# Угол между прямой и плоскостью — 11 класс: формулы и задачи > Углы в стереометрии: скрещивающиеся прямые через параллельный перенос, угол прямой с плоскостью по проекции, двугранный угол и его линейный угол. **Геометрия, 11 класс.** Урок бесплатного онлайн-самоучителя «ШкольныйГид». Обновлено: 2026-09-29. Страница урока: https://shkolniygid.ru/geometriya/11-klass/ugly-mezhdu-pryamymi-ploskostyami-11/ Ты стоишь на галерее торгового центра: два эскалатора съезжаются под острым углом, стеклянный пандус спускается к входу со своим наклоном, а лифтовая шахта режет этажи вертикально. Архитектор обязан посчитать все эти углы заранее: от них зависят и пропускная способность, и длина поручня, и то, куда падает свет. В геометрии для таких расчётов есть три мерила: угол между скрещивающимися прямыми, угол между прямой и плоскостью и двугранный угол. Все три вычисляют, а не меряют транспортиром, — сейчас разберём каждое. ### Угол между скрещивающимися прямыми Скрещивающиеся прямые не лежат в одной плоскости и не имеют общих точек, поэтому приложить инструмент к ним негде. Выход: замени одну из прямых параллельной ей прямой, которая пересекает вторую. Угол между этими пересекающимися прямыми и называют углом между скрещивающимися. Выбор переноса не важен: какие параллельные ни бери, углы выйдут равными, ведь стороны углов попарно параллельны. По определению угол между прямыми берут не больше 90°: если вышло больше, берут смежный острый. В кубе это делается на пальцах. Рёбра AB и CC₁ скрещиваются: перенеси CC₁ в BB₁ — оба отрезка вертикальны и параллельны. BB₁ пересекает AB в вершине B под прямым углом, значит, и угол между AB и CC₁ равен 90°. Другой пример: диагональ грани AB₁ и ребро DD₁. Перенеси DD₁ в AA₁ и найди угол между AB₁ и AA₁: в прямоугольном треугольнике ABB₁ с катетами 4 и 4 это 45°. Переноси вдоль параллельных рёбер и граней — в параллелепипеде их всегда хватает. Где всё это нужно? Угол между скрещивающимися прямыми спрашивают при проверке, насколько точно установлен элемент: раскосы каркасного дома ставят под расчётными углами к балкам, с которыми они даже не пересекаются. В задачах сначала ищи удобные параллельные прямые — рёбра, у которых есть общая точка с партнёром, — и переноси в них. $$\cos\varphi = \frac{|\vec{a} \cdot \vec{b}|}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$$ *Косинус угла между прямыми через скалярное произведение направляющих векторов: модуль держит угол в пределах от 0° до 90°* Почему в числителе модуль, хотя в уроке про скалярное произведение его не было? Угол между векторами живёт от 0° до 180°, а между прямыми — только до 90°: прямые не «направлены», им безразлично, в какую сторону по ним смотреть. Отрицательный косинус сообщает о тупом угле между векторами, и модуль переводит его в равный острый угол между прямыми. Это первая строка, где векторная теория аккуратно подстраивается под прямые. ### Угол между прямой и плоскостью Пусть прямая пересекает плоскость, но не под прямым углом. Проекция прямой на плоскость — прямая, собранная из проекций всех её точек; практически достаточно спроецировать две точки. Углом между прямой и плоскостью называют угол между прямой и её проекцией. Интуиция тени: наклони карандаш над столом под лампой — тень и есть проекция, и наклон карандаша меряют к тени, а не к произвольной линии стола. $$\cos\alpha = \frac{p}{l}$$ *Косинус угла между наклонной и плоскостью: p — длина проекции, l — длина наклонной* Граничные случаи закрепи: перпендикулярная к плоскости прямая даёт угол 90°, параллельная или лежащая в плоскости — угол 0°. Рабочая формула — отношение проекции к наклонной; из неё же синус угла равен отношению расстояния до плоскости к длине наклонной. Проверим на кубе с ребром 5: диагональ куба AC₁ имеет длину 5√3 ≈ 8,66, её проекция на основание — диагональ грани AC длиной 5√2 ≈ 7,07. Косинус равен √2/√3 ≈ 0,816, значит, угол около 35° — таблица косинусов подтверждает. **Ищем угол диагонали куба с плоскостью основания** 1. Куб с ребром 5: диагональ AC₁ идёт из вершины A нижнего основания в противоположную вершину C₁ верхнего. — $$AC_1 = 5\sqrt{3}$$ 2. Проекция точки C₁ на основание — точка C, ведь вертикаль CC₁ перпендикулярна основанию. Значит, проекция диагонали — отрезок AC. — $$AC = 5\sqrt{2}$$ 3. Угол между AC₁ и плоскостью основания — это угол C₁AC между наклонной и её проекцией. — $$\alpha = \angle C_1AC$$ 4. Делим длину проекции на длину наклонной. — $$\cos\alpha = \frac{5\sqrt{2}}{5\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \approx 0{,}816$$ 5. Арккосинус 0,816 — около 35°. Такой угол диагонали куба с основанием стоит запомнить: он мелькает в задачах постоянно. Тот же приём работает для любой прямой и любой плоскости: найди проекцию, построй прямоугольный треугольник из перпендикуляра, проекции и наклонной, возьми нужную тригонометрическую функцию. Угол 35° у диагонали куба полезно помнить, но важнее помнить путь: перпендикуляр вниз из конца наклонной — и стереометрия превращается в планиметрию. ### Двугранный угол и линейный угол Двугранный угол — это две полуплоскости с общей граничной прямой; саму прямую называют ребром двугранного угла, а полуплоскости — гранями. Примеры вокруг: открытая дверь со стеной, раскрытый ноутбук, стык двух стен комнаты. Мерить «раскрытие» нужно специальным сечением: проведи плоскость, перпендикулярную ребру, — в сечении появится обычный угол, его называют линейным углом двугранного. **Двугранный угол** — две полуплоскости с общей граничной прямой **Ребро двугранного угла** — общая граничная прямая полуплоскостей **Грань двугранного угла** — каждая из двух полуплоскостей **Линейный угол** — угол в сечении плоскостью, перпендикулярной ребру Какую точку ребра ни выбери, линейный угол получится один и тот же: стороны линейного угла перпендикулярны ребру и сонаправлены, а такие углы равны. Поэтому мерой двугранного угла служит его линейный угол. В кубе двугранный угол между соседними гранями равен 90°: сечение, перпендикулярное общему ребру, даёт прямые углы сетки. Диагональное же сечение ACC₁A₁ содержит вертикальное ребро AA₁, а плоскость, содержащая перпендикуляр к основанию, перпендикулярна самому основанию — угол 90° и здесь. Числовую линейку даст правильная четырёхугольная пирамида со стороной основания 6 и высотой 4. Возьми середину M стороны основания: отрезок OM от центра основания равен 3 и перпендикулярен стороне, апофема SM равна 5 и тоже перпендикулярна стороне. Угол SMO между ними — линейный угол при основании, его тангенс равен 4/3, значит, угол около 53°. Ровно этот угол и называют углом наклона боковой грани к основанию. Ещё один частый запрос — угол между боковым ребром и основанием. В той же пирамиде боковое ребро идёт из вершины в угол квадрата, его проекция — отрезок от центра до угла длиной 3√2. Косинус равен проекции, делённой на наклонную: 3√2 делить на корень из 34 — выходит примерно 0,727, угол около 43°. Заметно меньше угла грани: ребро «прижато» сильнее, чем апофема. Где двугранные углы видны без чертежа? Скаты крыши образуют двугранный угол с чердачным перекрытием, и от его величины зависит, куда уйдёт талая вода. Дверь, открытая на 30°, вместе со стеной демонстрирует двугранный угол в 30°, а жалюзи дают целую линейку линейных углов: каждый поворот планки прибавляет один и тот же угол между соседними положениями. Даже раскрытый ноутбук — двугранный угол, и «ста двадцати градусам для работы» соответствует его линейная мера. Как быстро понять, какое из трёх мерил просит задача? Смотри на объекты: две прямые — переноси до пересечения; прямая и плоскость — ищи проекцию; две плоскости — находи ребро и режь перпендикулярной плоскостью. Ошибка выбора мерила — самая дорогая в теме: аккуратный расчёт не того угла баллов не принесёт. | Между чем | Как измеряют угол | Диапазон | | --- | --- | --- | | две пересекающиеся прямые | угол между лучами | от 0° до 90° | | две скрещивающиеся прямые | параллельный перенос одной прямой до пересечения | от 0° до 90° | | прямая и плоскость | угол между наклонной и её проекцией | от 0° до 90° | | две пересекающиеся плоскости | линейный угол двугранного угла | от 0° до 90° | Три мерила закрывают все «угловые» вопросы стереометрии. На экзамене угол чаще всего находят либо через скалярное произведение, либо через прямоугольный треугольник с проекцией — оба пути ты уже проходил. Дальше эти углы встретятся в расстояниях и в комбинациях тел со сферами. *[Интерактив: Отложи угол — доступен на странице урока]* *[Интерактив: Словарь урока — доступен на странице урока]* *[Интерактив: Граничные углы — доступен на странице урока]* > **Ловушка.