# Свойства функций: область определения, нули, промежутки знакопостоянства

> Читаем график температуры как метеоролог: находим область определения, нули функции и промежутки знакопостоянства, следим за возрастанием, убыванием и рекордами.

**Алгебра, 9 класс.** Урок бесплатного онлайн-самоучителя «ШкольныйГид». Обновлено: 2026-09-30.

Страница урока: https://shkolniygid.ru/algebra/9-klass/svoystva-funkciy-9/

Приложение погоды рисует за сутки плавную кривую: в 4 часа ночи было минус 3 градуса, к 14 часам температура поднялась до плюс 11, а к полуночи опустилась снова до плюс 2. Эта кривая — график функции T(t), где t — время в часах, а T — температура. Метеоролог смотрит на неё и отвечает сразу на несколько вопросов: когда было теплее всего, в какие моменты термометр показывал ровно ноль, когда кривая шла вниз, а когда вверх. Все эти вопросы из алгебры: они про свойства функции. Список свойств короткий и стандартный: область определения, нули, промежутки знакопостоянства, возрастание и убывание, наибольшее и наименьшее значения. Именно в таком виде их просят назвать по графику на ОГЭ. Разберём каждое свойство на формулах и на этой самой температурной кривой. Каждое свойство — короткий ответ на конкретный вопрос о графике, а все они вместе — стандартный план исследования функции, по которому работают и в старших классах.


### Область определения: где функция существует


Область определения функции D(f) — это все значения аргумента, при которых формула имеет смысл. Аргумент — независимая переменная, чаще всего буква x, а область определения отвечает на вопрос: какие x вообще можно подставлять. Для линейной функции y = 3x − 2 подходит любое число: подставь хоть −100, хоть миллион — всё посчитается. Ограничения появляются там, где формула сопротивляется. Первое сопротивление — деление на ноль: у функции y = 5/x значение x = 0 запрещено, и область определения — все числа, кроме нуля. Комбинированный вариант: у функции y = 1/(x − 4) знаменатель обнуляется при x = 4, поэтому из области определения выбрасывается только четвёрка. Второе сопротивление — извлечение квадратного корня: y = √x определена только при x ≥ 0, ведь корень из отрицательного числа в школьном курсе не извлекается; сдвинь корень внутрь — y = √(x − 3) — и граница переедет на тройку. Третье ограничение приходит из жизни, а не из формулы: если функция задана таблицей наблюдений или графиком измерения, область определения — просто те значения, которые реально встретились. По графику это читается напрямую: где кривая нарисована — те x входят, где оборвалась — те нет. Похожая логика работает в бытовых задачах: функция «стоимость поездки на самокате от времени» имеет смысл при времени больше нуля — отрицательная поездка не бывает, а нулевая ничего не стоит.


| Формула | Область определения | Причина ограничения |
| --- | --- | --- |
| y = 3x − 2 | все числа | ограничений нет |
| y = 5/x | все числа, кроме x = 0 | знаменатель не должен быть нулём |
| y = √x | x ≥ 0 | корень извлекается только из неотрицательных чисел |
| y = 1/(x − 4) | все числа, кроме x = 4 | при x = 4 знаменатель равен нулю |
| y = √(x − 3) | x ≥ 3 | под корнем должно быть неотрицательное число |
| y = x² + 5 | все числа | ограничений нет |


### Нули функции: где график встречает ось x


Нуль функции — это значение аргумента, при котором значение функции равно нулю: f(x) = 0. На графике нули живут в точках пересечения с осью x: кривая температуры пересекла ось абсцисс — в этот момент термометр показывал ровно ноль. Найти нули по формуле просто: приравняй правую часть к нулю и реши уравнение. Для функции y = x² − 4 получается x² − 4 = 0, откуда x² = 4 и x = 2 или x = −2. Два нуля — и это видно на графике: парабола протыкает ось x дважды. У линейной функции y = 2x − 6 нуль один: уравнение 2x − 6 = 0 даёт x = 3. А у функции y = x² + 5 нулей нет вовсе: квадрат плюс пять всегда положителен, парабола висит над осью и никогда её не касается. Количество нулей — уже свойство функции: оно говорит, сколько раз график пересекает ось. Нули удобны и для самопроверки: нашёл в ответе x = 5 — подставь его в формулу и убедись, что вышло ровно 0, а не 0,5 и не −0,5. Для температурной кривой нули — моменты замерзания: на графиках метеорологов такие точки отмечают прямо на оси времени.


**Ищем нули функции f(x) = x² − 5x + 6**

1. Приравниваем значение функции к нулю. — $$x^2 - 5x + 6 = 0$$
2. Считаем дискриминант: 25 − 24 = 1, корень есть. — $$D = 5^2 - 4 \cdot 6 = 1$$
3. Находим корни уравнения. — $$x_1 = 2, \quad x_2 = 3$$
4. Проверяем подстановкой: f(2) = 4 − 10 + 6 = 0 и f(3) = 9 − 15 + 6 = 0. Оба числа — нули функции, и в ответ идут именно они, а не точки.


> **Ловушка.** Нуль функции — это число, а не точка. На вопрос «найди нули функции y = x² − 4» ответ: −2 и 2, а не «точки (−2; 0) и (2; 0)». Вторая ловушка — путаница с записью f(0): это значение функции при x = 0, для той же параболы f(0) = −4. Нуль функции и значение функции в нуле — две разные вещи, и на контрольной их регулярно меняют местами. Привяжи к осям: у точки пересечения с осью x нулевая ордината, у точки пересечения с осью y нулевая абсцисса — не перепутай, какая координата обнуляется.


