# Уравнение состояния идеального газа

> Объединённый газовый закон и уравнение Менделеева–Клапейрона: как связаны давление, объём и температура газа, что такое изопроцессы и как решать задачи про баллоны и воздушные шары.

**Физика, 8 класс.** Урок бесплатного онлайн-самоучителя «ШкольныйГид». Обновлено: 2026-09-30.

Страница урока: https://shkolniygid.ru/fizika/8-klass/uravnenie-sostoyaniya-8/

Зимнее утро: машина простояла ночь на морозе, и датчики показывают, что давление в шинах упало с 220 до 190 кПа. Никто не спускал колёса — воздух внутри просто остыл. А в жаркий полдень та же шина разогревается так, что перекачанное колесо звенит на кочках. Давление, объём и температура газа связаны жёстко: сдвинулось одно — сдвинулось остальное. Как именно — формула этого урока, и она же стоит за задачами про баллоны, шины и воздушные шары на контрольных и экзаменах.


### Три параметра состояния газа


Состояние газа описывают три числа: давление $p$, объём $V$ и температура $T$. Эти числа называют **параметрами состояния**. Сидишь ты с бутылкой лимонада — у воздуха внутри заданы свои давление, объём и температура, и других «паспортных данных» у него нет. **Уравнение состояния** — это равенство, которое связывает все три параметра и потому позволяет вычислять один из них, когда известны два остальных.


Формулы этого урока относятся к **идеальному газу** — модели, в которой молекулы считаются материальными точками, а их притяжением и отталкиванием пренебрегают. Звучит как упрощение, но работает отлично: воздух, кислород, гелий и другие газы при обычных условиях ведут себя почти идеально. Модель ломается только вблизи конденсации — когда газ вот-вот превратится в жидкость.


**Параметры состояния** — давление, объём и температура — три числа, задающие состояние газа
**Идеальный газ** — модель газа из точечных молекул без взаимодействия; воздух при обычных условиях близок к ней
**Уравнение состояния** — формула, связывающая давление, объём и температуру одной порции газа
**Изопроцесс** — процесс, при котором один из трёх параметров остаётся постоянным
**Молярная масса** — масса одного моля вещества; у воздуха около 0,029 кг/моль


### Объединённый газовый закон


На практике все три параметра меняются одновременно: шар поднимается в небо — давление снаружи падает, температура снижается, объём растёт. Для двух состояний одной и той же порции газа, например «на земле» и «на высоте», связку записывает **объединённый газовый закон**. Его получил Бенуа Клапейрон в 1834 году, склеив два более старых закона в одно равенство.


$$\frac{p_1 V_1}{T_1} = \frac{p_2 V_2}{T_2}$$

*Объединённый газовый закон для двух состояний газа неизменной массы*


Читать его просто: возьми состояние 1, раздели произведение $pV$ на температуру, — получится число, одинаковое для состояния 2. Единицы при этом должны совпадать слева и справа: если давление первого состояния в кПа, то второго тоже в кПа, если объём в литрах — то и второй в литрах. А вот температура всегда строго в кельвинах: $T = t + 273$, где $t$ — температура в градусах Цельсия. Двадцать градусов — это 293 К, минус десять — 263 К.


**Вывод объединённого закона за два шага**

1. Шаг 1: переход из состояния 1 в промежуточное сделаем изотермическим, при постоянной температуре $T_1$. Тогда давление и объём меняются по закону Бойля–Мариотта, и промежуточный объём выразится через давление $p_2$. — $$V' = \frac{p_1 V_1}{p_2}$$
2. Шаг 2: из промежуточного состояния в состояние 2 идём при постоянном объёме. Здесь работает связка давления и температуры, а объём уже известен из первого шага. — $$V_2 = V' \cdot \frac{T_2}{T_1} = \frac{p_1 V_1 T_2}{p_2 T_1}$$
3. Шаг 3: переставляем множители — и получается равенство, в котором каждое состояние даёт своё произведение pV, делённое на температуру. — $$\frac{p_1 V_1}{T_1} = \frac{p_2 V_2}{T_2}$$


> **Ловушка: градусы вместо кельвинов.** Самая частая ошибка в задачах на газовые законы — подставить 20 вместо 293 К. Разница почти в пятнадцать раз, и ответ улетает мгновенно. Привычка железная: встретил в условии градусы Цельсия — первым делом прибавь 273 и только потом подставляй. При этом разность температур можно писать и в градусах, и в кельвинах — сдвиг на 273 в разности сокращается.


### Изопроцессы: три частных случая


Зафиксируй в объединённом законе один параметр — и он свернётся в отдельный закон с собственным именем. Такие процессы называют **изопроцессами**, и школьная программа любит их почти как таблицу умножения: график изопроцесса в осях давление–объём, давление–температура или объём–температура — классика экзаменов.


| Процесс | Что постоянно | Закон | Формула |
| --- | --- | --- | --- |
| Изотермический | температура | закон Бойля–Мариотта | pV = const |
| Изобарный | давление | закон Гей-Люссака | V/T = const |
| Изохорный | объём | закон Шарля | p/T = const |


Названия расшифровываются сами: «изо-терма» — постоянная температура, «изо-бара» — постоянное давление (бар — давление), «изо-хора» — постоянный объём. В задачах процесс опознают по конструкции: закрытый жёсткий баллон — это изохора, газ под свободно скользящим поршнем или в открытом сосуде — изобара, а медленное сжатие в тёплой комнате, где газ успевает принять температуру воздуха, — изотерма.


