# Степень с целым показателем и стандартный вид числа — алгебра 8 класс

> От атома водорода до Солнца: отрицательные степени, нулевая степень и стандартный вид числа a·10ⁿ — короткие записи для огромного и крошечного.

**Алгебра, 8 класс.** Урок бесплатного онлайн-самоучителя «ШкольныйГид». Обновлено: 2026-09-27.

Страница урока: https://shkolniygid.ru/algebra/8-klass/stepen-celyj-pokazatel/

Диаметр атома водорода — примерно 0,0000000001 метра, а диаметр Солнца — 1 390 000 000 метров. Между этими величинами девятнадцать порядков, и в обычной записи обе цифры неудобны: нули сбиваются в кучу, теряются, их не прочитать вслух. Физики выходят из положения степенями: 1·10⁻¹⁰ м и 1,39·10⁹ м. Запись короткая, масштаб виден с одного взгляда. Сегодня научимся и так записывать, и так считать.


### Отрицательный и нулевой показатель


До восьмого класса показатель степени был натуральным. Теперь договорились: минус в показателе означает «переверни» — a⁻ⁿ = 1/aⁿ. Например, 2⁻³ = 1/2³ = 1/8 = 0,125, а 10⁻² = 0,01. Нулевая степень держит единицу: a⁰ = 1 при любом a, кроме нуля. Все знакомые свойства степеней продолжают работать: a⁻³ · a⁵ = a², при делении показатели вычитаются, а (a⁻²)⁻³ = a⁶ — минусы перемножаются.


$$a^{-n} = \frac{1}{a^n}, \quad a^0 = 1 \ (a \ne 0)$$

*Степень с целым показателем: минус в показателе — команда перевернуть*


> **Ловушка.** Минус в показателе не делает число отрицательным: 2⁻³ — это +0,125, а не −8. Вторая каверза — дробь под минусом: (2/3)⁻² переворачивается в (3/2)² = 9/4, знак самого числа не трогается. И третье: 1/a⁻² = a² — минус при переносе из знаменателя наверх «выпрямляется».


### Стандартный вид числа


Стандартный вид числа — запись a · 10ⁿ, где 1 ≤ a < 10, а n — целое число. Множитель a называют мантиссой, показатель n — порядком. Чтобы перевести число, сдвинь запятую так, чтобы перед ней осталась одна ненулевая цифра, и посчитай, на сколько разрядов она уехала: влево — порядок положительный, вправо — отрицательный. Диаметр Солнца 1 390 000 000 м превращается в 1,39·10⁹ м, а диаметр атома водорода 0,0000000001 м — в 1·10⁻¹⁰ м. В такой записи сравнивать легко: у Солнца порядок 9, у атома −10.


| Объект | Обычная запись | Стандартный вид |
| --- | --- | --- |
| Диаметр атома водорода | 0,0000000001 м | 1·10⁻¹⁰ м |
| Длина бактерии | 0,000002 м | 2·10⁻⁶ м |
| Скорость света | 300 000 000 м/с | 3·10⁸ м/с |
| Диаметр Солнца | 1 390 000 000 м | 1,39·10⁹ м |


**Переводим числа в стандартный вид**

1. Диаметр Солнца: 1 390 000 000 м. Сдвигаем запятую на 9 разрядов влево — остаётся 1,39.
2. Запятая уехала влево на 9 разрядов, порядок положительный: 1,39·10⁹ м.
3. Диаметр атома: 0,0000000001 м. Здесь запятая уезжает вправо на 10 разрядов — порядок отрицательный: 1·10⁻¹⁰ м.
4. Проверка мантиссы: 1 ≤ 1,39 < 10 и 1 ≤ 1 < 10 — обе записи стандартные.


*[Интерактив: Собери пары — доступен на странице урока]*


> **Совет.** Проверяй себя лестницей десяток: 10³, 10², 10¹, 10⁰, 10⁻¹, 10⁻² — каждый шаг вниз делит на 10. Если 10² = 100, то 10⁻² обязано быть 0,01. А при переводе в стандартный вид считай разряды вслух: у Солнца девять «шагов» запятой — и порядок ровно 9. Совпало с числом нулей или разрядов — ты не потерял цифру.


*[Интерактив: Заполни пропуски — доступен на странице урока]*


### Свойства степеней: минусы не портят правила


Все пять свойств, знакомых с седьмого класса, продолжают работать с целыми показателями — в этом главная красота договора. При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются: 2⁻³ · 2⁵ = 2² = 4. При делении вычитаются: 3⁻² : 3⁻⁴ = 3² = 9 — два минуса вычлись и дали плюс. При возведении степени в степень показатели перемножаются: (5⁻²)³ = 5⁻⁶ = 1/15625.


$$a^m \cdot a^n = a^{m+n}, \quad a^m : a^n = a^{m-n}, \quad (a^m)^n = a^{mn}$$

*Свойства степеней работают и для целых показателей*


Откуда берётся правило a⁰ = 1? Из деления: a³ : a³ = 1, но по свойству степеней это a³⁻³ = a⁰. Значит, a⁰ обязан равняться единице, иначе свойства развалится. Тот же расчёт объясняет минус: a³ : a⁵ = 1/a², а по свойству это a⁻² — вот и появился отрицательный показатель. Математики не придумали a⁰ = 1 из воздуха: они доопределили степени так, чтобы все прежние правила остались верными.


