# График функции y=√x — алгебра 8 класс: таблица и свойства корня

> Камень падает по формуле h = 5t², а время достаём корнем: таблица значений y = √x, форма графика и сравнение с параболой y = x².

**Алгебра, 8 класс.** Урок бесплатного онлайн-самоучителя «ШкольныйГид». Обновлено: 2026-09-27.

Страница урока: https://shkolniygid.ru/algebra/8-klass/grafik-kornya/

Камень сорвался с обрыва и летит вниз. Высота h связана со временем падения t формулой h = 5t². С двадцати метров камень летит 2 секунды, с сорока пяти — 3, с восьмидесяти — 4. Физику часто нужна обратная задача: по высоте найти время, то есть извлечь корень. Для этого и нужна функция y = √x — она «отматывает» квадрат назад.


### Функция y = √x и её таблица значений


Квадратный корень определён только для неотрицательных чисел, поэтому область определения функции y = √x — все x, большие или равные нулю. Слева от нуля графика нет: там корень не существует. Таблица собирается из квадратов: x = 0, 1, 4, 9, 16 дают y = 0, 1, 2, 3, 4. Отмечаем точки и соединяем плавной линией, которая выходит из начала координат и поднимается всё более полого: сначала корень растёт быстро, потом всё медленнее — чтобы удвоить значение, x приходится увеличить вчетверо.


![График y равно корень из x через точки 1-1, 4-2, 9-3 с таблицей значений](https://shkolniygid.ru/img/lessons/alg-grafik-koren.webp)

*Ветвь начинается в нуле и растёт всё медленнее: корень есть только при x не меньше нуля.*


> **Ловушка.** Арифметический корень неотрицателен: √16 = 4, а не 4 и минус 4. Запись √25 = −5 — ошибка. Вторая ловушка — подкоренное число: √ отрицательного числа не существует, поэтому график корня не продолжается влево от нуля, и точка (−4; 2) на нём не лежит, хотя (4; 2) лежит.


### Сравнение с параболой y = x²


Сравни с параболой y = x² на участке x ≥ 0: у кривых общие точки (0; 0) и (1; 1), но дальше парабола взмывает вверх — при x = 4 даёт 16, а корень даёт всего 2. График корня и правая ветвь параболы симметричны относительно прямой y = x: поменяй в точке параболы координаты местами, и (2; 4) превратится в (4; 2) — точку графика корня. Это не случайность: корень обращает квадрат назад. Свойства коротко: функция возрастает на всей области определения, принимает значения от нуля и выше, наибольшего значения у неё нет.


| x | y = √x | x² в этой точке |
| --- | --- | --- |
| 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 |
| 4 | 2 | 16 |
| 9 | 3 | 81 |
| 16 | 4 | 256 |


$$y = \sqrt{x}, \quad x \ge 0$$

*Функция квадратного корня: аргумент неотрицателен*


**Строим график y = √x по шагам**

1. Составляем таблицу из квадратов: x = 0, 1, 4, 9, 16 — значения 0, 1, 2, 3, 4.
2. Отмечаем точки: (0; 0), (1; 1), (4; 2), (9; 3), (16; 4).
3. Соединяем плавной линией от начала координат, которая становится всё более пологой вправо.
4. Проверка: между (1; 1) и (4; 2) кривая должна пройти через (2; примерно 1,4). Сошлось.


*[Интерактив: Множитель под корнем — доступен на странице урока]*


> **Совет.** Держи в голове четыре контрольные точки: (0; 0), (1; 1), (4; 2), (9; 3). По ним мгновенно проверяешь любой нарисованный график корня. А ещё они помогают прикидывать корни без калькулятора: √50 зажат между √49 = 7 и √64 = 8, значит ответ около 7,1.


*[Интерактив: Отметь значение корня — доступен на странице урока]*


### Лестница квадратов: считаем корни без калькулятора


Весь график корня держится на квадратной лестнице: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100. Выучи её наизусть — и половина задач восьмого класса решается в уме. Корень любого числа, попавшего между ступеньками, зажат между соседними корнями: √20 между 4 и 5, √52 между 7 и 8, √90 между 9 и 10. Точнее без калькулятора не скажешь, но для контрольной этого хватает: обычно и просят «между какими числами».