### Знаки, монотонность и рекорды: читаем график целиком


Нули делят ось x на куски, и на каждом куске график либо выше оси, либо ниже — знак функции постоянен. Такие куски называют промежутками знакопостоянства. Для параболы y = x² − 4 промежутки, где f(x) > 0, — это (−∞; −2) и (2; +∞), а промежуток, где f(x) < 0, — это (−2; 2). Скобки круглые: сами нули знаку не принадлежат, в них функция равна нулю, а не положительна или отрицательна. Проверка числом занимает пять секунд: подставь x = 0 в середину подозрительного промежутка, получишь −4 — знак минус подтверждён. Дальше — характер движения. Функция возрастает на промежутке, если большему значению аргумента отвечает большее значение функции: график ползёт вверх. Убывает — если вниз. Проверяется это тоже подстановкой: возьми две точки промежутка и сравни значения. Температурная кривая из вводного примера убывала ночью, возрастала с утра до 14 часов, потом снова убывала; при этом наибольшее значение плюс 11 достигалось в момент t = 14, а наименьшее минус 3 — в момент t = 4. Рекорд — это значение y, а момент рекорда — значение x: «наибольшее значение равно 11» и «наибольшее значение достигается при t = 14» — ответы на два разных вопроса. У параболы y = x² − 4 наименьшее значение равно −4 и достигается при x = 0. У функции y = 1/x рекордов нет вообще: ветви гиперболы прижимаются к осям, но никогда их не достигают.


$$f(x)=x^2-4:\quad f(x)>0 \ \text{при}\ x \in (-\infty;\,-2) \cup (2;\,+\infty), \quad f(x)<0 \ \text{при}\ x \in (-2;\,2)$$

*Промежутки знакопостоянства параболы с нулями −2 и 2*


> **Совет.** Читай график в одном и том же порядке: масштаб и подписи осей, затем нули, затем промежутки знака, и только потом возрастание и рекорды. Любое сомнение закрывай подстановкой числа: не веришь, что y = x² − 4 отрицательна между нулями — подставь x = 0, получишь −4 и убедишься. Этот же порядок — готовый план исследования функции, по нему будут спрашивать и в старших классах, так что привычка окупится не раз.


*[Интерактив: Парабола и все её свойства — доступен на странице урока]*


*[Интерактив: Собери пары: свойство и его смысл — доступен на странице урока]*


## Частые вопросы

### Как найти нули функции по графику?

Найди точки, где график пересекает ось x, и запиши их абсциссы — это и есть нули. Ординаты этих точек равны нулю, в ответ идут только значения x.


### Чем наибольшее значение функции отличается от точки максимума?

Наибольшее значение — это число, ордината самой высокой точки графика. Точка максимума — абсцисса, то есть значение x, при котором рекорд достигается.


### Почему у функции y = 1/x нет ни наибольшего, ни наименьшего значения?

График — гипербола с двумя ветвями, которые прижимаются к осям и уходят в бесконечность. Ни на одной ветви нет точки-рекордсмена: всегда найдётся значение ещё больше или ещё меньше.


### Как записывать промежутки знакопостоянства — с круглыми или квадратными скобками?

Круглыми: в нулях функции значение равно нулю, а ноль не является ни положительным, ни отрицательным числом. Поэтому концы промежутков, где f(x) > 0 или f(x) < 0, в промежутки не включаются.


## Проверь себя (вопросы и ответы)

#### Вопрос 1: Найди нуль функции f(x) = x − 7.
**Ответ:** 7

*Пояснение: Решаем x − 7 = 0, отсюда x = 7. При x = 7 значение функции равно нулю.*


#### Вопрос 2: Область определения функции y = 5/x — это
- ☐ все числа
- ✅ все числа, кроме x = 0
- ☐ только положительные числа
- ☐ только x ≥ 0

*Пояснение: Делить на ноль нельзя, поэтому из области определения выброшено только x = 0, остальное разрешено.*


#### Вопрос 3: Если f(0) = 5, то число 5 — нуль функции f.
- ☐ Правда
- ✅ Неправда

*Пояснение: f(0) — это значение функции при x = 0, оно равно 5. А нуль функции — значение аргумента, при котором f(x) = 0. Это разные вещи.*


#### Вопрос 4: Найди произведение нулей функции y = x² − 9.
**Ответ:** -9

*Пояснение: Нули: x = 3 и x = −3. Произведение: 3 · (−3) = −9.*


#### Вопрос 5: Наименьшее значение функции y = x² − 4 равно
- ✅ -4
- ☐ 0
- ☐ -2
- ☐ 4

*Пояснение: Ветви параболы направлены вверх, минимум в вершине: при x = 0 значение равно −4. Наименьшее значение — это ордината, то есть −4.*


#### Вопрос 6: Какие утверждения о функции y = x² − 4 верны?
- ✅ нули функции: −2 и 2
- ✅ отрицательна на промежутке (−2; 2)
- ☐ возрастает на всей числовой прямой
- ✅ наименьшее значение равно −4

*Пояснение: Парабола убывает до вершины x = 0, а потом возрастает — третье утверждение неверно. Остальные верны: нули ±2, между ними знак минус, рекорд снизу −4.*


#### Вопрос 7: Соедини термин с его смыслом.
- нуль функции — x, при котором f(x) = 0
- область определения — все допустимые значения x
- промежуток знакопостоянства — участок, где f(x) одного знака
- возрастание — большему x отвечает большее y

*Пояснение: Четыре базовых свойства из списка исследования функции — их спрашивают и по графику, и по формуле.*


## Тренажёр

На [странице тренажёра](https://shkolniygid.ru/algebra/9-klass/svoystva-funkciy-9/trenazher/) — 4 типов задач с бесконечными вариантами чисел, проверкой ответа и разбором каждого шага.