# Уравнения и неравенства с двумя переменными — алгебра 9 класс: графики, окружность, системы

> Уравнение с двумя переменными и его график: прямая, окружность и парабола на плоскости; системы второй степени графически и подстановкой, неравенства с двумя переменными и штриховка областей — с задачей про периметр и диагональ грядки.

**Алгебра, 9 класс.** Урок бесплатного онлайн-самоучителя «ШкольныйГид». Обновлено: 2026-09-29.

Страница урока: https://shkolniygid.ru/algebra/9-klass/uravneniya-dvumya-peremennymi-9/

Хозяин дачного участка натягивает шнур по периметру прямоугольной грядки: вышло ровно 34 метра. Бабушка просит проверить и диагональ — шнур из угла в угол показал 13 метров. Стороны грядки неизвестны, и одной переменной здесь не обойтись: длина и ширина связаны сразу двумя условиями. Придётся записать два уравнения, каждое с двумя переменными, и найти пары чисел, подходящие обоим сразу. Так работает моделирование в алгебре: цена и количество покупки, длина и ширина участка, скорости двух поездов — всё это уравнения и системы с двумя переменными. Разберёмся, что считать решением такого уравнения, как выглядят его графики — прямая, окружность, парабола — и как неравенства задают целые области на плоскости. Грядку посчитаем по пути.


### Уравнение с двумя переменными и его решение


**Уравнение с двумя переменными** — равенство, в которое входят две переменные, например $2x+3y=12$. **Решить** его — значит найти все пары чисел $(x;\ y)$, при которых равенство верно. Пара (3; 2) подходит: $2\cdot3+3\cdot2=12$. Пара (0; 4) тоже: снова двенадцать. Пара (1; 2) — мимо: $2+6=8$. У такого уравнения бесконечно много решений: выбери любой x — и y досчитается из уравнения. Именно поэтому ответом служит не число, а график: множество всех подходящих точек плоскости. Формулировку стоит запомнить, её спрашивают почти дословно: решением уравнения с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая уравнение в верное равенство.


Самый важный для практики случай — **линейное уравнение** $ax+by=c$, где коэффициенты не равны нулю одновременно. Его график — **прямая**. Чтобы это увидеть, выразим y: при b, не равном нулю, $y=\frac{c-ax}{b}$ — линейная функция с наклоном $-\frac{a}{b}$. Строить прямую удобнее всего по двум точкам — пересечениям с осями. Для $2x+3y=12$: возьми x = 0 и получи y = 4 — точка (0; 4); возьми y = 0 и получи x = 6 — точка (6; 0). Провёл прямую через две точки — график готов, таблица значений не нужна. Если a = 0, остаётся $by=c$ — горизонтальная прямая. Если b = 0, выходит $x=\frac{c}{a}$ — вертикальная прямая: одному значению x отвечает бесконечно много точек, так что это график уравнения, но не функции.


*[Интерактив: Прямая из уравнения ax + by = c — доступен на странице урока]*


### Окружность на координатной плоскости


Вторая степень приносит на плоскость кривые. Возьмём точку $(x;\ y)$ и спросим: где живут точки, удалённые от $(a;\ b)$ ровно на расстояние r? Расстояние между точками считается по теореме Пифагора: складываем квадраты разностей координат. Равенство этого расстояния числу r и есть **уравнение окружности**. У $x^2+y^2=25$ центр в начале координат и радиус пять: точки (3; 4) и (−4; 3) лежат на окружности, потому что $9+16=25$, а точка (2; 2) — внутри: восемь меньше двадцати пяти. Уравнение $(x-2)^2+(y+3)^2=9$ описывает окружность с центром (2; −3) и радиусом три. Знаки в скобках читаются наоборот: плюс у x означает отрицательную абсциссу центра, минус у y — положительную ординату.


$$(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$$

*Уравнение окружности с центром (a; b) и радиусом r*


### Системы уравнений: прямая встречает параболу


Когда условия накладываются вместе, получается **система уравнений**: ищем пары чисел, подходящие каждому уравнению одновременно. На графике такие пары — общие точки двух линий, поэтому число решений системы равно числу точек пересечения. Прямая и парабола встречаются по-разному: секущая пересекает параболу в двух точках — два решения; касательная касается в одной — одно решение; прямая прошла мимо — решений нет. То же с окружностью: прямая через центр даёт две точки, касательная — одну, а линия, стоящая от центра дальше радиуса, — ни одной. У системы из двух уравнений второй степени точек пересечения может быть до четырёх.


| Взаимное расположение прямой и параболы | Общих точек | Решений системы |
| --- | --- | --- |
| секущая — пересекает в двух местах | 2 | два |
| касательная — одно касание | 1 | одно |
| прямая прошла мимо параболы | 0 | нет |


