# Механические колебания

> Качели и маятниковые часы: что такое период, частота и амплитуда, как работает формула маятника и почему масса груза ни при чём. С интерактивом и бесплатным тренажёром.

**Физика, 9 класс.** Урок бесплатного онлайн-самоучителя «ШкольныйГид». Обновлено: 2026-09-27.

Страница урока: https://shkolniygid.ru/fizika/9-klass/mehanicheskie-kolebaniya/

На детской площадке качели с цепями длиной около 2 м. Ты засёк: за 30 секунд качели сделали 12 полных размахов. Соседние, с цепями в полметра, успели качнуться 24 раза. Почему период зависит от длины подвеса и не зависит от седока? Механические колебания — движения, повторяющиеся через равные промежутки времени: маятник часов, ветка без птицы, струна гитары.


### Период, частота и амплитуда


Одно полное колебание — путь от края до края и обратно. Три величины его описывают. **Амплитуда** — наибольшее отклонение от равновесия, в метрах: у струны доли миллиметра, у качелей метры. **Период** $T$ — время одного колебания: $T = \frac{t}{N}$, где $N$ — число колебаний за время $t$. Для качелей $T = 30 : 12 = 2{,}5$ с, для коротких — $30 : 24 = 1{,}25$ с. **Частота** $\nu$ — число колебаний за секунду, $\nu = \frac{N}{t} = \frac{1}{T}$. Единица — герц: 1 Гц — одно колебание в секунду. Частота качелей 12 : 30 = 0,4 Гц.


| Величина | Обозначение | Единица | Как найти |
| --- | --- | --- | --- |
| Амплитуда | $A$ | м | наибольшее отклонение от равновесия |
| Период | $T$ | с | $T = \frac{t}{N}$ |
| Частота | $\nu$ | Гц | $\nu = \frac{N}{t} = \frac{1}{T}$ |


$$T = \frac{t}{N}, \qquad \nu = \frac{N}{t} = \frac{1}{T}$$

*Период и частота: t — время наблюдения, N — число колебаний*


### Свободные и вынужденные колебания


Отпусти качели — они качаются сами, и каждый размах чуть меньше предыдущего: трение в подвесе и сопротивление воздуха медленно съедают энергию. Это **свободные колебания**: система движется под действием внутренних сил, и без подпитки энергией они всегда затухают. У швейной машины иначе: игла ходит вверх-вниз ровно столько, сколько крутится вал, и остановится вместе с ним. Это **вынужденные колебания** — их поддерживает периодическая внешняя сила.


- Качели после одного толчка — свободные: размах понемногу тает
- Струна гитары после щипка — свободные: звучит сама и затухает
- Игла швейной машины — вынужденные: её гонит вал с мотором
- Поршень двигателя — вынужденные: шатун толкает его каждую долю секунды
- Ветка, с которой слетела птица, — свободные: несколько качаний и тишина


У каждой системы есть **собственная частота** — частота её свободных колебаний: у качелей с подвесом 2 м это 0,4 Гц, у струны сотни герц. Вынужденные колебания подстраиваются под частоту внешней силы, и тут прячется главный сюрприз. Толкай качели вразнобой — толчки гасят друг друга, размах не растёт. Попадай точно в такт — каждый толчок добавляет энергию вовремя, и за пару десятков толчков качели разгоняются до опасного размаха. Это **резонанс**: резкий рост амплитуды, когда частота силы совпала с собственной частотой системы.


С резонансом учились жить не сразу. В 1831 году висячий мост Бротон в Манчестере обрушился, когда рота солдат прошла по нему строевым шагом в ногу, — с тех пор по мостам воинским частям приказывают идти не в ногу. А полезную сторону резонанса ты знаешь сам: маленькая сила в такт раскачивает большие качели, чего не сделает никакая сила мимо такта.


### Математический и пружинный маятник: сравнение


Две главные модели темы различаются тем, что «пружинит». У **математического маятника** груз качается на нити, и возвращающая сила — это слагающая силы тяжести, тянущая груз обратно к равновесию; период задаёт длина нити. У **пружинного маятника** груз ходит вдоль оси пружины, и возвращает его упругость самой пружины: период растёт с массой и падает с жёсткостью. Проверяй формулы вопросом «что увеличить, чтобы период вырос» — и на контрольной не перепутаешь.


| Вопрос | Математический маятник | Пружинный маятник |
| --- | --- | --- |
| Формула периода | $T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$ | $T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$ |
| Период растёт, если | нить длиннее | груз тяжелее или пружина мягче |
| От чего период не зависит | массы груза и размаха при малых амплитудах | размаха |
| Пример | грузик на нити, настенные часы | груз на пружине, безмен |


### Формула маятника: почему часы ходят точно


**Математический маятник** — грузик на длинной нерастяжимой нити. Период его колебаний считает формула Гюйгенса: $T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$, где $l$ — длина нити, $g \approx 9{,}8$ м/с². Проверим: нить 1 м даёт под корнем ≈ 0,102, корень ≈ 0,32, умножаем на 2π ≈ 6,28 — период около 2 с, как у настенных часов. Укороти нить до 25 см — период упадёт до 1 с. Массы в формуле нет: шарик и гиря на одинаковой нити качаются синхронно. У **пружинного маятника** иначе — $T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$: период растёт с массой и падает с жёсткостью пружины.


