# Закон всемирного тяготения и космические скорости > Все тела во Вселенной притягиваются: F = G·m₁·m₂/r². Расстояние в квадрате решает всё — и объясняет, почему спутник «падает мимо» Земли уже миллиарды лет. **Физика, 9 класс.** Урок бесплатного онлайн-самоучителя «ШкольныйГид». Обновлено: 2026-09-27. Страница урока: https://shkolniygid.ru/fizika/9-klass/vsemirnoe-tyagotenie/ Яблоко падает вниз, Луна — не падает. Или падает? Ньютон понял: это одно и то же движение. Луна непрерывно «падает» на Землю, но из-за боковой скорости всё время промахивается — и вечно остаётся на орбите. Один закон управляет и яблоком, и Луной, и приливами, и движением галактик. Это закон всемирного тяготения. ### Формула Ньютона В 1687 году Ньютон сформулировал: любые два тела притягиваются силой, прямо пропорциональной произведению их масс и обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними. Гравитационная постоянная G = 6,67 · 10⁻¹¹ Н·м²/кг² — очень маленькое число, поэтому обычные предметы не притягиваются заметно, а вот планеты с огромными массами удерживают всё вокруг себя. $$F = G \cdot \frac{m_1 m_2}{r^2}, \quad G = 6{,}67 \cdot 10^{-11}\ \mathrm{N}\,\mathrm{m}^2/\mathrm{kg}^2$$ *Закон всемирного тяготения* | Во сколько раз изменили | Во сколько раз изменилась сила | Пример | | --- | --- | --- | | массу одного ×2 | ×2 | удвоили массу шара — притяжение удвоилось | | оба массы ×2 | ×4 | произведение m₁m₂ выросло вчетверо | | расстояние ×2 | ×1/4 (ослабла) | отошли вдаль — сила упала вчетверо | | расстояние ×3 | ×1/9 (ослабла) | квадрат расстояния в знаменателе | > **Ловушка.** Расстояние r берётся между центрами тел, а не между поверхностями! Спутник на высоте 400 км над Землёй находится на r = 6400 + 400 = 6800 км от центра. И не забывай: сила ослабевает «в квадрате» — утроил расстояние, сила упала в 9 раз, а не в 3. ### Почему гравитация слабая, но всесильная Гравитационная постоянная G = 6,67·10⁻¹¹ — самое маленькое «рабочее» число в школьной физике. Два приятеля массой по 60 кг, стоящие вплотную, притягиваются с силой около 2,4·10⁻⁷ ньютона — вес муравья больше в двести раз. Поймать её руками невозможно, нужны сверхчувствительные приборы. Но у гравитации нет экрана: её нельзя погасить, отразить или изолировать, как магнитное поле. Она складывается от каждой песчинки, и огромные массы планет делают своё дело. Из четырёх фундаментальных взаимодействий гравитация — слабейшая: между двумя протонами электромагнитное отталкивание сильнее гравитационного притяжения примерно в 10³⁶ раз. Тем не менее во Вселенной правит именно она: электрические заряды соседних тел обычно компенсируют друг друга, а массы только складываются. Твои 50 кг давят на пол с силой около 500 Н, и Земля притягивается к тебе с той же силой — просто её ускорение от этого незаметно. ### Кавендиш взвешивает Землю Ньютон записал закон, но не знал числа G — без него нельзя посчитать силу для реальных тел. Генри Кавендиш в 1798 году проделал опыт, который позже назвали «взвешиванием Земли». На коромысле, подвешенном на тонкой нити, он закрепил два маленьких свинцовых шара, а рядом на поворотной раме подводил два больших шара массой по 158 кг. Притяжение больших шаров закручивало нить на ничтожный угол — по нему Кавендиш вычислил силу: около 0,0000002 ньютона. Из опыта вышла плотность Земли — примерно 5,5 г/см³, почти вдвое плотнее горных пород коры. Значит, недра планеты тяжелее, чем камень: ядро из железа и никеля. Отсюда и масса Земли около 6·10²⁴ кг, и само число G. Сам Кавендиш был известным затворником: общался с домочадцами записками, а свои электрические исследования, опередившие время почти на сто лет, не опубликовал вовсе — их издали уже после находки в архиве. ### Космические скорости **Первая космическая скорость** — 7,9 км/с: горизонтальная скорость, при которой тело становится спутником Земли и «падает мимо» неё по круговой орбите. **Вторая** — 11,2 км/с: чтобы навсегда покинуть Землю (полёт к Луне и планетам). **Третья** — 16,7 км/с: улететь из Солнечной системы. Все три скорости растут из одного корня: v = √(GM/r), где M — масса планеты, r — расстояние от её центра. **Задача: как изменилась сила при переносе втрое дальше** 1. Дано: расстояние между шарами увеличили с r до 3r. Массы не менялись. 