# Правильные многогранники. Тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр > От кристалла соли до геодезического купола: пять правильных многогранников, таблица их граней и вершин, теорема Эйлера и задачи на рёбра, диагонали и развёртки. **Геометрия, 10 класс.** Урок бесплатного онлайн-самоучителя «ШкольныйГид». Обновлено: 2026-09-27. Страница урока: https://shkolniygid.ru/geometriya/10-klass/pravilnye-mnogogranniki-10/ Поваренная соль кристаллизуется идеально ровными кубиками: достань лупу и рассмотри крупинки — прямые углы видны прямо в сольнице. Пирит выстреливает почти правильными додекаэдрами, кристаллы алмаза растут октаэдрами. Математика объясняет редкость такой стройности: правильный многогранник — фигура настолько строгая, что таких тел всего пять на всю геометрию, и их называют телами Платона. Разберём, что именно требует определение, почему пятёрка полная и не может пополниться, и потренируемся считать рёбра, вершины и диагонали. ### Что значит правильный Многогранник — тело, поверхность которого состоит из плоских многоугольников. Определение правильного многогранника требует сразу трёх условий, и все три обязательны. Первое: многогранник выпуклый — он целиком лежит по одну сторону от плоскости каждой своей грани. Второе: все грани — равные правильные многоугольники. Третье: в каждой вершине сходится одинаковое число рёбер. Упало одно условие — тело вылетело из клуба: прямая призма с правильным пятиугольником в основании выглядит безупречно, но её грани не равны между собой, в вершинах сходится разное число рёбер — и это не правильный многогранник. **Многогранник** — тело, поверхность которого состоит из плоских многоугольников **Правильный многогранник** — выпуклый многогранник с равными правильными гранями и одинаковым числом рёбер в каждой вершине **Грань** — многоугольник, из которых составлена поверхность многогранника **Развёртка** — плоская фигура, из которой склеивается многогранник без разрывов и наложений Из определения следует неожиданное ограничение: гранями могут быть только правильные треугольники, квадраты или правильные пятиугольники. Почему не шестиугольники? Посмотри на вершину: в ней сходится не меньше трёх граней, а сумма их плоских углов при вершине обязана быть меньше 360° — иначе поверхность не согнётся в выпуклое тело. У правильного шестиугольника угол 120°, и уже три таких угла дают ровно 360°: вершина распрямляется в плоскость, многогранник не собирается. Чем дальше шестиугольник, тем хуже — большие многоугольники отбрасываются сразу. ### Пять тел Платона Переберём возможности до конца. Из правильных треугольников с углом 60° вершина собирается при трёх, четырёх или пяти гранях в основании: суммы 180°, 240° и 300° — всё меньше 360°. Шесть граней дают уже 360° — мимо. Из квадратов с углом 90° годится только тройка: 270°. Из правильных пятиугольников с углом 108° — тоже тройка: 324°. Шестиугольники не проходят вовсе. Итого ровно пять комбинаций — и ровно пять правильных многогранников: тетраэдр, октаэдр, икосаэдр из треугольников, куб из квадратов и додекаэдр из пятиугольников. | Тело | Грани | Вершины | Рёбра | | --- | --- | --- | --- | | тетраэдр | 4 треугольника | 4 | 6 | | куб | 6 квадратов | 8 | 12 | | октаэдр | 8 треугольников | 6 | 12 | | додекаэдр | 12 пятиугольников | 20 | 30 | | икосаэдр | 20 треугольников | 12 | 30 | $$V - E + F = 2$$ *Теорема Эйлера: число вершин минус число рёбер плюс число граней равно двум* Теорема Эйлера — проверочный ключ для всей таблицы: для любого выпуклого многогранника число вершин минус число рёбер плюс число граней равно двум. Проверь на кубе: 8 − 12 + 6 = 2. На икосаэдре: 12 − 30 + 20 = 2. Формула работает и в обратную сторону: зная два числа, третье вычисляется в одну строку — так в задачах узнают число рёбер додекаэдра, не пересчитывая их на модели. *[Интерактив: Эйлер на практике — доступен на странице урока]* ### Развёртки и склейка Развёртка многогранника — плоская фигура, которая складывается в тело без разрывов и наложений. У куба развёртка — шесть соединённых квадратов, и разных раскладок у неё ровно одиннадцать: художники и упаковщики перепробовали все. Классический брак — фигура с наложением: две грани, попавшие на одно место, склеить не получится, а одной грани не хватит. Проверка простая: пронумеруй мысленно клетки развёртки — каждой из шести граней должно достаться своё место без совпадений. Тетраэдр разворачивается в большой треугольник, разрезанный средними