Отдельного внимания заслуживает связь с дробями: a⁻ⁿ — это 1/aⁿ, поэтому минус в показателе умеет «переезжать» между этажами дроби. Множитель с отрицательной степенью уезжает из числителя в знаменатель с положительной и наоборот: 1/2⁻³ = 2³ = 8. Проверка простая: 2⁻³ = 1/8, а единица, делённая на 1/8, — это 8. Всё сходится, и новых правил запоминать не нужно.


Где это встречается? Компьютерная память живёт степенями двойки: 2¹⁰ = 1024 байта — один килобайт, 2²⁰ байт — мегабайт, и переходы между ними — те же свойства степеней. В фотографии выдержка «1/128 секунды» — это 2⁻⁷: минус в показателе компактно записал дробь. А физики сокращают степени десяток при каждом переводе единиц — об этом дальше.


Пример на все свойства сразу: упростим 2⁻² · 2⁵ : 2⁻¹. Умножение складывает показатели: −2 + 5 = 3. Деление вычитает: 3 − (−1) = 4. Ответ 2⁴ = 16. Заметь последний шаг: вычесть отрицательный показатель — значит прибавить. Минусы в показателях считаются по тем же правилам, что и любые целые числа, — здесь выручает математика шестого класса.


### Лестница степеней десятки


У степеней десятки есть своя лестница, и по ней удобно шагать в обе стороны: 10³ = 1000, 10² = 100, 10¹ = 10, 10⁰ = 1, 10⁻¹ = 0,1, 10⁻² = 0,01, 10⁻³ = 0,001. Каждый шаг вниз — деление на 10, каждый шаг вверх — умножение. Именно эта лестница стоит за переводом в стандартный вид: сдвинул запятую на разряд — сменился шаг лестницы.


- толщина человеческого волоса — около 10⁻⁴ метра
- миллиметр — 10⁻³ метра, толщина монетки
- километр — 10³ метра, школьная кроссовая дистанция
- микрометр — 10⁻⁶ метра, размер бактерии
- нанометр — 10⁻⁹ метра, размер молекулы воды


Физика вся держится на этой лестнице: размер атома 10⁻¹⁰ метра, размер вируса 10⁻⁷, расстояние от Земли до Солнца 1,5·10¹¹ метров. Приставки в СИ — те же степени: микро значит 10⁻⁶, нано значит 10⁻⁹, кило значит 10³. Так что запись 5 мкм — это 5·10⁻⁶ метра, и переводы делаются на лестнице за секунды.


### Действия в стандартном виде


Со стандартным видом удобно считать, потому что мантиссы и порядки живут отдельно. Умножение: перемножаем мантиссы, складываем порядки — (3·10⁵) · (2·10⁴) = 6·10⁹, и никакого столбика с нулями. Деление: мантиссы делятся, порядки вычитаются — (8·10⁷) : (2·10³) = 4·10⁴.


Сложение и вычитание хитрее: сначала уравниваем порядки. 2·10⁶ + 3·10⁵ — это 2·10⁶ + 0,3·10⁶ = 2,3·10⁶: второе слагаемое переписали с тем же порядком, потом сложили мантиссы. Приём тот же, что приведение к общему знаменателю, только в мире степеней десятки. И следи за мантиссой после умножения: если вышло 45·10⁶, стандартный вид требует переписать в 4,5·10⁷ — мантисса обязана жить от 1 до 10.


Астрономы перемножают стандартные виды постоянно: масса Земли 6·10²⁴ кг, масса Солнца 2·10³⁰ кг — Солнце тяжелее в (2·10³⁰) : (6·10²⁴) = 3,3·10⁵ раз, примерно в 330 тысяч. Попробуй проделать это в обычной записи — утонешь в нулях. Стандартный вид придуман именно ради таких расчётов.


Химики пользуются стандартным видом в каждой лабораторной: число Авогадро 6·10²³ — столько частиц в одном моле вещества. Эритроцит — 8·10⁻⁶ метра в поперечнике, восемь микрометров. А перемножив (4·10⁻⁶) · (2·10⁻³), получаем 8·10⁻⁹ — нанометровый мир молекул. Порядок результата подсказывает масштаб ещё до вычислений: минус в порядке — микромир, плюс — мегамир.


### Разбор типовой задачи


**Вычисляем (3⁻²)⁻¹ · 3⁴**

1. Раскрываем степень в степени: показатели перемножаются, (−2) · (−1) = 2, значит (3⁻²)⁻¹ = 3².
2. Считаем: 3² = 9.
3. Собираем умножение: 3² · 3⁴ = 3²⁺⁴ = 3⁶.
4. Считаем: 3⁶ = 729.
5. Проверка через дробь: 3⁻² = 1/9, обратная к ней — девятка, то есть 3². Всё честно.
6. Итог: минус в показателе — не приговор: правила работы с показателями сделали всю работу.