2. Сила обратно пропорциональна квадрату расстояния: F₂ = Gm₁m₂/(3r)². — $$F_2 = \frac{G m_1 m_2}{9 r^2} = \frac{F_1}{9}$$ 3. Ответ: сила уменьшилась в 9 раз. Если бы увеличили в 2 раза — ослабла бы в 4. > **Совет.** Держи в голове тройку «×2 массы → ×2 силы; ×2 расстояние → ×¼ силы». Большинство задач на закон тяготения решаются через эти отношения без длинных вычислений. А первую космическую скорость запоминай как «7,9 км/с — кружим, 11,2 — уходим». ### Орбиты: круг, эллипс и невесомость Первая космическая — только стартовая площадка. Дашь телу чуть больше 7,9 км/с — круг вытянется в эллипс, и чем больше скорость, тем дальше уйдёт апогей. На высоте геостационарной орбиты, около 36 000 км, спутнику хватает 3,1 км/с, зато период оборота равен суткам: телевизионные и метеорологические аппараты «висят» над одной точкой экватора. Красивое следствие одной формулы: чем дальше от планеты, тем медленнее полёт. Ещё дальше вторая космическая: 11,2 км/с у Земли. Набрал её — и гравитация уже не вернёт назад, корабль уходит в межпланетное пространство. У Луны все скорости вчетверо-впятеро меньше: её масса в 81 раз меньше земной, поэтому даже маленькие двигатели «Аполлонов» поднимали корабль с её поверхности. Невесомость на станции — не отсутствие притяжения. На высоте 400 км гравитация Земли слабее земной всего на 10%, но станция и всё внутри неё свободно падают с одинаковым ускорением, поэтому пол перестаёт давить на ноги. Точно такое же короткое ощущение даёт лифт, тронувшийся вниз, — только у орбиты это падение не заканчивается и продолжается по кругу. ### Приливы: тяготение, которое видно с берега У приливов свой закон: приливная сила — это разность притяжений ближнего и дальнего краёв планеты, и убывает она как куб расстояния. Солнце притягивает Землю в 180 раз сильнее Луны, но его «перепад» через поперечник планеты меньше — солнечные приливы получаются вдвое слабее лунных. Луна вытягивает океан в два горба, Земля проворачивается внутри них, и на большинстве берегов вода поднимается дважды в сутки: каждые 24 часа 50 минут, потому что Луна за это время успевает сдвинуться по орбите. - В новолуние и полнолуние горбы Луны и Солнца складываются — приливы самые высокие; в первую и последнюю четверть — самые низкие. - В открытом океане перепад воды — около метра, а в узких заливах доходит до 15-18 метров: рекорд держит залив Фанди у Канады. - Перепад воды уже работает на людей: приливная станция на реке Ранс во Франции выдаёт 240 МВт с 1966 года. - Приливы тормозят вращение Земли: сутки удлиняются примерно на 2 миллисекунды за столетие, а Луна отступает от нас на 3,8 см в год. Отступление Луны измерено с точностью до миллиметров: лазеры по отражателям, оставленным на поверхности «Луноходами» и «Аполлонами», отбивают расстояние туда и обратно за 2,5 секунды. Приливы — тот случай, когда закон всемирного тяготения можно увидеть глазами, без приборов: пришёл на берег утром и вечером и сравнил уровни воды. ### Считаем первую космическую скорость **Разбор: откуда берутся 7,9 км/с** 1. Дано: масса Земли M = 6·10²⁴ кг, орбита у самой поверхности, r = 6400 км = 6,4·10⁶ м, G = 6,67·10⁻¹¹ Н·м²/кг². 2. На круговой орбите гравитация работает как центростремительная сила: GMm/r² = mv²/r. Масса спутника m сокращается — скорость от неё не зависит. — $$\frac{G M m}{r^2} = \frac{m v^2}{r}$$ 3. Выражаем скорость через массу планеты и радиус орбиты. — $$v = \sqrt{\frac{G M}{r}}$$ 4. Считаем GM: 6,67·10⁻¹¹ · 6·10²⁴ = 4·10¹⁴ м³/с². 5. Делим на r и извлекаем корень: v² = 4·10¹⁴ / 6,4·10⁶ = 6,25·10⁷ м²/с², откуда v ≈ 7900 м/с. — $$v \approx 7{,}9\ \mathrm{km/s}$$ 6. Ответ: 7,9 км/с. На высоте МКС (400 км, r = 6,8·10⁶ м) получается 7,7 км/с — чем выше орбита, тем медленнее полёт. ### Словарь урока **Гравитационная постоянная G** — число 6,67·10⁻¹¹ Н·м²/кг², одинаковое для любых