# Смежные и вертикальные углы

> Смежные углы в сумме дают 180°, вертикальные равны. Учимся находить любой угол при пересечении двух прямых, зная всего один.

**Геометрия, 7 класс.** Урок бесплатного онлайн-самоучителя «ШкольныйГид». Обновлено: 2026-09-27.

Страница урока: https://shkolniygid.ru/geometriya/7-klass/smezhnye-vertikalnye/

Ножницы раскрывают и складывают: два лезвия поворачиваются вокруг одного винта. Пока одно лезвие отклоняется на 30°, зазор между кончиками меняется строго согласованно — на угол, дополняющий первый до развёрнутого. Так работают смежные углы. А на перекрёстке двух дорог или в складках прищепки видно второе свойство: углы «крест-накрест» повторяют друг друга. Два коротких правила позволяют найти все четыре угла при пересечении прямых, зная один. В этом уроке докажем оба свойства по всем правилам геометрии, решим задачи с уравнениями и отыщем смежные углы в дверной петле, на циферблате и в мастерской.


### Смежные углы: вместе всегда 180°


Два угла называются **смежными**, если одна сторона у них общая, а две другие — дополнительные лучи, то есть вместе образуют прямую. Проще говоря, один угол продолжили за вершину по прямой — и получился второй. Раз дополнительные лучи составляют развёрнутый угол, а он равен 180°, сумма смежных углов всегда 180°. Углы обозначают тремя буквами: запись ∠AOB означает угол с вершиной O и сторонами OA и OB. У смежных углов вершина общая, поэтому различают их по сторонам: ∠AOB и ∠BOC смежные, если точки A, O и C лежат на одной прямой. Если в задаче угол назван одной буквой, например «угол O», значит, у вершины O всего один угол и путаться не в чем.


![Смежные углы на прямой в сумме дают 180 градусов; вертикальные углы равны](https://shkolniygid.ru/img/lessons/geo-smezhnye.webp)

*Смежные углы вместе составляют развёрнутый угол — их сумма всегда 180°. При пересечении двух прямых образуются две пары вертикальных углов: в каждой паре углы равны.*


Из суммы 180° следует главный рабочий приём: зная один смежный угол, второй находят вычитанием. Дан угол 40° — смежный с ним равен 140°. Дан угол 75° — смежный 105°. Если один угол прямой, смежный с ним тоже прямой: 180° − 90° = 90°. Отсюда красивое правило-пара: острый смежный угол ходит в комплекте с тупым. Один меньше 90° — второй обязательно больше 90°, ведь вместе им нужно набрать ровно 180°. Два острых или два тупых смежными быть не могут, и на контрольных это спасает: проверил сумму — сразу видно, где ошибка.


У смежных углов есть два следствия, ради которых их и любят. Первое: если смежные углы равны, то каждый по 90°, а прямые, на которых лежат их необщие стороны, перпендикулярны. Так проверяют прямой угол в мастерской: отложи от вершины два равных смежных угла — линии встанут под 90° друг к другу. Второе следствие про биссектрису: биссектрисы смежных углов перпендикулярны. Половина одного угла плюс половина другого дают ровно 90°, а такой угол между лучами и называется прямым. Проверь на числах: углы 60° и 120°, биссектрисы делят их на 30° и 60°, вместе — 90°.


$$\alpha + \beta = 180^{\circ}$$

*Сумма смежных углов*


Меряют углы транспортиром, а записывают со знаком градуса: ∠AOB = 40°. В формулах углы удобно называть греческими буквами α и β — тогда свойства выглядят коротко и складываются в аккуратные выражения. Градусная мера отвечает на вопрос, сколько раз 1/180 часть развёрнутого угла укладывается в данном. Вся арифметика темы отсюда: смежные углы — два числа с фиксированной суммой, поэтому любая задача про них сводится к вычитанию или к короткому уравнению с одной неизвестной.


> **Ловушка.** Равные углы — не всегда вертикальные, а смежные — не всегда прямые. Почти все на контрольной пишут, что «если углы равны, они вертикальные». Причинно-следственная связь работает только в одну сторону: вертикальные углы равны, но не наоборот. Вторая частая ошибка — называть вертикальные углы смежными: у них нет ни одной общей стороны, они вообще не соприкасаются. Третья ошибка из той же серии — искать у смежных углов равенство: сумма 180° гарантирует его только для двух прямых углов.