**Считаем период и частоту качелей**

1. Секундомер показал 30 с, колебаний N = 12. Ищем период: — $$T = \frac{30}{12} = 2{,}5$$
2. Частота — обратная величина к периоду: — $$\nu = \frac{1}{2{,}5} = 0{,}4$$
3. Ответ: период 2,5 с, частота 0,4 Гц. — $$\nu \cdot T = 0{,}4 \cdot 2{,}5 = 1$$


> **Ловушка.** Период и частота — взаимно обратные величины, но не равные: при T = 0,5 с частота равна 2 Гц, а не 0,5 Гц. Вторая ловушка — корень: если длину нити увеличить в 4 раза, период вырастет только в 2 раза. Длина стоит под корнем и «съедает» множитель — верно «период пропорционален корню из длины».


### Считаем длину нити: разбор задачи


Формула Гюйгенса работает в обе стороны: не только считает период по длине, но и подбирает длину под нужный период. Так проектировали маятники часов: чтобы ход тикал ровно, нить делали определённого метража. Разберём эту задачу по шагам.


**Какой длины нужен маятник для периода 2 с**

1. Записываем формулу периода математического маятника: — $$T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$$
2. Избавляемся от корня — возводим обе части в квадрат: — $$T^2 = \frac{4\pi^2 l}{g}$$
3. Выражаем длину нити: — $$l = \frac{g T^2}{4 \pi^2}$$
4. Подставляем числа: g около 9,8 м/с², T = 2 с, π² около 9,87: — $$l = \frac{9{,}8 \cdot 4}{4 \cdot 9{,}87} \approx 0{,}99$$
5. Ответ: нить длиной около 1 м. Такой маятник называют секундным: полное качание занимает 2 с, а полупериод — 1 с. — $$l \approx 1$$
6. Проверка обратным ходом: корень из 1/9,8 около 0,32, умножаем на 2π около 6,28 — выходит 2 с. Задача решена верно. — $$2\pi\sqrt{\frac{1}{9{,}8}} \approx 2$$


*[Интерактив: Характеристики колебаний — доступен на странице урока]*


*[Интерактив: Верно или нет? — доступен на странице урока]*


### Маятник в технике и в жизни


Маятник — не школьная абстракция, а сердце самых точных приборов своей эпохи. В 1656 году Христиан Гюйгенс собрал первые маятниковые часы: до них башенные часы ошибались на четверть часа в сутки, после — на считаные секунды. Секрет в изохронности: при небольшом размахе период почти не зависит от амплитуды, поэтому часы идут ровно, даже если маятник качнётся чуть сильнее обычного. В 1815 году запатентован метроном Мельцеля — маятник с передвигающимся грузиком: сдвинул груз вверх — темп быстрее, вниз — медленнее. Музыканты пользуются им до сих пор.


Сейсмограф тоже устроен как маятник: тяжёлый груз на подвесе из-за инерции почти не двигается, когда корпус вместе с землёй дрожит, и перо записывает колебания грунта. Амортизаторы автомобиля решают обратную задачу — гасят колебания кузова на пружинах, чтобы дорога не превратилась в резонансную качку. Даже гамак во дворе и дверной доводчик живут по той же физике возвращающей силы и затухания.


### Словарь урока


**Колебательная система** — Тело или группа тел, повторяющих движение около положения равновесия
**Свободные колебания** — Колебания под действием внутренних сил; без подпитки энергией затухают
**Вынужденные колебания** — Колебания, которые поддерживает периодическая внешняя сила
**Собственная частота** — Частота свободных колебаний системы; задаётся её устройством
**Затухающие колебания** — Колебания с убывающей амплитудой из-за трения
**Резонанс** — Резкий рост амплитуды вынужденных колебаний при совпадении частот


### Как это спрашивают на контрольной


Тема приходит в трёх видах. Первый — прямое деление: даны время и число колебаний, найти период и частоту. Второй — обратный: дана частота, спросить, сколько колебаний выйдет за данное время или за какое время наберётся нужное число. Третий — качественный: что станет с периодом, если удлинить нить или попасть толчками в такт. Фраза «во сколько раз» подсказывает про корень: длина стоит в формуле маятника под радикалом.


