# Колебательный контур > Ручка настройки приёмника крутит ёмкость — и меняет частоту: конденсатор, катушка, формула Томсона и резонанс — с интерактивом и бесплатным тренажёром. **Физика, 11 класс.** Урок бесплатного онлайн-самоучителя «ШкольныйГид». Обновлено: 2026-09-26. Страница урока: https://shkolniygid.ru/fizika/11-klass/kolebatelnyy-kontur/ Крутишь ручку старого радиоприёмника — и одна станция сменяет другую: сначала разговоры, потом музыка, потом шипение. Никакой магии: под ручкой прячется конденсатор переменной ёмкости, соединённый с катушкой в **колебательный контур**. Поворот ручки меняет собственную частоту контура, и приёмник вылавливает из антенны ту станцию, чья частота совпала с его собственной. Те же колебания идут и в передатчике на той стороне города — только там их усиливают и выпускают в эфир. Контур из конденсатора и катушки — сердце всей радиотехники: от первой искровой телеграфии до Wi-Fi. Задача урока — понять, как в этой паре деталей рождаются колебания, чему равен их период и при чём здесь качели. ### Конденсатор плюс катушка: рождение колебаний Возьмём идеальную пару: конденсатор ёмкостью $C$ и катушку с индуктивностью $L$, соединённые в кольцо с ничтожно малым сопротивлением. Зарядим конденсатор от батарейки и уберём её — система предоставлена самой себе. Заряженные обкладки тянутся друг к другу, и через катушку начинается разряд. Но катушка не даёт току вырасти мгновенно: изменение тока возбуждает в ней ЭДС самоиндукции, которая тормозит нарастание. Когда конденсатор разрядился до нуля, ток уже разогнался до максимума, и остановиться он не может — по той же самоиндукции. Ток продолжает течь в ту же сторону и перезаряжает конденсатор обратной полярностью. Полярность поменялась — и всё повторяется в обратном направлении: разряд, разгон тока, перезаряд. Так в цепи возникают **свободные электромагнитные колебания** — процесс, повторяющийся через равные промежутки времени без внешней подпитки. $$W_{C} = \frac{q^{2}}{2C}, \qquad W_{L} = \frac{L I^{2}}{2}$$ *Энергия электрического поля конденсатора (q — заряд) и энергия магнитного поля катушки (I — сила тока)* Почему же катушка так упряма? Работает правило Ленца: индуцированный ток всегда направлен против изменения, его породившего. Чем быстрее меняется ток, тем сильнее ЭДС самоиндукции его тормозит, — и наоборот: при попытке разорвать цепь с большим током катушка даёт мощную искру, отрабатывая резкое падение. Ток в катушке похож на разогнанную тележку: ни остановить мгновенно, ни разогнать мгновенно нельзя — только плавно. Именно это свойство и делает контур колебательным: катушка не даёт разряду пройти мгновенным хлопком и заставляет процесс растянуться на период. $$\varepsilon = -L \frac{\Delta I}{\Delta t}$$ *ЭДС самоиндукции: L — индуктивность, ΔI — изменение силы тока за время Δt; знак минус — противодействие изменению* ### Перекачка энергии: четверть периода на одну передачу В идеальном контуре без потерь полная энергия сохраняется — она просто переселяется между двумя полями. Пока заряд конденсатора максимален, ток равен нулю и вся энергия сидит в электрическом поле между обкладками. Четверть периода спустя конденсатор разряжен, ток достиг наибольшей силы, и энергия целиком переехала в магнитное поле катушки. Ещё четверть — и конденсатор заряжен с обратной полярностью, ток снова ноль. Так энергия ходит по кругу: электрическое поле — магнитное — электрическое, как потенциальная энергия качелей превращается в кинетическую и обратно. Заряд и ток колеблются со сдвигом на четверть периода: где пик заряда — там ноль тока, где пик тока — там ноль заряда. Подключи к контуру осциллограф — и передача видна как два чередующихся горба, строго по расписанию. ### График колебаний: гармоника на экране Заряд конденсатора меняется по закону косинуса: максимум в нулевой момент, ноль через четверть периода, обратный максимум через половину. Ток ведёт себя как синус со сдвигом на четверть периода — поэтому его пики ровно в те моменты, когда заряд пересекает ноль. Такие колебания называют **гармоническими**: у них есть амплитуда, период и плавный синусоидальный профиль. Циклическая частота ω из формулы ниже — это просто частота, умноженная на два пи. Именно такой узор рисует осциллограф, подключённый к контуру, — и по расстоянию между пиками на экране можно прочитать период колебаний. $$q = q_{m} \cos(\omega t), \qquad \omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}$$ *Гармонические колебания заряда: q — заряд в момент времени t, ω — циклическая частота свободных колебаний* ### Аналогия с маятником: почему формулы похожи Механические и электромагнитные колебания описываются одной и той же математикой, и соответствие получается почти словарное. Качели в крайнем положении — это заряженный конденсатор: запас энергии