тел Вселенной **Первая космическая скорость** — 7,9 км/с у Земли — скорость кругового спутника у поверхности **Вторая космическая скорость** — 11,2 км/с — минимальная скорость ухода от Земли навсегда **Геостационарная орбита** — круговая орбита на высоте около 36 000 км, над одной точкой экватора **Приливная сила** — разность притяжений двух сторон тела; убывает как куб расстояния **Крутильные весы** — прибор Кавендиша: нить закручивается от крошечных сил, угол закручивания их измеряет ### Как это спрашивают на контрольной 1. Всегда подставляй r от центра до центра: высота над планетой — это r минус радиус планеты. 2. Утроил расстояние — сила упала в 9 раз; перепутаешь квадрат с корнем — потеряешь балл. 3. Массы — в килограммы, расстояния — в метры: постоянная G задана в системе СИ. 4. На орбите притяжение никуда не делось: невесомость — это свободное падение вокруг планеты. 5. Спросят, кто гонит приливы сильнее, — отвечай: Луна, примерно вдвое, несмотря на массу Солнца. *[Интерактив: Орбитальная лаборатория — доступен на странице урока]* *[Интерактив: Оцени силу — доступен на странице урока]* *[Интерактив: Карточки по гравитации — доступен на странице урока]* ## Частые вопросы ### Чему равна гравитационная постоянная? G = 6,67·10⁻¹¹ Н·м²/кг². Её впервые измерил Генри Кавендиш в 1798 году с помощью крутильных весов. ### Почему Луна не падает на Землю? Она непрерывно «падает» под действием тяготения, но её боковая скорость настолько велика, что она всё время промахивается мимо Земли — это и есть орбита. Притяжение никуда не девается: оно лишь непрерывно поворачивает вектор скорости, поэтому орбита и получается замкнутой. ### Как изменится сила тяготения при увеличении расстояния? Обратно пропорционально квадрату: расстояние ×2 — сила ×¼, расстояние ×3 — сила ×1/9. Верно и обратное: сблизишь тела втрое — сила вырастет в 9 раз, поэтому спутники на низких орбитах чувствуют притяжение почти как у поверхности. ### Что такое первая и вторая космические скорости? Первая — 7,9 км/с: стать спутником Земли. Вторая — 11,2 км/с: полностью покинуть Землю и улететь к другим планетам. ## Проверь себя (вопросы и ответы) #### Вопрос 1: Как изменится сила тяготения, если массу одного тела удвоить? - ✅ Удвоится - ☐ Упадёт вдвое - ☐ Вырастет в 4 раза - ☐ Не изменится *Пояснение: Сила пропорциональна произведению масс: удвоили одну массу — сила удвоилась.* #### Вопрос 2: Расстояние между телами увеличили в 3 раза. Сила тяготения… - ☐ уменьшилась в 3 раза - ✅ уменьшилась в 9 раз - ☐ увеличилась в 9 раз - ☐ не изменилась *Пояснение: В знаменателе r²: 3² = 9, сила ослабла в 9 раз.* #### Вопрос 3: Первая космическая скорость Земли равна… **Ответ:** 7.9 *Пояснение: 7,9 км/с — минимальная скорость для круговой орбиты спутника Земли.* #### Вопрос 4: Гравитационная постоянная G — большая величина. - ☐ Правда - ✅ Неправда *Пояснение: G = 6,67·10⁻¹¹ Н·м²/кг² — очень маленькая, поэтому заметна гравитация только у огромных масс.* #### Вопрос 5: Какие утверждения верны? - ✅ Закон тяготения описывает притяжение любых тел - ☐ r измеряется между поверхностями - ✅ Вторая космическая скорость больше первой - ☐ Сила тяготения зависит от среды *Пояснение: Закон универсален, вторая космическая скорость (11,2) больше первой (7,9). r — между центрами тел, а гравитации среда не важна.* #### Вопрос 6: Сопоставь скорость и её смысл. - 7,9 км/с — круговая орбита Земли - 11,2 км/с — покидаем Землю - 16,7 км/с — покидаем Солнечную систему - 0 км/с — тело падает на Землю *Пояснение: Три порога скорости разделяют падение, орбиту и побег из гравитационного колодца.* #### Вопрос 7: Вставь пропущенное. Сила тяготения прямо пропорциональна произведению масс и обратно пропорциональна **квадрату** расстояния. *Пояснение: F ~ 1/r² — именно квадрат расстояния делает гравитацию «дальнобойной», но быстро слабеющей.* ## Тренажёр На [странице тренажёра](https://shkolniygid.ru/fizika/9-klass/vsemirnoe-tyagotenie/trenazher/) — 5 типов задач с бесконечными вариантами чисел, проверкой ответа и разбором каждого шага.