- По времени и числу колебаний найти период и частоту — и проверить себя: их произведение равно 1
- Обратная задача: по частоте найти время, за которое тело совершит нужное число колебаний
- Сравнить периоды двух маятников по длинам нитей — через корень из отношения длин
- Разобрать свои примеры колебаний на свободные и вынужденные
- Объяснить резонанс и привести по одному примеру его пользы и вреда


Ты качаешься на качелях: полный размах туда и обратно занимает около 3 с — это период, а за минуту выходит 20 колебаний. Маятник в часах живёт по тому же правилу: чем длиннее нить, тем медленнее качание, и от массы груза период почти не зависит.


> **Совет.** Частота и период — взаимно обратные величины: 0,5 Гц означает одно колебание за 2 с. Период измеряй по полному циклу — от крайней точки до крайней и обратно, иначе получится вдвое меньше.


*[Интерактив: Карточки: формулы и словечки урока — доступен на странице урока]*


*[Интерактив: Прикинь период — доступен на странице урока]*


## Частые вопросы

### Почему маятниковые часы делают с длинным маятником?

Длиннее нить — больше период: маятник длиной около метра делает колебание за две секунды, и ход часов удобно отбивать такими «тиками». Укоротишь маятник — часы начнут спешить.


### Зависит ли период качелей от того, кто на них сидит?

Практически нет: массы в формуле маятника нет. Период задаёт длина подвеса, поэтому взрослый и ребёнок на одних качелях качаются в одном ритме.


### Что происходит при резонансе и чем он опасен?

Когда частота толчков совпадает с собственной частотой системы, энергия добавляется в такт и амплитуда растёт. Для качелей это удобно, а для моста или крыла самолёта — разрушительно, поэтому резонансные частоты рассчитывают заранее.


### Почему на качелях можно раскачаться, а на стене нет?

Качели — колебательная система со своей собственной частотой, и толчки в такт складываются: это резонанс. Стена качаться не станет — твоей энергии некуда накапливаться, поэтому как ни упирайся, размаха не выйдет.


## Проверь себя (вопросы и ответы)

#### Вопрос 1: Маятник за 12 с совершил 6 полных колебаний. Чему равен период?
- ☐ 0,5 с
- ✅ 2 с
- ☐ 72 с

*Пояснение: T = t/N = 12/6 = 2 с. Делить нужно время на число колебаний, а не наоборот.*


#### Вопрос 2: Частота колебаний 5 Гц. Чему равен период в секундах?
**Ответ:** 0,2

*Пояснение: T = 1/ν = 1/5 = 0,2 с.*


#### Вопрос 3: Чем длиннее нить математического маятника, тем больше период его колебаний.
- ✅ Правда
- ☐ Неправда

*Пояснение: Да: T = 2π√(l/g) — период растёт как корень из длины нити.*


#### Вопрос 4: Расставь маятники по возрастанию периода колебаний.
**Правильный порядок:** нить 0,25 м (период около 1 с) → нить 1 м (период около 2 с) → нить 4 м (период около 4 с)

*Пояснение: Период растёт как корень из длины: 0,25 м даёт около 1 с, 1 м — около 2 с, 4 м — около 4 с.*


#### Вопрос 5: Соедини величину с её смыслом.
- период — время одного колебания
- частота — число колебаний за секунду
- амплитуда — наибольшее отклонение от равновесия

*Пояснение: Это три основные характеристики механических колебаний.*


#### Вопрос 6: За 30 с на качелях сделали 12 полных колебаний. Найди частоту в герцах.
**Ответ:** 0,4

*Пояснение: ν = N/t = 12/30 = 0,4 Гц.*


#### Вопрос 7: Какие это колебания?
- **Свободные:** качели после толчка, струна гитары после щипка, ветка, с которой слетела птица
- **Вынужденные:** игла швейной машины, поршень двигателя

*Пояснение: Свободные колебания происходят сами и затухают без поддержки, а вынужденные поддерживаются периодической внешней силой.*


#### Вопрос 8: Дополни про период и частоту.
Период — время **одного полного** колебания, а частота измеряется в **герцах**.

*Пояснение: T = 1/ν: период в секундах, частота — число колебаний в секунду, герцы.*


## Тренажёр

На [странице тренажёра](https://shkolniygid.ru/fizika/9-klass/mehanicheskie-kolebaniya/trenazher/) — 3 типов задач с бесконечными вариантами чисел, проверкой ответа и разбором каждого шага.