*[Интерактив: Выстави угол, смежный с углом 65° — доступен на странице урока]*


**Смежные углы** — Одна сторона общая, две другие — дополнительные лучи; сумма всегда 180°
**Вертикальные углы** — Стороны одного служат продолжениями сторон другого; всегда равны
**Развёрнутый угол** — Угол со сторонами на одной прямой, равен 180°
**Биссектриса** — Луч, выходящий из вершины угла и делящий его на два равных


### Вертикальные углы: пары через точку


При пересечении двух прямых возникает четыре угла, которые разбиваются на две пары **вертикальных**: стороны одного служат продолжениями сторон другого. Почему они равны? Доказательство занимает две строки. Пусть угол 1 и угол 2 смежные, и угол 1 с углом 3 тоже смежные. Каждый из двух дополняет угол 1 до 180°, значит, оба равны 180° минус угол 1 — а два числа, равные одному и тому же, равны между собой. Итак, вертикальные углы 2 и 3 равны. Точно так же вторая пара: углы 2 и 4, смежные с углом 3, оказываются равны.


Теперь у всей картинки есть чёткая структура. Соседние углы при пересечении — смежные, каждая соседняя пара даёт 180°. Противоположные — вертикальные, они равны. Все четыре вместе составляют полный угол вокруг точки — 360°. Достаточно узнать один угол из четырёх, и остальные три восстанавливаются автоматически: напротив — копия, по бокам — вычитание из 180°. Например, при угле 65° получается ряд 65°, 115°, 65°, 115°. Посчитай и пары: смежных здесь четыре — 1 с 2, 2 с 3, 3 с 4, 4 с 1, а вертикальных всего две: 1 с 3 и 2 с 4.


| Тип углов | Как образуются | Главное свойство | Пример |
| --- | --- | --- | --- |
| Смежные | Одна сторона общая, две другие — дополнительные лучи | В сумме дают 180° | 40° и 140° |
| Вертикальные | При пересечении двух прямых, «крест-накрест» | Равны между собой | 65° и 65° |
| Развёрнутый | Стороны образуют прямую | Всегда равен 180° | 180° |
| Прямой | Половина развёрнутого | Всегда равен 90° | 90° |


**Пример: находим все четыре угла**

1. Две прямые пересеклись. Один из углов равен 45°. Смежный с ним дополняет до 180°. — $$180^{\circ} - 45^{\circ} = 135^{\circ}$$
2. Вертикальный углу 45° равен ему самому. — $$\angle 2 = 45^{\circ}$$
3. Оставшийся угол вертикален углу 135°. — $$\angle 4 = 135^{\circ}$$
4. Проверка: 45° + 135° + 45° + 135° = 360° — полный оборот вокруг точки.
5. Смежный с углом 135° снова даёт 45° — картинка замкнулась, все четыре величины согласованы.


**Разбор задачи: один угол на 40° больше смежного с ним**

1. Обозначь меньший угол x. Тогда соседний с ним угол равен x + 40.
2. Соседние углы смежные, поэтому их сумма равна 180°.
3. Собери неизвестные: два x и ещё 40 — отсюда 2x = 140. — $$x + x + 40 = 180$$
4. Меньший угол 70°, больший 110°. — $$x = 70^{\circ}$$
5. Проверка: 70° + 110° = 180° и 110° − 70° = 40° — оба условия выполнены.


### Где это пригодится


Открой дверь и посмотри на петлю: угол между дверью и стеной и угол между дверью и проёмом — смежные. Дверь раскрыта на 60° — до стены остаётся 120°, распахнулась на 90° — встала параллельно стене. Ножницы, прищепка, пинцет, кусачки — везде два рычага на одной оси, и выигрыш одного угла в точности равен потере второго. На циферблате в 15:00 стрелки стоят под прямым углом, а в 6:00 образуют развёрнутый. Вертикальные углы живут на любом перекрёстке: улицы старого города, траншея и трубопровод, провода за стеной — пересечения везде устроены одинаково.


Вторая причина ценить эти свойства — перпендикулярные прямые. Если смежные углы равны, оба прямые, и линии перпендикулярны. Через эту связь в седьмом классе доказывают всё про высоты, расстояния и построения: например, расстояние от точки до прямой измеряют по перпендикуляру, а не по наклонной, потому что перпендикуляр — кратчайший путь. Пересечение прямых и углы при нём — первая ступенька к этому большому материалу.


В контрольных и проверочных работах углы при пересечении приходят в двух типовых костюмах. Первый: «один из углов, образованных при пересечении двух прямых, равен 117°» — найти остальные. Работает алгоритм из списка ниже: копия напротив, вычитание из 180° по бокам. Второй костюм — уравнение со словами «в k раз больше» или «на 40° больше»: обозначь меньший угол переменной, сложи смежные и реши линейное уравнение. Если пересекаются сразу три прямые в одной точке, правило то же: вертикальных пар шесть, и напротив всегда стоят равные углы.


