# Приближённые вычисления. Погрешность и точность > Весы врут на пару граммов, а спидометр — на пару километров: учимся округлять, считать абсолютную и относительную погрешность и делать прикидку перед расчётом. **Алгебра, 8 класс.** Урок бесплатного онлайн-самоучителя «ШкольныйГид». Обновлено: 2026-09-26. Страница урока: https://shkolniygid.ru/algebra/8-klass/priblizhennye-vychisleniya/ В магазине взвесили яблоки: весы показали 2,38 кг, на чеке то же число. Но настоящая масса яблок — не 2,38 килограмма: у весов есть предел точности, и последняя цифра на дисплее — уже враньё, маленькое и безобидное. Так устроен весь практический мир: ростомер, термометр, спидометр, калькулятор при делении 1 на 3 — везде числа приближённые. Раз точное значение недостижимо, нужно уметь честно считать, насколько мы промахнулись. Этому и учит приближённая арифметика: округление, погрешность, прикидка. ### Округление: с избытком и с недостатком Округлить число — заменить его близким «круглым» значением. Школьное правило такое: смотри на первую отбрасываемую цифру; если она пять или больше, последняя сохранённая цифра увеличивается на единицу, если меньше — остаётся как есть. Округляя 8,367 до сотых, получаем 8,37, до десятых — 8,4, до целых — 8. С каждым шагом число становится грубее, зато удобнее: именно поэтому касса печатает 2,40, а не 2,3987. Сколько знаков оставлять? На столько, насколько точны исходные данные. Складывать 2,38 кг и 1,2 кг честнее как 3,6 кг: у второго слагаемого десятые — последние надёжные цифры, и сотые в сумме были бы выдумкой. Скорость 62,4 км/ч на спидометре, который врёт на пару километров, в ответе задачи обычно записывают как 62 км/ч. Правило здравого смысла: результат не может быть точнее самого неточного измерения в нём. Есть числа, для которых точная десятичная запись вообще невозможна. Раздели 1 на 3: получится 0,3333… — тройка не кончается, и любую обрезанную запись вроде 0,33 или 0,333 математика честно называет приближением. То же с корнем из двух: его десятичная запись бесконечна и непериодична. Вот почему приближённые вычисления — не запасной выход для ленивых, а единственный способ работать с такими числами: мы всегда договориваемся, сколько знаков берём. В жизненных задачах направление округления подсказывает смысл. Плинтуса нужно 4,6 метра, а продают рейками по два метра — купить надо 6 метров, округляя с избытком: недостающие 60 сантиметров никто не доварит. Билетов на 27 человек продают ровно 27 — с избытком «на всякий случай» платить нельзя. А вот пассажиров в автобусе статистика считает с недостатком: 34,7 человека не бывает. Поэтому в задачах всегда читай, что просят: округлить по правилу, с избытком или с недостатком — ответы будут разными. *[Интерактив: Куда попадает 47,3 при округлении до десятков — доступен на странице урока]* ### Абсолютная погрешность **Точное значение** — настоящая величина, которую измеряем или вычисляем **Приближённое значение** — то, что выдал прибор или округление **Абсолютная погрешность** — модуль разности точного и приближённого значений **Относительная погрешность** — отношение абсолютной погрешности к модулю точного значения Абсолютная погрешность показывает размер промаха: это модуль разности точного значения и приближённого. Весы показали 2,38 кг, а точная масса 2,41 кг — погрешность равна 0,03 кг. Заметь: неважно, прибор завысил или занизил, — модуль делает разность положительной, потому что промах в обе стороны одинаково плох. Если точное значение неизвестно, за оценку погрешности принимают цену деления прибора: школьная линейка с миллиметровыми штрихами измеряет с точностью до 1 мм, уличный термометр — до 1 градуса. $$\Delta = |x - a|$$ *Абсолютная погрешность: разность точного значения x и приближения a, взятая по модулю* | Измерение | Показание прибора | Абсолютная погрешность | | --- | --- | --- | | Масса гири на весах | 2,38 кг | 0,03 кг | | Температура воздуха | 18 °C | до 1 °C — цена деления | | Длина парты линейкой | 120,0 см | до 0,1 см — цена деления | | Скорость по спидометру | 84 км/ч | несколько км/ч — зависит от прибора | В задачах ВПР и ОГЭ погрешность чаще всего считается просто: