функция y = k/x называется **обратной** пропорциональностью. При k > 0 ветви гиперболы лежат в **первой** и **третьей** четвертях.

*Пояснение: При положительном k произведение xy положительно, а это возможно только в I и III четвертях.*


#### Вопрос 8: Расставь значения y = 8/x при x = 1, 2, 4, 8 по возрастанию.
**Правильный порядок:** 1 → 2 → 4 → 8

*Пояснение: Значения 8, 4, 2, 1 убывают, по возрастанию: 1, 2, 4, 8.*


## Тренажёр

На [странице тренажёра](https://shkolniygid.ru/algebra/8-klass/giperbola-kx/trenazher/) — 3 типов задач с бесконечными вариантами чисел, проверкой ответа и разбором каждого шага.