- Запиши известный угол — он входит сразу в две пары: смежную и вертикальную.
- Вертикальный угол равен известному — вторая копия найдена без вычислений.
- Два смежных угла получи вычитанием известного из 180°.
- Сложи все четыре величины: должно выйти 360° — это бесплатная проверка.


> **Совет.** Рисуй два перекрещенных отрезка и подписывай углы цифрами 1-2-3-4 по кругу. Тогда смежные — соседи, вертикальные — через один. Встретишь задачу «один угол на 40° больше другого» — обозначай меньший x, соседний x + 40, и сумма 2x + 40 = 180°. Тот же приём работает и для «в 3 раза больше»: меньший x, больший 3x, уравнение x + 3x = 180°.


*[Интерактив: Собери пары — доступен на странице урока]*


*[Интерактив: Верно или нет? — доступен на странице урока]*


## Частые вопросы

### Как найти смежный угол, если один равен 130 градусам?

Смежные углы вместе образуют развёрнутый угол, поэтому вычитай: 180° − 130° = 50°. Ответ — 50°. Тот же приём работает с любым значением: знаешь один смежный угол — второй получается одним вычитанием.


### Чем вертикальные углы отличаются от смежных?

Смежные углы имеют общую сторону и в сумме дают 180°. Вертикальные углы построены на продолжениях сторон друг друга, не касаются и всегда равны. Запомни так: смежные — соседи, вертикальные — отражения через точку.


### Могут ли оба смежных угла быть острыми?

Нет. Острые углы меньше 90°, значит их сумма меньше 180°. Один смежный угол всегда острый, второй — тупой, либо оба прямые.


### Почему вертикальные углы равны?

Каждый из них дополняет до 180° один и тот же угол. Поэтому оба выражаются как 180° минус этот угол и совпадают. Всё доказательство опирается только на свойство смежных углов.


## Проверь себя (вопросы и ответы)

#### Вопрос 1: Один из смежных углов равен 74°. Найди второй угол.
**Ответ:** 106

*Пояснение: Смежные углы дополняют друг друга до 180°: 180 − 74 = 106°.*


#### Вопрос 2: Вертикальные углы равны.
- ✅ Правда
- ☐ Неправда

*Пояснение: Оба вертикальных угла дополняют до 180° один и тот же угол, поэтому равны между собой.*


#### Вопрос 3: Один из смежных углов прямой. Чему равен второй?
- ✅ $90^{\circ}$
- ☐ $180^{\circ}$
- ☐ $45^{\circ}$
- ☐ $80^{\circ}$

*Пояснение: 180° − 90° = 90°. Два прямых смежных угла вместе образуют прямую линию.*


#### Вопрос 4: Какие утверждения верны?
- ✅ Вертикальные углы равны
- ☐ Смежные углы всегда равны
- ✅ Сумма смежных углов равна 180°
- ☐ Вертикальные углы являются смежными

*Пояснение: Смежные равны только в частном случае двух прямых углов, а вертикальные углы вообще не смежные.*


#### Вопрос 5: Один из смежных углов в 3 раза больше другого. Найди меньший угол.
**Ответ:** 45

*Пояснение: x + 3x = 180°, отсюда 4x = 180° и x = 45°.*


#### Вопрос 6: Сопоставь понятие и свойство.
- Смежные углы — Сумма 180°
- Вертикальные углы — Равны
- Развёрнутый угол — Стороны образуют прямую
- Биссектриса угла — Делит угол пополам

*Пояснение: Это два главных правила урока плюс базовые определения — они нужны в каждой задаче про углы.*


#### Вопрос 7: Как ведут себя эти углы?
- **Смежные углы:** одна сторона общая, две другие — продолжения, в сумме дают 180°
- **Вертикальные углы:** образуются при пересечении двух прямых, равны друг другу

*Пояснение: Смежные углы — это про общую сторону и сумму 180°, а вертикальные рождаются парами при пересечении прямых и равны.*


#### Вопрос 8: Вставь пропущенное.
При пересечении двух прямых один из углов равен 50°. Смежный с ним угол равен **130**°, а вертикальный ему — **50**°

*Пояснение: Смежный угол дополняет 50° до 180°, а вертикальный равен исходному углу, то есть тоже 50°.*


## Тренажёр

На [странице тренажёра](https://shkolniygid.ru/geometriya/7-klass/smezhnye-vertikalnye/trenazher/) — 4 типов задач с бесконечными вариантами чисел, проверкой ответа и разбором каждого шага.