линиями на четыре равных маленьких: соедини середины сторон правильного треугольника — и развёртка готова. Октаэдр собирается из двух таких развёрток, сложенных «пирамидками» вверх. В задачах на развёртки любят спрашивать, какие стороны контура совпадут при склейке: пройдись по границе фигуры и попарно соедини равные по длине стороны — непарных остаться не должно, иначе края не сомкнутся. Развёртка превращает объёмную задачу в плоскую, и этим стоит пользоваться. Классический пример: муравей ползёт по поверхности куба с ребром 2 см от вершины к противоположной — по какой траектории путь короче? Разверни куб: на плоскости путь становится отрезком из одного угла прямоугольника в противоположный, и теорема Пифагора даёт корень из двадцати, то есть чуть больше четырёх сантиметров. Так работают картонные коробки, вентиляционные переходы и упаковка: сначала плоский раскрой, потом склейка. ### Симметрия куба и тетраэдра У куба симметрий целый парк: центр симметрии — в самой середине тела, девять осей симметрии и девять плоскостей симметрии. Оси собираются в три семейства: через центры противоположных граней — три штуки, через противоположные вершины — четыре, через середины противоположных рёбер — шесть. Проверь любое из них мысленным поворотом: куб на 90° вокруг оси через центры граней совпадает сам с собой — этим и меряется симметрия. У правильного тетраэдра скромнее: центра симметрии нет вовсе, осей три — они соединяют середины противоположных рёбер, а плоскостей симметрии шесть, каждая проходит через ребро и середину противоположного ребра. Причина несимметричной скромности в устройстве фигуры: у каждой вершины тетраэдра «напротив» стоит грань, а не вершина, поэтому пара «противоположных вершин», через которую у куба шла ось, здесь невозможна. Симметрия — не украшение, а рабочий инструмент задач. Поворот куба вокруг оси через центры противоположных граней переводит каждую пространственную диагональ в другую — значит, все четыре диагонали равны, и ничего не нужно измерять. Точно так же симметрия доказывает равенство всех рёбер и всех плоских углов правильного многогранника: любое преобразование, переводящее тело в себя, сохраняет длины и углы, а комбинаций поворотов и отражений хватает, чтобы добраться от любого элемента до любого другого. > **Ловушка.** Первая ловушка — «правильная призма значит правильный многогранник»: шестиугольная призма с ровными боками выглядит идеально, но грани у неё разные, и в вершинах сходится неодинаковое число рёбер. Вторая: формула Эйлера верна для любого выпуклого многогранника, но из её выполнения не следует правильность — косая пирамида тоже даст двойку. Третья: диагональ куба путают с диагональю грани — первая протягивается через всё тело и равна $a\sqrt{3}$, вторая лежит в грани и равна $a\sqrt{2}$, и в задачах важно не перепутать, какую из них спрашивают. ### Задачи на рёбра и диагонали Диагональ куба с ребром a вычисляется теоремой Пифагора дважды. Сначала диагональ грани: её квадрат равен $a^2 + a^2 = 2a^2$, значит, сама она равна $a\sqrt{2}$. Затем диагональ тела: она соединяет вершину нижнего основания с противоположной вершиной верхнего и образует прямоугольный треугольник из ребра, диагонали грани и самой диагонали d. Отсюда $d^2 = a^2 + 2a^2 = 3a^2$ и $d = a\sqrt{3}$. Для куба с ребром 6 см диагональ тела равна $6\sqrt{3}$ — чуть больше 10 см, а диагональ грани — $6\sqrt{2}$, примерно 8,5 см. **Задача: тетраэдр и куб с равными рёбрами** 1. Ребро каждого тела равно 4 см. У тетраэдра 6 рёбер, у куба 12. 2. Суммы длин рёбер: у тетраэдра 24 см, у куба 48 см — вдвое больше. 3. Диагональ грани куба: 4, умноженное на корень из двух, — примерно 5,7 см. — $$d_1 = 4\sqrt{2}$$ 4. Диагональ куба: 4, умноженное на корень из трёх, — примерно 6,9 см. — $$d = 4\sqrt{3}$$ 5. Контроль Эйлером для куба: 8 − 12 + 6 = 2 — числа согласованы. $$d = a\sqrt{3}$$ *Диагональ куба через его ребро* ### Где живут правильные многогранники Кристаллы поваренной соли растут кубами, пирит даёт кубы и додекаэдры, алмаз — октаэдры: природа экономит энергию, и правильные грани выходят сами. Вирусы многих групп строят белковые оболочки в форме икосаэдра: из всех тел он при большом объёме требует наименьшего числа деталей — экономия драгоценного генетического материала. Архитекторы ценят жёсткость треугольных сеток: геодезические купола Бакминстера Фуллера собираются из треугольников, натянутых на каркас икосаэдра, и держат вес при малой массе. А игральная кость с двадцатью гранями — тот самый икосаэдр: все пять тел Платона годятся в честные кости, ведь равные грани дают равные шансы. - в задачах экзаменов: подсчёт рёбер и вершин, формула Эйлера, диагонали куба; - в химии: формы кристаллических решёток — куб у соли, октаэдр у алмаза; - в моделировании: развёртки для склейки фигур из бумаги и картона; - в естествознании: икосаэдральные оболочки вирусов и геодезические купола. *[Интерактив: Разложи тела по корзинам — доступен на странице урока]* *[Интерактив: Карточки: пятёрка Платона — доступен на странице урока]* > **Совет.