максималь, движение замирало. Качели в нижней точке — это максимальный ток в катушке: скорость наибольшая, отклонение нулевое. Роль массы у катушки играет индуктивность: и то и другое — «инертность», не позволяющая мгновенно изменить движение. Роль жёсткости пружины — обратная ёмкость: меньше ёмкость, жёстче контур. Инженеры пользуются этим словарём всерьёз: задачу из радиотехники можно решить на механическом макете и наоборот. А сам факт совпадения формул не случайность: обе системы описываются одинаковыми уравнениями. | Механические колебания | Колебательный контур | Что общего | | --- | --- | --- | | Крайнее отклонение качелей | Заряд конденсатора максимален | энергия в «запасе», движение замирало | | Нижняя точка качелей | Сила тока в катушке максимальна | энергия движения максимальна | | Масса груза | Индуктивность катушки | инертность: не даёт измениться мгновенно | | Жёсткость пружины | Величина, обратная ёмкости | «упругость» системы | | Период пружинного маятника | Формула Томсона | одна и та же математика | ### Формула Томсона Уильям Томсон — тот самый лорд Кельвин, чьим именем названа шкала температур, — вывел в девятнадцатом веке период свободных колебаний контура. Ответ красивый: период пропорционален корню из произведения ёмкости на индуктивность. Увеличил ёмкость в четыре раза — период вырастет лишь вдвое: величины стоят под корнем. Частота — обратная величина к периоду, и она тоже выражается через корень. Заметь, что формула для маятника и формула для контура совпадают с точностью до словаря из таблицы выше: это не случайность, а следствие одинаковых уравнений для обеих систем. $$T = 2\pi\sqrt{LC}, \qquad \nu = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$$ *Формула Томсона: T — период, ν — частота свободных колебаний, L — индуктивность в генри, C — ёмкость в фарадах* **Считаем период и частоту контура** 1. Катушка 4 микрогенри и конденсатор 625 пикофарад: перемножаем. — $$LC = 4 \cdot 10^{-6} \cdot 625 \cdot 10^{-12} = 2{,}5 \cdot 10^{-15}$$ 2. Корень из произведения даёт пять десятитысячных микросекунды. — $$\sqrt{LC} \approx 5 \cdot 10^{-8}$$ 3. Умножаем на два пи — период около трёх десятых микросекунды. — $$T \approx 3{,}1 \cdot 10^{-7}$$ 4. Частота — обратная величина: около трёх мегагерц, коротковолновый диапазон. — $$\nu \approx 3{,}2 \cdot 10^{6}$$ *[Интерактив: Прикинь период по Томсону — доступен на странице урока]* > **Ловушка.** Формула Томсона описывает идеальный контур без сопротивления; в реальном контуре часть энергии уходит в тепло, и колебания затухают. Вторая ловушка — корень: четырёхкратный рост ёмкости или индуктивности удлиняет период лишь вдвое, а не в четыре. И не путай период с частотой: это обратные величины, микросекунда периода — это мегагерцы частоты, а не миллигерцы. ### Затухание и резонанс: как приёмник выбирает станцию В реальном контуре всегда есть сопротивление проводов: ток греет их, энергия понемногу покидает систему, и размах колебаний падает — колебания **затухают**. Качество контура описывают добротностью — числом колебаний, которое контур успевает сделать до заметного затухания: чем выше добротность, тем дольше звенит система и тем острее она выбирает свою частоту. Чтобы колебания жили вечно, нужны подпитки — **вынужденные колебания**: антенна приёмника непрерывно подбрасывает в контур сигналы всех станций сразу. Выручает **резонанс**: контур откликается на внешнюю частоту тем сильнее, чем ближе она к его собственной, а на далёкие частоты почти не смотрит. Крутя ручку настройки, ты меняешь ёмкость — сдвигаешь собственную частоту — и контур «выбирает» из эфира одну станцию. Совпала частота — музыка; не совпала — тишина или шипение. *[Интерактив: Верно или нет? — доступен на странице урока]* > **Совет.** Для настройки запомни одно правило: уменьшаешь ёмкость или индуктивность — частота растёт. Прикидку делай ступеньками от «два пи примерно шесть»: корень из LC по порядку величины, потом умножение на шесть. И проверяй ответ на здравый смысл: контур с пикофарадами и микрогенри живёт в мегагерцах, а с микрофарадами и миллигенри — уже в килогерцах. ### От контура к радио: открытая антенна и модуляция Замкнутый контур колеблется вполголоса: его поля заперты между обкладками и витками. Растяни контур в длинный провод — получится **открытый колебательный контур**, антенна, и её поля уже уходят в пространство электромагнитной волной со скоростью света: триста тысяч километров в секунду, так что волна станции на сто мегагерц имеет длину три метра. На передающей станции звук накладывают на несущую частоту — это **модуляция**: меняют амплитуду или частоту волны в такт сигналу микрофона. Приёмник проделывает обратное: резонансный контур выделяет нужную несущую, а дальше из неё извлекают звук. Первый практический приёмник продемонстрировал