### Уравнение Менделеева–Клапейрона


Объединённый закон сравнивает два состояния одной порции газа. А если хочется узнать давление прямо сейчас — по массе газа и температуре? Для этого в уравнение добавили массу: $pV = \frac{m}{M}RT$. Здесь $m$ — масса газа в килограммах, $M$ — молярная масса в кг/моль, а $R = 8{,}31$ Дж/(моль·К) — универсальная газовая постоянная, одна для всех газов. В 1874 году эту форму получил Дмитрий Менделеев, поэтому за уравнением закрепилось двойное имя — **уравнение Менделеева–Клапейрона**.


$$pV = \frac{m}{M} R T$$

*Уравнение состояния идеального газа; R = 8,31 Дж/(моль·К)*


Молярную массу берут из таблицы Менделеева: складывают атомные массы элементов молекулы и приписывают г/моль, а для подстановки переводят в кг/моль. У кислорода $M = 32$ г/моль, у гелия — 4 г/моль, у воздуха — около 29 г/моль, то есть 0,029 кг/моль. Дробь $\frac{m}{M}$ — это количество вещества в молях: она переводит массу газа в число молекул, поэтому уравнение одинаково работает и для гелия в шарике, и для воздуха в комнате.


За константой $R$ прячется красивый факт: один моль любого газа при 0 °C и нормальном атмосферном давлении занимает 22,4 литра. Подставь эти числа в уравнение для одного моля — и получишь те самые 8,31 Дж/(моль·К). Именно поэтому $R$ не надо запоминать по газам: она одна на всех.


**Разбор: газ при нагреве в закрытом баллоне**

1. Дано: в жёстком баллоне газ при 300 К под давлением 150 кПа. Баллон нагрели до 360 К. Найти новое давление. Первое действие — узнать, что постоянно: стенки жёсткие, объём не меняется, значит это изохора. — $$\frac{p_1}{T_1} = \frac{p_2}{T_2}$$
2. Выражаем конечное давление из закона Шарля: оно равно начальному, умноженному на отношение температур. — $$p_2 = p_1 \cdot \frac{T_2}{T_1}$$
3. Подставляем числа: температуры уже в кельвинах, давления в одинаковых кПа. — $$p_2 = 150 \cdot \frac{360}{300} = 180\,\text{кПа}$$
4. Ответ: 180 кПа. Проверка на глаз: температура выросла в 1,2 раза — давление выросло во столько же. Числа сошлись, единицы на месте.


Случай посложнее — когда меняются сразу давление и объём. Возьмём воздушный шар-зонд: у земли он имеет объём 40 м³ при 100 кПа и 300 К, а на высоте давление падает до 80 кПа, температура — до 270 К. Объём здесь постоянным не будет: оболочка эластичная, и газ растянется. Это работа объединённого закона в полном сборе.


**Разбор: подъём воздушного шара-зонда**

1. Выписываем два состояния: у земли — 100 кПа, 40 м³, 300 К; на высоте — 80 кПа, неизвестный объём, 270 К. Записываем объединённый закон и выражаем неизвестный объём. — $$V_2 = \frac{p_1 V_1 T_2}{p_2 T_1}$$
2. Подставляем: давления в одинаковых кПа, температуры в кельвинах, объём в кубометрах. — $$V_2 = \frac{100 \cdot 40 \cdot 270}{80 \cdot 300}$$
3. Считаем: числитель 1 080 000, знаменатель 24 000, частное равно 45 кубометрам. — $$V_2 = 45\,\text{м}^3$$
4. Ответ: 45 м³. Шар на высоте раздувается: снаружи давление ниже, и газ занимает больший объём — именно поэтому запущенные зонды к стратосфере выглядят надутыми до предела.


> **Три ловушки задач на газы.** Первая — кельвины: любые температуры в формулах переводим сдвигом на 273, и делаем это до подстановки. Вторая — литры и кубометры: один кубометр — это тысяча литров, а в одном равенстве обе части должны быть в одинаковых единицах. Третья — атмосферное давление: в открытом сосуде, камере или под свободным поршнем давление газа равно давлению воздуха снаружи — 101,3 кПа при нормальных условиях. Забыть атмосферу в данных — значит потерять половину ответа.