Алгебра отвечает тем же числом. Возьмём систему из окружности $x^2+y^2=25$ и прямой $y=x+1$: подставь $x+1$ вместо y — выйдет $x^2+(x+1)^2=25$, а после упрощения $x^2+x-12=0$ с корнями 3 и −4. Вернись к линейному уравнению — получишь точки (3; 4) и (−4; −3), обе на окружности и обе на прямой: два решения, ровно сколько обещала картинка секущей. Обрати внимание, как одна и та же подстановка работает и для грядки, и для кривых: линейное уравнение всегда готово отдать свою переменную в чужое уравнение.


### Метод подстановки: линейное плюс квадратное


Рисунок подсказывает число решений, но точные пары чисел даёт алгебра. Для системы из линейного уравнения и уравнения второй степени работает **метод подстановки**: вырази из линейного уравнения одну переменную и подставь полученное выражение в квадратное. Вернёмся к грядке: периметр 34 метра, диагональ 13 метров.


**Система про грядку: находим стороны**

1. Обозначь стороны a и b. Периметр — две длины плюс две ширины, значит на сумму сторон остаётся семнадцать. — $$a + b = 17$$
2. Диагональ режет грядку на два прямоугольных треугольника: работает теорема Пифагора. — $$a^2 + b^2 = 13^2 = 169$$
3. Вырази b из первого уравнения и подставь во второе. — $$b = 17 - a \Rightarrow a^2 + (17 - a)^2 = 169$$
4. Раскрой скобки и приведи подобные: слагаемые с квадратом соберутся в одно. — $$2a^2 - 34a + 120 = 0$$
5. Раздели всё на два и найди корни: сумма 17, произведение 60 — это числа 12 и 5. — $$a^2 - 17a + 60 = 0, \quad a = 12, \ a = 5$$
6. Вторую переменную досчитаем из линейного уравнения: при a = 12 выходит b = 5, при a = 5 выходит b = 12 — одна и та же пара. Стороны грядки 12 м и 5 м; проверка: 144 + 25 = 169, корень из 169 равен 13.


$$a^2 + (17 - a)^2 = 169$$

*Подстановка: вместо b в квадратное уравнение подставлено выражение 17 − a*


Алгоритм подстановки всегда одинаковый. Первый шаг — выразить из линейного уравнения ту переменную, у которой коэффициент попроще. Второй — подставить выражение во второе уравнение и получить квадратное относительно одной буквы. Третий — решить его через дискриминант или теорему Виета. Четвёртый — каждый корень вернуть в линейное уравнение и найти вторую переменную. В ответе обычно одна или две пары чисел. Ответ, снятый с чертежа, бывает приближённым: глаз не отличит x = 2 от x = 2,1, поэтому графический метод проверяют подстановкой в оба уравнения.


### Неравенства с двумя переменными и области


Замени в уравнении знак равенства знаком неравенства — и графиком станет уже не линия, а целая часть плоскости. Решением **неравенства с двумя переменными** $y>f(x)$ называют множество точек, лежащих **выше** графика f: подними взгляд от кривой вверх — там неравенство выполняется. Границу рисуют пунктиром при строгом знаке и сплошной линией при нестрогом, ведь точки границы строгому неравенству не принадлежат. Какую из двух областей штриховать, подскажет пробная точка: подставь (0; 0), если граница её не захватывает. Для $y>x^2$ пробуем (0; 1): единица больше нуля — заштриховано внутри чашки параболы. А для $x^2+y^2<16$ решением будет внутренность круга радиуса четыре без самой окружности: ноль меньше шестнадцати, значит центр внутри.


> **Ловушка.** Знаки в скобках уравнения окружности читаются наоборот: $(x+1)^2+(y-2)^2=4$ задаёт центр (−1; 2), а не (1; 2) — в скобке стоит разность x и координаты центра. Вторая ловушка: ответ графического метода всегда проверяй подстановкой — с рисунка легко снять почти верное, но неверное значение. Третья: не рисуй пунктирную границу у нестрогих неравенств — знаки ≥ и ≤ обязывают включить границу в решение.


*[Интерактив: Верно или нет? — доступен на странице урока]*


> **Совет.** Линейное уравнение строй по пересечениям с осями — две точки и линейка, никакой таблицы из шести строк. В неравенствах первым делом пробуй точку (0; 0): подстановка занимает секунды и сразу говорит, та ли область заштрихована. А в системе сначала прикинь по рисунку, сколько должно быть решений: если точки пересечения две, а квадратное уравнение дало один корень, ты где-то потерял минус.