** Угол между прямыми и угол между векторами — не одно и то же: у векторов диапазон до 180°, у прямых только до 90°, поэтому косинус берут по модулю. Угол между перпендикулярной прямой и плоскостью равен 90°, а не 0°, и наоборот: параллельная плоскости прямая даёт угол 0°. Линейный угол строится строго в сечении, перпендикулярном ребру двугранного угла: произвольно взятый угол между гранями мерой двугранного угла не является. > **Совет.** Скрещивающиеся прямые приводи к пересекающимся переносом вдоль параллельных рёбер — в кубе и призме для этого хватает соседних граней. В задачах на угол с плоскостью первым делом находи проекцию: спроси себя, куда падает перпендикуляр из конца наклонной. Линейный угол в правильных пирамидах ищи через середину стороны основания: апофема и отрезок к центру дают готовый треугольник с тангенсом высоты к половине стороны. Эти три мерила понадобятся в каждом следующем уроке: расстояния меряются перпендикулярами к проекциям, а комбинации со сферами решаются через осевые сечения и углы. Пройди квиз, отложи угол 35° в лаборатории и проверь себя на кубе: угол диагонали с основанием, угол между скрещивающимися рёбрами, двугранный угол соседних граней — все три за минуту. ## Частые вопросы ### Как найти угол между скрещивающимися прямыми? Замени одну из прямых параллельной ей прямой, пересекающей вторую. Угол между пересекающимися прямыми и будет искомым. В кубе и призме удобно переносить вдоль параллельных рёбер. ### Что называют углом между прямой и плоскостью? Это угол между прямой и её проекцией на плоскость. Для перпендикулярной прямой он равен 90°, для параллельной — 0°. Косинус угла равен отношению длины проекции к длине наклонной. ### Что такое двугранный угол? Это фигура из двух полуплоскостей с общей граничной прямой. Мерой служит линейный угол — угол в сечении плоскостью, перпендикулярной ребру. Все линейные углы одного двугранного угла равны. ### Почему у угла между прямыми берут модуль косинуса? Угол между прямыми по определению не превышает 90°. Скалярное произведение же даёт косинус угла от 0° до 180°. Модуль переводит тупой угол в равный ему острый смежный. ## Проверь себя (вопросы и ответы) #### Вопрос 1: Чему равен угол между прямой, перпендикулярной плоскости, и самой плоскостью? - ☐ 0° - ☐ 45° - ✅ 90° - ☐ 180° *Пояснение: Перпендикулярная прямая образует с плоскостью угол 90° по определению.* #### Вопрос 2: Наклонная длиной 10 образует с плоскостью угол 60°. Найди длину её проекции. Запиши число. **Ответ:** 5 *Пояснение: Проекция равна произведению наклонной на косинус угла: 10 умножить на 0,5 равно 5.* #### Вопрос 3: Угол между скрещивающимися прямыми можно измерить, заменив одну из прямых параллельной ей пересекающейся. - ✅ Правда - ☐ Неправда *Пояснение: Параллельный перенос сохраняет направления, поэтому угол с переносом совпадает с искомым.* #### Вопрос 4: Какие утверждения о линейном угле двугранного угла верны? - ✅ его стороны лежат в гранях двугранного угла - ✅ его получают в плоскости, перпендикулярной ребру - ☐ вершина обязана делить ребро пополам - ✅ все линейные углы одного двугранного угла равны *Пояснение: Точка на ребре выбирается произвольно: все линейные углы равны, делить ребро пополам не требуется.* #### Вопрос 5: Расставь шаги нахождения угла между наклонной и плоскостью. **Правильный порядок:** Опусти перпендикуляр из конца наклонной на плоскость → Найди проекцию наклонной на плоскость → Раздели длину проекции на длину наклонной → Возьми арккосинус полученного числа *Пояснение: Порядок: перпендикуляр, проекция, отношение длин, арккосинус.* #### Вопрос 6: Сопоставь пару объектов и способ измерения угла. - скрещивающиеся прямые — параллельный перенос одной прямой - прямая и плоскость — угол между наклонной и проекцией - две плоскости — линейный угол двугранного угла *Пояснение: Каждая пара требует своего мерила: перенос, проекция или сечение перпендикулярно ребру.* #### Вопрос 7: Вставь пропуски: угол между прямой и плоскостью — это угол между наклонной и её ___, а мерой двугранного угла служит ___ угол. Угол между прямой и плоскостью — это угол между наклонной и её **проекцией**, а мерой двугранного угла служит **линейный** угол. *Пояснение: Оба определения построены на проекции и линейном угле — это опорные слова темы.* ## Тренажёр На [странице тренажёра](https://shkolniygid.ru/geometriya/11-klass/ugly-mezhdu-pryamymi-ploskostyami-11/trenazher/) — 3 типов задач с бесконечными вариантами чисел, проверкой ответа и разбором каждого шага.