от показания отнимают точное значение или наоборот и берут результат по модулю. Например, счётчик показал 4517 кВт·ч, а верное показание 4512 — погрешность 5 кВт·ч. Формула с модулем страхует от глупого минуса, но смысл всегда один: насколько далеко приближение от истины. Один и тот же предмет разные приборы меряют с разным промахом. Бытовые весы в ванной показывают массу с шагом в сто граммов, аптечные весы взвешивают письмо с точностью до грамма, а лабораторная электроника различает миллиграммы. Чем мельче цена деления, тем меньше абсолютная погрешность и тем дороже прибор. Поэтому в задачах на измерение всегда уточняй, чем измеряли: ответ для линейки и ответ для штангенциркуля — разные ответы. ### Относительная погрешность: точность в процентах Абсолютной погрешности мало для честного сравнения. Промах в 2 грамма на пачке чая в 100 граммов — это два процента, ощутимая небрежность. Тот же промах в 2 грамма на мешке сахара в 50 килограммов — четыре сотых процента, великолепная точность. Числа разные, погрешность одна, поэтому вводят относительную погрешность: абсолютную делят на модуль точного значения и часто переводят в проценты. $$\delta = \frac{\Delta}{|x|} \cdot 100\%$$ *Относительная погрешность в процентах от точного значения* Пример со всеми шагами. Длина детали по чертежу 40 см, измерение дало 41 см. Абсолютная погрешность 1 см. Относительная: 1 : 40 = 0,025, то есть 2,5 процента. Теперь вторая деталь: чертёж 4 см, измерение 5 см — абсолютная та же, 1 см, но относительная 25 процентов. Первое измерение образцовое, второе никуда не годится, хотя промах в сантиметр в обоих случаях. Относительная погрешность и отличает образцовое измерение от брака. Проценты прикидываются на лету, если потренироваться. Погрешность 3 грамма при массе 60 граммов — это одна двадцатая, то есть 5 процентов. Погрешность 2 километра при пути 80 километров — одна сороковая, то есть 2,5 процента. Достаточно спросить себя: сколько раз погрешность укладывается в значение? Столько же раз уложатся и проценты. > **Ловушка.** Первая ловушка: знак. Разность точного и приближённого может выйти отрицательной, но погрешность записывают только положительной — не забывай модуль. Вторая: направление округления. Округляя 47,3 до десятков по правилу, получаешь 50, а не 40: смотри на единицы, а не на десятки. Третья: 5,5 при округлении до целых превращается в 6, а не в 5 — пятерка и всё, что больше неё, тянет цифру вверх. ### Прикидка: оценка до расчёта Прикидка — это грубая оценка результата до или вместо точного вычисления. Числа округляют до удобных и считают в уме. Нужно умножить 48,6 на 0,21? Замени 48,6 на 50 и 0,21 на 0,2: получится 10, значит верный ответ близок к десяти, а не к ста и не к одной десятой. Прикидка ловит потерянную запятую, перепутанную операцию и неверно нажатую кнопку быстрее любой проверки столбиком. В магазине прикидка работает со списками. В корзине товар по 19,9 рубля, второй по 49,5 и третий по 24,8. Точный столбик не нужен: 20 + 50 + 25 = 95 рублей, и если в кассе выйдет 140 — там явно лишний товар или ошибка. Каждое слагаемое округлилось вверх, поэтому прикидка вышла чуть выше настоящего чека — а так и должно быть: 19,9 + 49,5 + 24,8 = 94,2. Так легко проверяются не только чеки, но и сметы, и суммы в задачах. Для очень больших и очень маленьких чисел прикидка опирается на стандартный вид числа — ты уже умеешь записывать величины как a · 10^n. Масса поезда 3,8 · 10⁵ кг — сразу видно порядок: сотни тысяч килограммов. При умножении стандартных записей мантиссы перемножаются, порядки складываются, и оценка получается за секунды. На ОГЭ задания на стандартный вид и прикидку встречаются каждый год, и решаются они прикидкой, а не калькулятором. *[Интерактив: Прикинь стоимость без столбика — доступен на странице урока]* > **Совет.