** Запоминай пятёрку через двойственность: куб и октаэдр — пара, вершины одного соответствуют граням другого; додекаэдр и икосаэдр — тоже пара; тетраэдр двойственен сам себе. Числа таблицы восстанавливаются формулой Эйлера, так что зубрить все девять чисел не нужно: помни число граней, а вершины и рёбра считай. Перед контрольной склей из бумаги тетраэдр и куб — развёртка на ладони объясняет тему лучше десяти перечитанных абзацев. Следующая остановка — тела вращения: цилиндр, конус, шар. Правильные многогранники там вернутся в задачах на вписанные и описанные тела: сфера, описанная около куба, и куб, вписанный в сферу, — упражнение на ту же связь радиуса с диагональю, которую мы только что вывели. ## Частые вопросы ### Почему правильных многогранников только пять? В каждой вершине сходится не меньше трёх граней, а сумма их углов должна быть меньше 360°, иначе поверхность не согнётся в выпуклое тело. Из треугольников, квадратов и пятиугольников набирается ровно пять комбинаций. Шестиугольники не проходят: три угла по 120° дают ровно 360°, и вершина распрямляется. ### Как связаны куб и октаэдр? Они двойственны: центры граней куба образуют октаэдр, а центры граней октаэдра — куб. Поэтому у куба 8 вершин и 6 граней, а у октаэдра ровно наоборот. Тетраэдр при этом двойственен сам себе. ### Как найти диагональ куба через его ребро? Сначала найди диагональ грани по теореме Пифагора: она равна ребру, умноженному на корень из двух. Затем примени теорему Пифагора к треугольнику из ребра, диагонали грани и диагонали куба: получится ребро, умноженное на корень из трёх. Для ребра 3 см диагональ куба равна $3\sqrt{3}$ — примерно 5,2 см. ### Где в природе встречаются правильные многогранники? Кристаллы поваренной соли растут кубами, пирит образует кубы и додекаэдры, алмаз — октаэдры. Многие вирусы строят белковые оболочки в форме икосаэдра — так экономится белок. Геодезические купола Фуллера собираются по сетке икосаэдра. ## Проверь себя (вопросы и ответы) #### Вопрос 1: Сколько рёбер у октаэдра? - ☐ 6 - ✅ 12 - ☐ 8 - ☐ 18 *Пояснение: У октаэдра 8 граней и 6 вершин; по формуле Эйлера 6 − Р + 8 = 2, откуда Р = 12.* #### Вопрос 2: Найди квадрат диагонали куба с ребром 3 см (в квадратных сантиметрах). **Ответ:** 27 *Пояснение: Квадрат диагонали куба равен утроенному квадрату ребра: 3 · 9 = 27.* #### Вопрос 3: Какие тела относятся к телам Платона? - ✅ икосаэдр - ☐ прямая призма с квадратными боковыми гранями - ✅ додекаэдр - ☐ пирамида с квадратным основанием *Пояснение: Тела Платона — тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр и икосаэдр; у призмы и пирамиды грани не равны между собой.* #### Вопрос 4: У правильного тетраэдра есть центр симметрии. - ☐ Правда - ✅ Неправда *Пояснение: У тетраэдра три оси и шесть плоскостей симметрии, но центра симметрии нет: напротив каждой вершины стоит грань, а не вершина.* #### Вопрос 5: Расставь тела по возрастанию числа граней. **Правильный порядок:** тетраэдр → куб → октаэдр → додекаэдр *Пояснение: Граней: у тетраэдра 4, у куба 6, у октаэдра 8, у додекаэдра 12.* #### Вопрос 6: Сопоставь тело и число его граней. - куб — 6 граней - октаэдр — 8 граней - додекаэдр — 12 граней - икосаэдр — 20 граней *Пояснение: Каждое тело запоминается гранями: 6 квадратов у куба, 8 треугольников у октаэдра, 12 пятиугольников у додекаэдра и 20 треугольников у икосаэдра.* #### Вопрос 7: Вставь пропуски в формулировку теоремы Эйлера: число вершин минус число ___ плюс число ___ равно ___. Число вершин минус число **рёбер** плюс число **граней** равно **двум**. *Пояснение: Формула Эйлера: из вершин вычитаем рёбра и прибавляем грани, получается 2 — для любого выпуклого многогранника.* ## Тренажёр На [странице тренажёра](https://shkolniygid.ru/geometriya/10-klass/pravilnye-mnogogranniki-10/trenazher/) — 5 типов задач с бесконечными вариантами чисел, проверкой ответа и разбором каждого шага.