### Словарь урока


**Степень с целым показателем** — запись aⁿ, где n — любое целое число
**Обратная величина** — для числа a это 1/a, то есть a⁻¹
**Мантисса** — множитель a в записи a · 10ⁿ, всегда от 1 до 10
**Порядок числа** — целая степень десятки в стандартном виде
**Свойства степеней** — правила сложения, вычитания и умножения показателей
**Стандартный вид числа** — запись a · 10ⁿ с мантиссой от 1 до 10


### Как это спрашивают на контрольной


- «Вычисли 2⁻³ · 2⁵» — складывай показатели, основание не трогай
- «Приведи к стандартному виду» — одна цифра до запятой, порядок по числу разрядов
- «Сравни 10⁻⁵ и 10⁻³» — по лестнице: у десяток больший показатель всегда даёт большее число, даже с минусом
- «Представь дробь в виде степени» — переверни: 1/5 = 5⁻¹
- «Вычисли (a⁻²)⁻³» — минусы перемножаются и дают плюс


*[Интерактив: Карточки темы — доступен на странице урока]*


## Частые вопросы

### Почему минус в показателе не делает число отрицательным?

Минус в показателе — это команда «переверни», а не знак результата: 2⁻³ = 1/8 = 0,125, число положительное. Знак результата зависит от знака основания, а не показателя.


### Что делать с дробью в отрицательной степени?

Перевернуть дробь и убрать минус: (2/3)⁻² = (3/2)² = 9/4. Числитель и знаменатель меняются местами, а дальше обычное возведение в степень.


### Как понять, какой порядок у числа в стандартном виде?

Посчитай, на сколько разрядов уехала запятая. Влево — порядок положительный (у больших чисел), вправо — отрицательный (у маленьких). У 4537 запятая уезжает на 3 разряда влево: 4,537·10³.


### Зачем записывать числа в стандартном виде?

Чтобы не теряться в нулях: 6·10²⁴ кг читается с одного взгляда, а «шесть и двадцать четыре нуля» — нет. В физике, астрономии и химии почти все величины живут именно в такой записи.


## Проверь себя (вопросы и ответы)

#### Вопрос 1: Вычисли 5⁻².
**Ответ:** 0.04

*Пояснение: 5⁻² = 1/5² = 1/25 = 0,04. Минус в показателе переворачивает степень.*


#### Вопрос 2: Какое число записано в стандартном виде?
- ✅ 3,5·10⁴
- ☐ 35·10³
- ☐ 0,3·10⁵
- ☐ 13·10⁶

*Пояснение: Мантисса должна попадать в промежуток от 1 до 10. Только у 3,5·10⁴ это выполнено.*


#### Вопрос 3: a⁰ = 1 при любом a.
- ☐ Правда
- ✅ Неправда

*Пояснение: Почти: при любом a, кроме нуля. Выражение 0⁰ не определено, поэтому уточнение a ≠ 0 обязательно.*


#### Вопрос 4: Скорость света — примерно 3·10⁸ м/с. Введи её в обычной записи (м/с).
**Ответ:** 300000000

*Пояснение: Порядок 8 означает, что запятая уезжает на 8 разрядов вправо: 300 000 000 м/с.*


#### Вопрос 5: Сопоставь степень и её значение.
- 2⁻³ — 1/8
- 5⁰ — 1
- (2/3)⁻² — 9/4
- 10⁻⁴ — 0,0001

*Пояснение: Минус в показателе переворачивает: 2⁻³ = 1/8, (2/3)⁻² = (3/2)² = 9/4.*


#### Вопрос 6: Разложи записи по типам.
- **Стандартный вид:** 2,4·10⁵, 1·10⁻³, 9,9·10¹⁰
- **Не стандартный вид:** 24·10⁴, 0,7·10⁹

*Пояснение: Мантиссы 2,4; 1 и 9,9 попадают в промежуток от 1 до 10, а 24 и 0,7 — нет.*


#### Вопрос 7: Дополни определения.
Стандартный вид числа — запись a · 10ⁿ, где 1 ≤ a < **10**. Число 0,0082 в стандартном виде: 8,2·10^**−3** . Множитель a называют **мантиссой**.

*Пояснение: Мантисса живёт от 1 до 10, у 0,0082 запятая уезжает на 3 разряда вправо, поэтому порядок −3, а a — мантисса.*


#### Вопрос 8: Расставь по возрастанию: 2⁻², 2⁰, 2³, 2⁻³.
**Правильный порядок:** 2⁻³ → 2⁻² → 2⁰ → 2³

*Пояснение: Значения: 0,25; 1; 8; 0,125. По возрастанию: 2⁻³, 2⁻², 2⁰, 2³.*


## Тренажёр

На [странице тренажёра](https://shkolniygid.ru/algebra/8-klass/stepen-celyj-pokazatel/trenazher/) — 4 типов задач с бесконечными вариантами чисел, проверкой ответа и разбором каждого шага.