# Параллелограмм и трапеция

> Шарнирный параллелограмм поднимает ворота гаража, трапеция держит крышу. Свойства четырёхугольников и их средние линии — по шагам.

**Геометрия, 8 класс.** Урок бесплатного онлайн-самоучителя «ШкольныйГид». Обновлено: 2026-09-27.

Страница урока: https://shkolniygid.ru/geometriya/8-klass/chetyrehugolniki/

Подъёмные ворота гаража двигаются по боковым направляющим, но полотно остаётся горизонтальным — его держит шарнирная система в форме параллелограмма: тянешь за край, и фигура сминается, сохраняя параллельность сторон. Четырёхугольники не такие жёсткие, как треугольники, зато управляемые. Трапеция — их «полуродственник»: параллельны только две стороны, поэтому и свойств меньше, а в фермах крыш она встречается на каждом шагу. За урок соберёшь полный набор: определения, свойства и признаки обеих фигур, сумму углов четырёхугольника и три разбора задач с числами.


### Параллелограмм: свойства и признаки


Начнём с главного отличия от треугольника. Три стержня с шарнирами сложатся в единственный треугольник, а четыре — в бесконечное семейство четырёхугольников: рамка умеет складываться, меняя углы при постоянных сторонах. Инженеры используют это в обе стороны: где нужна подвижность, ставят шарнирный параллелограмм — подъёмные шлагбаумы, откидные столики, выдвижные ящики с параллельным ходом; где нужна жёсткость — добавляют диагональ и превращают четырёхугольник в два треугольника.


**Параллелограмм** — четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. Из параллельности вытекают четыре свойства: противоположные стороны равны, противоположные углы равны, диагонали точкой пересечения делятся пополам, а соседние углы дают в сумме 180° — они односторонние при параллельных сторонах и секущей. Проверь на воротах из начала урока: сколько бы шарниры ни складывались, противоположные звенья остаются равными и параллельными, иначе полотно перекосит.


Признаки читаются в обратную сторону: свойство говорит «что у параллелограмма есть», признак — «по чему его опознать». Их три. Если в четырёхугольнике две стороны равны и параллельны — это параллелограмм. Если противоположные стороны попарно равны — тоже. Если диагонали делятся точкой пересечения пополам — снова он. Разберём первый признак: пусть стороны AB и CD равны и параллельны. Диагональ AC — секущая, значит углы BAC и DCA равны как накрест лежащие. Треугольники ABC и CDA равны по двум сторонам и углу между ними, отсюда BC = AD и вторая пара сторон параллельна — признак доказан.


Точка пересечения диагоналей — центр параллелограмма. Она делит обе диагонали ровно пополам, поэтому любая прямая через центр режет фигуру на две равные части: положи бумажный параллелограмм на остриё карандаша этой точкой, и он уравновесится. То же в технике: у ножничных подъёмников и раздвижных решёток центральный шарнир стоит ровно посередине диагоналей, потому что при сжатии деление пополам сохраняется. Работает и обратный ход: знаешь диагональ и её половинку — находишь вторую половинку той же длины.


Почему свойства вообще верны? Диагональ режет параллелограмм на два равных треугольника: ABC и CDA равны по двум сторонам и углу между ними — сторона AC общая, а AB параллельна CD, поэтому накрест лежащие углы при секущей AC равны. Из равенства треугольников сразу вылетают и равные противоположные стороны, и равные противоположные углы. Проведи вторую диагональ и повтори рассуждение с парами треугольников — получишь деление обеих диагоналей пополам. Все свойства параллелограмма вырастают из одного приёма: разрезать фигуру диагональю и сравнить треугольники. Кстати, это же рассуждение объясняет, почему признак «две равные и параллельные стороны» работает: он запускает ровно это разрезание.


> **Ловушка.** Диагонали параллелограмма НЕ равны и НЕ перпендикулярны — это свойства прямоугольника и ромба. В общем параллелограмме они лишь делятся точкой пересечения пополам. Вторая ловушка тише: признак путают со свойством и доказывают в обратную сторону. Равные диагонали не делают фигуру параллелограммом, а вот деление диагоналей пополам — делают: следи, в какую сторону идёт рассуждение.


*[Интерактив: Выстави угол 120° — доступен на странице урока]*


**Пример: углы параллелограмма**

1. Один угол параллелограмма равен 75°. Соседний угол дополняет до 180°. — $$180^{\circ} - 75^{\circ} = 105^{\circ}$$
2. Противоположные углы равны данным: получается 75°, 105°, 75°, 105°.
3. Проверка: 75 + 105 + 75 + 105 = 360° — сумма углов четырёхугольника.


**Разбор задачи: один угол больше другого на 40°**

1. Соседние углы параллелограмма дают 180°. Обозначь меньший за x, тогда больший равен x + 40°. — $$x + x + 40^{\circ} = 180^{\circ}$$
2. Сложи: 2x = 140°, одна часть равна 70°. — $$x = 70^{\circ}$$
3. Углы параллелограмма: 70°, 110°, 70°, 110°. Проверка суммы: 360°.


**Разбор задачи: диагонали и периметр**

1. Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке O. Периметр треугольника ABO равен 20 см, AB = 8 см, AO = 5 см. Найди диагональ BD.
2. Стороны треугольника ABO — это AB, AO и BO. Вычти известные, найдёшь BO. — $$BO = 20 - 8 - 5 = 7$$
3. Диагонали делятся точкой пересечения пополам: BO = OD. — $$BD = 2 \cdot 7 = 14$$
4. Диагональ BD равна 14 см. Проверка периметра: 8 + 5 + 7 = 20 — сошлось.