Александр Попов в 1895 году, а сегодня те же резонансы, только на гигагерцах и в миниатюре, работают в телефоне и роутере — катушки и конденсаторы там подросли до крошечных плёночных структур, но задача осталась прежней: выделить одну частоту из эфира. *[Интерактив: Карточки: словарь радиофизики — доступен на странице урока]* *[Интерактив: Контур: соедини пары — доступен на странице урока]* *[Интерактив: Заполни формулу словами — доступен на странице урока]* Урок замыкает большую дугу курса: качели и маятник девятого класса, электромагнитная индукция одиннадцатого и конденсаторы десятого собрались в одну систему, которая умеет колебаться сама и ловить волны. Дальше по программе — электромагнитные волны и оптика, где понесшийся из антенны сигнал станет главным героем. Квиз и тренажёр ниже — проверь, что формулу Томсона ты выводишь быстрее, чем крутится ручка настройки. ## Частые вопросы ### Что показывает формула Томсона? Она связывает период свободных колебаний контура с его деталями: период равен два пи на корень из произведения ёмкости и индуктивности. Чем больше ёмкость или индуктивность, тем медленнее колебания, причём период растёт как корень. Именно по этой формуле рассчитывают настройку приёмников и передатчиков. ### Почему колебания в реальном контуре затухают? Провода и обмотки всегда имеют сопротивление, и ток греет их, вынося энергию из контура. Размах колебаний падает, и без подпитки процесс прекращается. В приёмнике энергию подбрасывает антенна, а в передатчике — усилитель, поэтому колебания там вынужденные. ### Как радиоприёмник выбирает нужную станцию? Антенна ловит сигналы всех станций сразу, а колебательный контур откликается только на частоту, совпавшую с его собственной, — это резонанс. Крутя ручку настройки, слушатель меняет ёмкость конденсатора и тем самым сдвигает собственную частоту контура. Совпадение частот выделяет одну станцию из эфира. ### Что общего у качелей и колебательного контура? Обе системы запасают энергию в двух видах и перекачивают её туда-сюда: у качелей потенциальная превращается в кинетическую, у контура электрическая — в магнитную. Масса качелей соответствует индуктивности, жёсткость — обратной ёмкости. Поэтому формулы периодов у них похожи с точностью до букв. ## Проверь себя (вопросы и ответы) #### Вопрос 1: Что нужно, чтобы в идеальном контуре возникли свободные колебания? - ✅ зарядить конденсатор и оставить его наедине с катушкой - ☐ постоянно поддерживать ток батарейкой - ☐ разорвать цепь - ☐ нагреть катушку *Пояснение: Достаточно сообщить контуру энергию один раз: дальше заряд и ток обмениваются ею сами — это свободные колебания.* #### Вопрос 2: Контур собран из катушки с индуктивностью 1 микрогенри и конденсатора ёмкостью 2500 пикофарад. Чему примерно равен период колебаний? Ответ дай в микросекундах, округли до десятых. **Ответ:** 0,3 *Пояснение: Произведение LC равно 2,5 на десять в минус пятнадцатой, корень — пять на десять в минус восьмой, а после умножения на два пи период выходит около 3,1 на десять в минус седьмой секунды — 0,3 микросекунды.* #### Вопрос 3: Если увеличить ёмкость конденсатора в 4 раза, период колебаний контура увеличится в 2 раза. - ✅ Правда - ☐ Неправда *Пояснение: Да: ёмкость стоит под корнем, поэтому четырёхкратный рост даёт удвоение периода.* #### Вопрос 4: Расставь моменты свободного колебания по времени, начиная с полностью заряженного конденсатора. **Правильный порядок:** заряд конденсатора максимален → ток максимален, заряд равен нулю → заряд снова максимален, но с обратной полярностью *Пояснение: Из полного заряда через четверть периода ток максимален, а ещё через четверть конденсатор перезаряжен обратной полярностью.* #### Вопрос 5: Соедини деталь или имя с их ролью. - конденсатор — запасает энергию в электрическом поле - катушка — запасает энергию в магнитном поле - Томсон — вывел формулу периода колебаний контура *Пояснение: Две детали хранят энергию в разных полях, а формула периода носит имя Томсона.* #### Вопрос 6: Где сосредоточена энергия в каждый момент колебаний? - **Электрическое поле:** заряженные обкладки конденсатора, промежуток между обкладками - **Магнитное поле:** ток в катушке, витки катушки при разряде *Пояснение: Конденсатор хранит энергию в электрическом поле, катушка — в магнитном; они постоянно обмениваются.* #### Вопрос 7: Дополни формулу Томсона словами. Период свободных колебаний равен два пи на корень из произведения **ёмкости и индуктивности**, а частота — обратная к периоду величина, её измеряют в **герцах**. *Пояснение: T = 2π√(LC), а частота в герцах — величина, обратная периоду.* ## Тренажёр На [странице тренажёра](https://shkolniygid.ru/fizika/11-klass/kolebatelnyy-kontur/trenazher/) — 3 типов задач с бесконечными вариантами чисел, проверкой ответа и разбором каждого шага.