# Равнобедренный треугольник: медианы, биссектрисы и высоты

> Три важных отрезка треугольника — медиана, биссектриса и высота — и волшебное свойство равнобедренного треугольника, где они совпадают.

**Геометрия, 7 класс.** Урок бесплатного онлайн-самоучителя «ШкольныйГид». Обновлено: 2026-09-27.

Страница урока: https://shkolniygid.ru/geometriya/7-klass/mediana-bissektrisa/

Положи тарелку на палец — она уравновесится в одной-единственной точке. Эта точка лежит на пересечении медиан треугольника: физики зовут её центром тяжести, а математики — замечательной точкой треугольника. Три отрезка — медиана, биссектриса, высота — звучат похоже, но выполняют разную работу, и путать их на контрольной дорого: половина ошибок в задачах на равнобедренный треугольник именно отсюда.


### Три отрезка, три определения


**Медиана** — Отрезок от вершины к середине противоположной стороны. Делит сторону пополам.
**Биссектриса** — Отрезок от вершины до стороны, лежащий на биссектрисе угла. Делит угол пополам.
**Высота** — Перпендикуляр из вершины к прямой, содержащей противоположную сторону. Образует с ней угол 90°.


> **Ловушка.** В равнобедренном треугольнике совпадают медиана, биссектриса и высота, проведённые К ОСНОВАНИЮ. К боковой стороне — уже нет. Если в задаче основание не указано, сначала догадайся, какая сторона основание: она та, что не равна двум другим.


*[Интерактив: Лаборатория треугольников — доступен на странице урока]*


**Пример: равнобедренный треугольник**

1. Боковые стороны 10 см, основание 12 см. Медиана к основанию делит его пополам. — $$12 : 2 = 6$$
2. Эта же линия — высота, значит она перпендикулярна основанию.
3. Угол при основании равен 40°, биссектриса из вершины делит угол при вершине так, что половина угла при вершине равна 50°. — $$180^{\circ} - 2 \cdot 40^{\circ} = 100^{\circ},\; 100^{\circ} : 2 = 50^{\circ}$$


Сведём три отрезка в таблицу: она спасает, когда в задаче написано «биссектриса», а на чертеже проведена медиана. Смотри, что именно делит отрезок, — так его и называют.


| Отрезок | Что делит | Проверь на чертеже |
| --- | --- | --- |
| Медиана | Сторону пополам | Точка выхода — середина стороны |
| Биссектриса | Угол пополам | Две части угла отмечены равными дужками |
| Высота | Ничего — она даёт прямой угол со стороной | Квадратик $90^{\circ}$ у основания |


У каждого треугольника три медианы, три биссектрисы и три высоты — по одной из каждой вершины. В произвольном треугольнике они не совпадают, но каждая тройка пересекается в одной точке. Эти «замечательные точки» дадут о себе знать в 8-9 классах, а медианы прямо сейчас: точка их пересечения — центр тяжести, делящий каждую медиану в отношении 2 : 1 от вершины.


$$AO : OM = 2 : 1$$

*Медианы пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении 2 : 1, считая от вершины*


### Свойства, которые стоит запомнить


> **Совет.** Медианы треугольника всегда пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении 2 : 1, считая от вершины. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны — это свойство работает и в обратную сторону: нашёл два равных угла в треугольнике — он равнобедренный.


*[Интерактив: Собери пары — доступен на странице урока]*


### Как построить медиану, биссектрису и высоту


Три отрезка строятся по трём разным рецептам, и инструменты для них разные. Медиану строит линейка: измерь сторону, раздели её длину пополам, отметь середину и соедини с вершиной. Биссектрису строит транспортир: замерь угол, раздели величину пополам и проведи луч через новую отметку. Высоту строит угольник: приложи его к стороне перпендикулярно и веди линию до вершины. Циркуль ускоряет поиск середины: две дуги равного радиуса из концов стороны пересекаются — прямая через точки пересечения даёт середину отрезка, даже если мерить линейкой лень.


- медиана: от вершины к середине противоположной стороны;
- биссектриса: от вершины внутрь угла, делит его величину пополам;
- высота: из вершины под углом 90° к прямой, содержащей сторону.


В равнобедренном треугольнике к основанию хватит одной линии — она окажется сразу всем троим. Это главный сюрприз темы и экономия времени на чертеже: одна линия — три свойства. Только не переноси этот факт на боковые стороны: там все три отрезка снова идут разными путями.