*[Интерактив: Собери пары — доступен на странице урока]*


**Уравнение с двумя переменными** — равенство с двумя неизвестными; его решение — пара чисел
**График уравнения** — множество точек плоскости, чьи координаты — решения уравнения
**Система уравнений** — несколько уравнений с общими неизвестными; решение — общие пары
**Уравнение окружности** — (x − a)² + (y − b)² = r², центр (a; b), радиус r
**Область решения неравенства** — часть плоскости с пунктирной или сплошной границей


Дальше — тест и тренажёр. Уравнения с двумя переменными приходят на ОГЭ в задачах про графики и во второй части, где спрашивают число решений или просят составить систему по условию. В старших классах тема вырастет в аналитическую геометрию: расстояние между точками, касательная к окружности, пересечения кривых. Потренируйся дома: измерь у любой комнаты периметр и диагональ рулеткой и найди её длину и ширину подстановкой — числа будут крупнее грядки, но схема та же.


## Частые вопросы

### Что называется решением уравнения с двумя переменными?

Пара значений переменных, при подстановке которых уравнение обращается в верное равенство. Например, для 2x + 3y = 12 это пары (0; 4) и (3; 2), и таких пар бесконечно много.


### Как быстро построить график уравнения ax + by = c?

Найди две точки пересечения с осями: подставь x = 0, затем y = 0. Проведи через них прямую — это и есть график.


### Сколько решений может иметь система из прямой и параболы?

От нуля до двух — столько, сколько общих точек у графиков. Секущая даёт два решения, касательная — одно, а прямая, прошедшая мимо параболы, не даёт ни одного.


### Как понять, какую область заштриховать в неравенстве с двумя переменными?

Подставь пробную точку, например (0; 0), если она не лежит на границе. Неравенство выполнилось — штрихуй область с этой точкой; не выполнилось — противоположную.


## Проверь себя (вопросы и ответы)

#### Вопрос 1: Пара (3; y) — решение уравнения 2x + 3y = 12. Найди y. Запиши только число.
**Ответ:** 2

*Пояснение: Подставим x = 3: 2·3 + 3y = 12, откуда 3y = 6 и y = 2.*


#### Вопрос 2: Что является графиком уравнения ax + by = c, если коэффициенты a и b не равны нулю одновременно?
- ☐ парабола
- ✅ прямая
- ☐ гипербола
- ☐ окружность

*Пояснение: Линейное уравнение с двумя переменными задаёт прямую. Парабола и гипербола — графики функций второй и обратной степеней.*


#### Вопрос 3: Точка (1; 1) лежит на окружности x² + y² = 4.
- ☐ Правда
- ✅ Неправда

*Пояснение: Сумма квадратов координат равна двум, а не четырём: точка лежит внутри окружности, но не на ней.*


#### Вопрос 4: Выбери все верные утверждения про уравнение (x − a)² + (y − b)² = r².
- ✅ центр окружности — точка (a; b)
- ✅ радиус равен r
- ☐ центр всегда в начале координат
- ☐ графиком уравнения является прямая

*Пояснение: Это уравнение окружности с центром (a; b) и радиусом r. Центр совпадает с началом координат только при a = b = 0, а прямая — график линейного уравнения.*


#### Вопрос 5: Расставь шаги решения системы «линейное плюс квадратное» методом подстановки.
**Правильный порядок:** выразить из линейного уравнения одну переменную → решить квадратное уравнение и найти корни → вернуть корни в линейное уравнение и найти вторую переменную

*Пояснение: Сначала выражаем переменную из линейного уравнения, затем подставляем в квадратное и решаем его, после чего возвращаемся за второй переменной.*


#### Вопрос 6: Сопоставь уравнение и его график.
- 2x + y = 5 — прямая
- x² + y² = 16 — окружность
- y = x² − 3 — парабола
- y > x + 1 — область выше прямой

*Пояснение: Линейное уравнение рисует прямую, сумма квадратов координат — окружность, функция второй степени — параболу, а неравенство задаёт полуплоскость.*


#### Вопрос 7: Дополни предложение.
График линейного уравнения с двумя переменными — это **прямая**, график уравнения (x − a)² + (y − b)² = r² — **окружность**, а решением неравенства y > f(x) служит область **выше** графика f.

*Пояснение: Линейное уравнение задаёт прямую, уравнение с квадратами координат — окружность, а строгое неравенство y > f(x) — область выше графика без самой границы.*


## Тренажёр

На [странице тренажёра](https://shkolniygid.ru/algebra/9-klass/uravneniya-dvumya-peremennymi-9/trenazher/) — 3 типов задач с бесконечными вариантами чисел, проверкой ответа и разбором каждого шага.