- √2 — между 1 и 2, около 1,4
- √5 — между 2 и 3, около 2,2
- √20 — между 4 и 5, около 4,5
- √52 — между 7 и 8, ближе к 7
- √90 — между 9 и 10, почти посередине


Прикидка работает и в обратную сторону. Сколько примерно будет √300? Триста — это чуть меньше 324 = 18², значит ответ около 17,3. Такие оценки спрашивают и на ВПР, и на ОГЭ, а в жизни они ещё полезнее: прикинуть сторону участка площадью 300 квадратных метров, не доставая калькулятор, — та же самая лестница. Калькулятор честно выдаёт длинные хвосты вроде 7,2111, но в контрольной такая точность не нужна — математики и сами чаще живут прикидками, а точный корень из «некрасивого» числа так и записывают: √52.


Почему корень растёт всё медленнее? Каждый новый шаг по вертикали стоит всё дороже: от 1 до 2 кривая добралась за четыре шага по x (от 1 до 4), от 2 до 3 — за пять (от 4 до 9), от 3 до 4 — за семь (от 9 до 16). Чтобы удвоить значение корня, вход нужно увеличить вчетверо: √16 = 4, √64 = 8. Это медленный рост — полная противоположность параболе, у которой выход растёт всё быстрее.


### Где корень нужен: геометрия и физика


Корень появляется всякий раз, когда из площади ищут длину. Сторона квадратной теплицы с площадью 49 м² равна √49 = 7 метрам. Ковёр площадью 5 м² — это квадрат со стороной √5, около 2,24 метра. А в физике время падения из формулы h = 5t² достаётся именно корнем: чтобы узнать, сколько секунд летит камень с 45 метров, делим 45 на 5 и извлекаем корень — 3 секунды.


$$t = \sqrt{h/5}$$

*Время падения камня: обратная задача к формуле h = 5t²*


Скоро корень появится и в геометрии треугольника: теорема Пифагора говорит, что c² = a² + b², и длина гипотенузы достаётся корнем. Экран со сторонами 6 и 8 сантиметров имеет диагональ √(36 + 64) = √100 = 10 сантиметров. Отсюда и дюймы в характеристиках ноутбуков: диагональ — всегда результат извлечения корня, поэтому числа там выходят некрасивые.


В обоих примерах корень решает обратную задачу: квадрат превращал длину в площадь, корень возвращает площадь в длину. Именно поэтому график y = √x симметричен правой ветви параболы относительно прямой y = x — вход и выход поменялись ролями. Пара (2; 4) на параболе и пара (4; 2) на корне — один и тот же факт, записанный в двух направлениях. Многие считают корень темой «для старших классов», а он уже в простых расчётах: грядка, ковёр, экран, время падения.


Кстати, обратная задача часто жёстче прямой. Площадь не бывает отрицательной — и корень это красиво учитывает: если тебе в условии встретился «квадрат со стороной √−9», ты сразу видишь брак в данных. В задачах про падение камня тоже следи за областью: высота под корнем должна быть неотрицательной, а ответ — тем более. Проверка «а существует ли вообще мой ответ» — привычка, которая отличает аккуратного решателя.


### Разбор типовой задачи


**Читаем график корня**

1. Строим по таблице: точки (0; 0), (1; 1), (4; 2), (9; 3), (16; 4).
2. Соединяем плавной линией, выходящей из начала координат и распрямляющейся вправо.
3. Ищем по графику √6: шесть лежит между 4 и 9, значит ответ между 2 и 3.
4. Прикидываем ближе: 6 ближе к 4, чем к 9, значит корень ближе к 2 — примерно 2,4.
5. Проверяем: 2,4 · 2,4 = 5,76 — почти шесть, оценка верная.
6. Вывод: график читается как калькулятор с округлением — взял x, поднялся до кривой, посмотрел y.


Тот же график отвечает и на обратный вопрос: какой x даёт y = 2,5? Поднимись на высоту 2,5 и посмотри вниз — попадёшь между 4 и 9, ближе к 6. По вертикали график работает в обратную сторону: даёт x по y. В обе стороны он читается одинаково легко, потому что корень растёт без остановок: больше высота — больше x, и никак иначе.