### Биссектриса угла и биссектриса треугольника


У биссектрисы две роли. Биссектриса угла — луч, выходящий из вершины и делящий сам угол пополам. Биссектриса треугольника — отрезок: она начинается в вершине и заканчивается на противоположной стороне, до второй стороны угла не доходит. В равнобедренном треугольнике из вершины напротив основания обе роли совпадают с медианой и высотой — та самая «волшебная» линия.


Проверка на чертеже: у биссектрисы треугольника один конец — вершина, второй лежит строго на стороне. Если конец висит в воздухе, это биссектриса угла, а не отрезок треугольника. В задачах обе зовутся одинаково, поэтому смотри по контексту: речь о делении угла или об отрезке внутри треугольника. Удобная проверка: биссектриса треугольника всегда заканчивается на противоположной стороне и делит её на два отрезка — части одной стороны.


### Разбор типовой задачи


**Задача: медиана и два периметра**

1. В равнобедренном треугольнике боковая сторона равна 12 см, периметр — 40 см. Медиана, проведённая к основанию, отсекает треугольник с периметром 30 см. Найди медиану.
2. Сначала найди основание: периметр минус две боковые стороны. — $$40 - 2 \cdot 12 = 16$$
3. Медиана к основанию делит его пополам — по 8 см. — $$16 : 2 = 8$$
4. Отсечённый треугольник собран из боковой стороны, половины основания и медианы. — $$12 + 8 + m = 30$$
5. Отсюда медиана равна 10 см. — $$m = 10$$
6. Проверка: периметры двух отсечённых треугольников в сумме дают 60 см, а периметр исходного 40 см — разница 20 см и есть медиана, посчитанная дважды. Всё сходится.


### Три замечательные точки треугольника


Медианы любого треугольника пересекаются в одной точке — центре тяжести. Положи треугольную линейку на остриё карандаша в этой точке — она останется в равновесии. Точка делит каждую медиану в отношении 2 : 1 от вершины: на длинную часть приходится вдвое больше, чем на короткую. Физики балансируют на этом свойстве пластины, а конструкторы рассчитывают подвесы и кронштейны. Заложи этот факт в память: в девятом классе он вернётся в задачах на векторы и координаты.


Биссектрисы тоже встречаются в одной точке — она равноудалена от всех трёх сторон, и в неё ложится окружность, вписанная в треугольник. Высоты пересекаются в ортоцентре: в остроугольном треугольнике он внутри, в тупоугольном — снаружи. А серединные перпендикуляры к сторонам дают центр описанной окружности. Три отрезка из этого урока — вход в целый мир замечательных точек, который откроется в 8-9 классах.


Историческая деталь: деление медиан в отношении 2 : 1 умел доказывать ещё Архимед — он решал его через центры тяжести пластин. А в восемнадцатом веке Леонард Эйлер обнаружил, что сразу три знаменитые точки треугольника — центр тяжести, ортоцентр и центр описанной окружности — лежат на одной прямой. Её так и зовут: прямая Эйлера.


### Высоты вне треугольника


В тупоугольном треугольнике высоты из двух острых вершин падают снаружи: сторона, на которую они должны опуститься, спрятана за тупым углом, и перпендикуляр ведут к продолжению стороны — пунктиром за фигуру. Высота из вершины тупого угла, наоборот, живёт внутри. Поэтому на одном чертеже бывает три высоты, и только одна из них — внутри треугольника.


Обрати внимание на формулировку: высота опускается на прямую, содержащую сторону, а не только на сам отрезок. Именно поэтому продолжение — законное место для основания высоты, и рисовать его пунктиром не просто можно, а нужно. Порядок действий экономит время: сначала продолжение, потом высота — иначе придётся перерисовывать. Тренировочный план: возьми тупоугольный треугольник с углом 120° и проведи все три высоты — две обязаны упасть на продолжения. Такой чертёж — типовой номер в контрольной, и именно здесь чаще всего теряют балл.