*[Интерактив: Словарь газовых законов — доступен на странице урока]*


*[Интерактив: Каждому процессу — своя константа — доступен на странице урока]*


*[Интерактив: Верю — не верю — доступен на странице урока]*


*[Интерактив: Собери уравнение словами — доступен на странице урока]*


### Где это встретится на экзамене


На ОГЭ газовые законы живут в расчётных задачах и вопросах про бытовые ситуации: шины, баллон, поршень. На ЕГЭ по физике — графики изопроцессов в разных осях и задачи, где уравнение состояния становится первым шагом к плотности, массе или внутренней энергии. График учит читать так: ось, где параметр не меняется, даёт вертикаль или горизонталь, а наклонная изохора в осях p–T идёт тем круче, чем меньше объём.


План подготовки простой: доведи перевод в кельвины и опознание процесса до автоматизма, выучи таблицу изопроцессов и прорешай оба разбора выше с другими числами. Дальше по курсу — влажность воздуха: там водяной пар уже не будет идеальным газом, и это отдельная ловушка, о которой поговорим на практикуме. А пока закрой квиз и тренажёр — задачи про баллоны и шары встречаются и в контрольных, и на экзаменах почти дословно.


## Частые вопросы

### Почему в газовых законах нельзя использовать градусы Цельсия?

Законы опираются на пропорциональность, которая начинается с абсолютного нуля — 0 К. Сдвиг на 273 градуса ломает пропорции: 20 °C не «вдвое горячее» 10 °C, а 293 К и 283 К почти одинаковы.


### Что происходит с давлением газа при охлаждении в закрытом баллоне?

Объём постоянен, поэтому p/T = const: вместе с температурой падает и давление. Зимние шины — ровно этот случай, поэтому давление в них проверяют на холоде, а не в тёплом гараже.


### Чем объединённый газовый закон отличается от уравнения Менделеева–Клапейрона?

Первый сравнивает два состояния одной и той же порции газа, второй работает для одного состояния сразу и учитывает массу: через m/M можно найти давление, объём или температуру любого количества газа.


### Что брать за давление газа в открытом сосуде?

Атмосферное давление: открытый сосуд не удерживает свой газ, и его давление уравнивается с воздухом снаружи. При нормальных условиях это 101,3 кПа — именно это число подставляют в задачах про камеру шины или цилиндр с поршнем.


## Проверь себя (вопросы и ответы)

#### Вопрос 1: Какое равенство называют уравнением состояния идеального газа?
- ✅ $pV = \frac{m}{M}RT$
- ☐ $pV = const$
- ☐ $p = \frac{F}{S}$
- ☐ $\rho = \frac{m}{V}$

*Пояснение: Уравнение состояния связывает давление, объём, массу и температуру одной порции газа — это уравнение Менделеева–Клапейрона.*


#### Вопрос 2: Газ в жёстком закрытом баллоне при 300 К имеет давление 100 кПа. Баллон нагрели до 360 К. Каким стало давление в кПа?
**Ответ:** 120

*Пояснение: Объём постоянен — изохора, p/T = const: p2 = 100 · 360/300 = 120 кПа.*


#### Вопрос 3: Температуру в объединённый газовый закон можно подставлять в градусах Цельсия.
- ☐ Правда
- ✅ Неправда

*Пояснение: Только в кельвинах: 20 °C — это 293 К. Ноль градусов Цельсия — не нулевая температура, и без сдвига на 273 пропорциональность ломается.*


#### Вопрос 4: Что верно для изотермического процесса?
- ✅ температура не меняется
- ✅ при сжатии газа давление растёт
- ✅ произведение pV постоянно
- ☐ объём остаётся неизменным

*Пояснение: Изотерма — это T = const, отсюда pV = const: при сжатии давление растёт. Неизменным объём быть не может — это уже изохора.*


#### Вопрос 5: Собери план решения задачи на газовые законы.
**Правильный порядок:** записать данные и найти параметр, который не меняется → перевести температуры в кельвины, объёмы — в одинаковые единицы → выбрать закон и записать его в буквах → выразить неизвестную величину и вычислить

*Пояснение: Сначала данные и постоянный параметр, потом единицы, затем закон и вычисления: перепутанный порядок — главный источник ошибок.*


#### Вопрос 6: Соедини закон и процесс, при котором он работает.
- закон Бойля–Мариотта — изотермический процесс
- закон Гей-Люссака — изобарный процесс
- закон Шарля — изохорный процесс

*Пояснение: Каждому изопроцессу соответствует свой автор: сжатие при постоянной температуре — Бойль и Мариотт, расширение при постоянном давлении — Гей-Люссак, нагрев при постоянном объёме — Шарль.*


#### Вопрос 7: Разложи процессы по тому, что в них постоянно.
- **T = const:** медленное сжатие газа в тёплой комнате
- **p = const:** сжатие газа под свободным поршнем
- **V = const:** нагревание газа в закрытом жёстком баллоне

*Пояснение: Свободный поршень держит постоянное давление, жёсткие стенки — объём, а в тёплой комнате газ успевает принять температуру воздуха.*


## Тренажёр

На [странице тренажёра](https://shkolniygid.ru/fizika/8-klass/uravnenie-sostoyaniya-8/trenazher/) — 4 типов задач с бесконечными вариантами чисел, проверкой ответа и разбором каждого шага.