### Словарь урока


**Арифметический корень** — неотрицательное значение корня из неотрицательного числа
**Подкоренное выражение** — то, что стоит под знаком корня, всегда x ≥ 0
**Область определения** — для y = √x все x от нуля и больше
**Прикидка корня** — оценка между соседними квадратами лестницы
**Наименьшее значение** — у функции y = √x это 0 в точке x = 0
**Симметрия относительно y = x** — связь графика корня с правой ветвью параболы


### Как это спрашивают на контрольной


- «Построй график y = √x» — таблица из квадратов, плавная линия, ничего слева от нуля
- «Принадлежит ли точка графику?» — извлеки корень из первой координаты и сравни со второй
- «Между какими целыми лежит корень?» — лестница квадратов
- «Наибольшее и наименьшее значение на отрезке» — корень растёт, значит максимум на правом краю
- «Реши уравнение вида корень из x равен a» — возведи оба числа в квадрат и проверь, что a неотрицательно


*[Интерактив: Прикинь корень — доступен на странице урока]*


## Частые вопросы

### Почему у графика корня нет левой половины?

Корень определён только для неотрицательных чисел: √ из минус четырёх не существует. Поэтому график начинается в точке (0; 0) и живёт только справа от оси y.


### Почему √16 это 4, а не 4 и −4?

Знак корня по договорённости означает арифметический корень — неотрицательное значение. Да, (−4)² = 16, но запись √16 отвечает ровно на один вопрос: 4.


### Чем график корня похож на параболу?

Это как бы полветви параболы, повёрнутой набок: корень и парабола y = x² при x ≥ 0 симметричны относительно прямой y = x. Точки (2; 4) и (4; 2) — зеркальные близнецы.


### Как найти √50 без калькулятора?

Зажми число между соседними квадратами: 49 < 50 < 64, значит √50 между 7 и 8, и он очень близок к 7, так как 50 чуть больше 49. Точный ответ около 7,07.


## Проверь себя (вопросы и ответы)

#### Вопрос 1: Вычисли √81.
**Ответ:** 9

*Пояснение: 9² = 81, значит √81 = 9. Арифметический корень неотрицателен.*


#### Вопрос 2: Какие точки лежат на графике y = √x?
- ✅ (4; 2)
- ☐ (2; 4)
- ✅ (9; 3)
- ☐ (1; −1)

*Пояснение: √4 = 2 и √9 = 3 — первые две точки из них лежат на графике. Точка (2; 4) принадлежит параболе, а (1; −1) невозможна: корень не бывает отрицательным.*


#### Вопрос 3: √25 = −5.
- ☐ Правда
- ✅ Неправда

*Пояснение: Знак корня означает арифметический корень — неотрицательное значение: √25 = 5. Числа −5 и 5 лишь в квадрате дают 25, но корень выбирает только 5.*


#### Вопрос 4: При каком x значение функции y = √x равно 7?
**Ответ:** 49

*Пояснение: Нужно √x = 7, значит x = 7² = 49. Проверка: √49 = 7.*


#### Вопрос 5: Сопоставь понятие и его смысл.
- y = √x — кривая из начала координат, растёт всё медленнее
- y = x² — парабола с вершиной в начале координат
- область определения y = √x — все x, большие или равные нулю
- арифметический корень — неотрицательное значение корня

*Пояснение: Корень и квадрат — взаимно обратные операции, но их графики ведут себя по-разному.*


#### Вопрос 6: Разложи корни по типам.
- **Корень — целое число:** √36, √49, √64
- **Корень — не целое число:** √10, √20

*Пояснение: 36 = 6², 49 = 7², 64 = 8² — корни целые. 10 и 20 не являются квадратами целых чисел, их корни иррациональные.*


#### Вопрос 7: Дополни свойства корня.
Функция y = √x определена при x ≥ **0**. Её график проходит через точки (0; 0) и (1; **1**). По сравнению с параболой y = x² корень растёт **медленнее**.

*Пояснение: Область определения начинается с нуля, график идёт через (1; 1), и корень растёт медленнее параболы.*


#### Вопрос 8: Расставь по возрастанию: √4, √16, √9, √1.
**Правильный порядок:** √1 → √4 → √9 → √16

*Пояснение: Значения 2, 4, 3, 1, по возрастанию: 1, 2, 3, 4 — то есть √1, √4, √9, √16.*


## Тренажёр

На [странице тренажёра](https://shkolniygid.ru/algebra/8-klass/grafik-kornya/trenazher/) — 4 типов задач с бесконечными вариантами чисел, проверкой ответа и разбором каждого шага.