** Приучай себя к порядку: прикинул, посчитал, сверил. После любого расчёта спроси себя, похож ли ответ на прикидку и на здравый смысл: площадь школьного коридора не может быть 340 м², а скорость пешехода — 52 км/ч. Если ответ отличается от прикидки в разы — где-то потеряна запятая или знак. Десять секунд прикидки экономят целый перерешанный номер. *[Интерактив: Верно или нет? — доступен на странице урока]* *[Интерактив: Заполни правила приближённых вычислений — доступен на странице урока]* Проверь себя на бытовых числах: термометр показывает 18 градусов — насколько ты ему веришь? Масса рюкзака 4,8 кг — с какой точностью это сказано? Каждая величина вокруг записана с погрешностью, и теперь ты умеешь её считать: вычесть, взять по модулю, поделить на значение — три движения, и точность измерения выражена числом. Что делать дальше: разбери квиз — он собран на типичных ошибках округления — и открой тренажёр. Там встретятся и показания приборов, и расход по счётчику: каждую задачу решай в два движения, погрешность и её смысл. Дальше по программе — приближённые вычисления плавно перетекут в задачи на реальные измерения в физике, где без понятия погрешности не засчитают ни одну лабораторную работу. ## Частые вопросы ### Чем относительная погрешность лучше абсолютной? Абсолютная погрешность показывает промах в единицах величины и не даёт понять, много это или мало. Относительная делит промах на само значение, поэтому сравнивает точность честно: один грамм на сто граммов и на тонну — совершенно разная аккуратность. ### Почему при округлении 5,5 получается 6, а не 5? По школьному правилу первая отбрасываемая цифра пять и больше тянет последнюю сохранённую цифру вверх. Число 5,5 стоит ровно посередине между 5 и 6, и правило выбирает большее. Так договорились, чтобы правило было однозначным. ### Как оценить погрешность, если точное значение неизвестно? Тогда за приближённую оценку берут цену деления прибора: линейка с миллиметровыми штрихами даёт погрешность до одного миллиметра, термометр с делениями в градус — до одного градуса. Смысл в том, что между штрихами показание снять нельзя. ### Зачем делать прикидку, если можно посчитать точно? Прикидка защищает от грубых ошибок: потерянной запятой, перепутанной операции, неверного порядка результата. Точный расчёт после прикидки сверяется с ней по количеству цифр, и резкое расхождение сразу сигнализирует об ошибке. ## Проверь себя (вопросы и ответы) #### Вопрос 1: Округли 8,367 до сотых. **Ответ:** 8,37 *Пояснение: Первая отбрасываемая цифра — 7, она больше пяти, поэтому 8,36 превращается в 8,37.* #### Вопрос 2: Округлив 2348 до десятков, получишь... - ☐ 2340 - ✅ 2350 - ☐ 2300 - ☐ 2400 *Пояснение: Десятков четыре, следующая цифра 8 — пять и больше, поэтому 48 округляется до 50: получается 2350.* #### Вопрос 3: Абсолютная погрешность всегда неотрицательна. - ✅ Правда - ☐ Неправда *Пояснение: Верно: в формуле стоит модуль, потому что промах в любую сторону одинаково портит результат.* #### Вопрос 4: Сопоставь термин и его смысл. - абсолютная погрешность — модуль разности точного и приближённого значений - относительная погрешность — погрешность, делённая на значение, — точность в процентах - цена деления — наименьший шаг шкалы прибора *Пояснение: Абсолютная погрешность измеряет промах в единицах величины, относительная — в долях, а цена деления задаёт предел точности прибора.* #### Вопрос 5: Расставь шаги прикидки по порядку. **Правильный порядок:** округли числа до удобных → выполни вычисление в уме → сравни точный ответ с прикидкой *Пояснение: Сначала числа округляются до удобных, затем считается прикидка в уме, и уже после точного расчёта ответы сверяются.* #### Вопрос 6: Какие записи верные? Выбери все. - ✅ 3,8 · 10⁵ = 380 000 - ✅ 0,0047 ≈ 0,005 при округлении до тысячных - ☐ округлив 5,5 до целых, получим 5 - ✅ погрешность школьной линейки — 1 мм *Пояснение: 3,8 · 10⁵ — это 380 тысяч, 0,0047 до тысячных — 0,005, линейка точна до миллиметра. А 5,5 по правилу округляется до 6.* #### Вопрос 7: Куда округляется каждое число? - **Получится меньшее число:** 12,4 до целых, 0,483 до сотых - **Получится большее число:** 12,7 до целых, 7,09 до десятых *Пояснение: 12,4 даёт 12 и 0,483 даёт 0,48 — цифра не выросла. 12,7 даёт 13 и 7,09 даёт 7,1 — цифра выросла.* ## Тренажёр На [странице тренажёра](https://shkolniygid.ru/algebra/8-klass/priblizhennye-vychisleniya/trenazher/) — 3 типов задач с бесконечными вариантами чисел, проверкой ответа и разбором каждого шага.