### Словарь урока


**Основание** — Сторона равнобедренного треугольника, не равная двум боковым
**Ось симметрии** — Линия перегиба, по которой фигура совпадает сама с собой; в равнобедренном треугольнике это медиана к основанию
**Серединный перпендикуляр** — Прямая через середину отрезка под углом 90° к нему
**Центр тяжести** — Точка пересечения медиан; в ней треугольная пластина балансирует
**Ортоцентр** — Точка пересечения высот треугольника
**Замечательные точки** — Знаменитые точки треугольника: центр тяжести, центры вписанной и описанной окружностей, ортоцентр


### Как это спрашивают на контрольной


- Начерти равнобедренный треугольник и проведи медиану к основанию. Какими ещё отрезками она является?
- Периметр равнобедренного треугольника 34 см, основание 12 см. Найди боковую сторону. Ответ: 11 см.
- Отрезок делит сторону треугольника на части 6 см и 9 см. Может ли он быть медианой? Ответ: нет, части обязаны быть равными.
- В треугольнике ABC медиана из вершины B делит сторону AC. Запиши равные отрезки.
- Углы при основании равнобедренного треугольника равны 47°. Найди угол при вершине. Ответ: 86°.


Ошибки здесь типовые: пишут «медиана делит угол», «биссектриса делит сторону», «высота выходит из середины». Заучи привязку к глаголу: медиана — сторона, биссектриса — угол, высота — прямой угол. В задачах с равнобедренным треугольником первым делом найди основание: без него непонятно, к какой стороне проводить «волшебную» линию. Если просят построение — описывай инструменты и порядок: сначала фигура, потом линия, потом подписи букв.


*[Интерактив: Вставь слова — доступен на странице урока]*


## Частые вопросы

### Чем медиана отличается от биссектрисы в треугольнике?

Медиана делит пополам сторону, биссектриса — угол. В равнобедренном треугольнике к основанию они совпадают.


### Когда биссектриса является медианой и высотой?

В равнобедренном треугольнике — если она проведена из вершины к основанию. Для других сторон это не работает.


### Может ли высота лежать вне треугольника?

Да, может. В тупоугольном треугольнике высоты из острых вершин падают на продолжения противоположных сторон.


### Где пересекаются медианы треугольника?

В одной точке внутри треугольника. Она делит каждую медиану в отношении 2 : 1 от вершины и служит центром тяжести.


## Проверь себя (вопросы и ответы)

#### Вопрос 1: Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны, — это…
- ✅ медиана
- ☐ биссектриса
- ☐ высота
- ☐ диагональ

*Пояснение: Ключевое слово — «середина стороны»: это медиана.*


#### Вопрос 2: Медиана делит сторону треугольника на отрезки 8 см и 8 см. Чему равна сторона?
**Ответ:** 16

*Пояснение: Медиана делит сторону пополам: 8 + 8 = 16 см.*


#### Вопрос 3: Что верно для равнобедренного треугольника?
- ✅ Углы при основании равны
- ✅ Биссектриса к основанию — медиана и высота
- ☐ Все углы равны
- ✅ Боковые стороны равны

*Пояснение: Все углы равны только у равностороннего треугольника — частного случая равнобедренного.*


#### Вопрос 4: В равнобедренном треугольнике любая биссектриса является медианой.
- ☐ Правда
- ✅ Неправда

*Пояснение: Только биссектриса, проведённая к основанию, совпадает с медианой и высотой. К боковой стороне — нет.*


#### Вопрос 5: Угол при основании равнобедренного треугольника равен 52°. Найди угол при вершине.
**Ответ:** 76

*Пояснение: Два угла при основании дают 52° + 52° = 104°, значит при вершине 180° − 104° = 76°.*


#### Вопрос 6: Сопоставь отрезок и его работу.
- Медиана — Делит сторону пополам
- Биссектриса — Делит угол пополам
- Высота — Даёт прямой угол со стороной
- Точка пересечения медиан — Центр тяжести треугольника

*Пояснение: Каждый отрезок «отвечает» за своё: сторона, угол, перпендикуляр.*


#### Вопрос 7: Где это свойство работает?
- **Только в равнобедренном:** биссектриса к основанию совпадает с медианой, высота к основанию совпадает с биссектрисой
- **В любом треугольнике:** медианы пересекаются в одной точке, сумма углов равна 180°

*Пояснение: Пересечение медиан в одной точке и сумма углов 180° работают всегда, а совпадение биссектрисы, медианы и высоты к основанию — особенность равнобедренного треугольника.*


#### Вопрос 8: Вставь пропущенное.
В равнобедренном треугольнике углы при **основании** равны, а биссектриса, проведённая к основанию, является ещё и **медианой**

*Пояснение: Оба свойства следуют из симметрии равнобедренного треугольника: биссектриса к основанию — его ось симметрии.*


## Тренажёр

На [странице тренажёра](https://shkolniygid.ru/geometriya/7-klass/mediana-bissektrisa/trenazher/) — 4 типов задач с бесконечными вариантами чисел, проверкой ответа и разбором каждого шага.