Сумма углов любого четырёхугольника равна 360°. Доказательство в одну строку: проведи диагональ — она разрежет четырёхугольник на два треугольника, каждый приносит по 180°, всего 360°. Для параллелограмма отсюда видно и распределение: углы складываются в две равные пары, соседние дополняют друг друга до 180°. У трапеции сумма та же, но пары другие: углы при боковой стороне — односторонние при параллельных основаниях, поэтому тоже дают ровно 180°.


### Трапеция: основания, боковые стороны, средняя линия


**Трапеция** — четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие нет. Параллельные стороны называют основаниями, непараллельные — боковыми сторонами. Если боковые стороны равны, трапеция равнобедренная: углы при каждом основании равны и диагонали равны — фигура симметрична относительно вертикальной оси, проведённой через середины оснований. Если одна боковая сторона перпендикулярна основаниям, трапеция прямоугольная, и эта сторона сразу служит высотой. Средняя линия соединяет середины боковых сторон, параллельна основаниям и равна их полусумме.


$$m = \frac{a + b}{2}$$

*Средняя линия трапеции — полусумма оснований*


> **Совет.** Средняя линия — самый короткий путь в задачах про трапецию. Если даны средняя линия и одно основание, второе находишь за один шаг: удвой среднюю линию и вычти известное основание. Для проверки держи рамку: средняя линия всегда лежит по длине между основаниями и «сидит» ровно посередине между боковыми сторонами.


Почему полусумма? Прикинь на числах: основания 10 см и 20 см. Линия, идущая ровно посередине между боковыми сторонами, усредняет ширину трапеции: сверху фигура уже, снизу шире, и посередине откладывается средняя ширина — 15 см. Строгое доказательство строится дополнительным построением: продолжи боковые стороны до пересечения или проведи диагональ и примени теорему о средней линии треугольника из седьмого класса. Тот же смысл у среднего арифметического двух чисел: средняя линия и есть среднее арифметическое оснований.


| Свойство | Параллелограмм | Трапеция |
| --- | --- | --- |
| Параллельные стороны | Обе пары | Только два основания |
| Противоположные стороны | Равны | Могут быть разными |
| Средняя линия | Нет | Равна полусумме оснований |
| Диагонали | Делятся точкой пересечения пополам | Равны у равнобедренной |
| Углы | Противоположные равны | При боковой стороне дают 180° |


Равнобедренная трапеция — самая нарядная из четырёхугольников: срез юбки-трапеции, абажур, дорожный знак приоритета, фронтон старого дома. Симметрия делает её визуально спокойной, без перекоса, поэтому архитекторы берут её охотнее произвольной. Прямоугольная трапеция живёт в разрезах деталей и профилях ступеней: перпендикулярная боковая сторона готова на роль высоты без дополнительных построений. Диагонали у равнобедренной трапеции равны: ось симметрии переводит одну диагональ в другую.


**Разбор задачи: средняя линия трапеции**

1. Основания трапеции равны 8 см и 14 см. Средняя линия — их полусумма. — $$m = \frac{8 + 14}{2} = 11$$
2. Обратная задача: средняя линия 13 см, одно основание 9 см. Удвой и вычти. — $$2 \cdot 13 - 9 = 17$$
3. Второе основание равно 17 см. Проверка: полусумма чисел 9 и 17 равна 13 — сошлось.


**Разбор задачи: углы равнобедренной трапеции**

1. В равнобедренной трапеции угол при большем основании равен 68°. Найди остальные углы.
2. Углы при каждом основании равнобедренной трапеции равны: второй угол при большем основании тоже 68°.
3. Углы при боковой стороне дополняют друг друга до 180° — односторонние при параллельных основаниях. — $$180^{\circ} - 68^{\circ} = 112^{\circ}$$
4. Оба угла при меньшем основании равны 112°. Проверка: 68 + 68 + 112 + 112 = 360°.


**Основание трапеции** — Параллельная сторона трапеции, их всегда две
**Боковая сторона** — Непараллельная сторона трапеции, соединяет основания
**Средняя линия** — Отрезок между серединами боковых сторон, равен полусумме оснований
**Признак фигуры** — Условие, по которому фигуру опознают; направление рассуждения обратное свойству


- Определи тип фигуры: параллельны обе пары сторон или только основания.
- Выпиши нужные свойства: равенство сторон и углов, поведение диагоналей, средняя линия.
- Проверь суммы: 360° у любого четырёхугольника, 180° у соседних углов параллелограмма.
- Для признака следи за направлением: сначала условие, затем вывод «это параллелограмм».


Прямоугольник, ромб и квадрат — частные случаи параллелограмма. Прямоугольнику к общим свойствам добавлены прямые углы и равные диагонали, ромбу — равные стороны и перпендикулярные диагонали, квадрат объединяет всё сразу. Иерархия строгая: всякий квадрат — одновременно ромб и прямоугольник, а всякий ромб и всякий прямоугольник — параллелограммы. Свойства трапеции на эту тройку не переносятся: у всех её членов параллельны обе пары сторон. Подробный разбор фигур с площадями — в следующем уроке. Быстрая самопроверка: назови фигуру по диагоналям — равные, перпендикулярные или то и другое сразу.


*[Интерактив: Собери пары — доступен на странице урока]*


*[Интерактив: Разложи свойства по фигурам — доступен на странице урока]*


## Частые вопросы

### Как доказать, что четырёхугольник — параллелограмм?

Найди и обоснуй один из трёх признаков: две стороны равны и параллельны, противоположные стороны попарно равны или диагонали делятся точкой пересечения пополам. Выбирай признак, который дешевле проверить по данным задачи. Если даны диагонали, короткая дорога — доказать деление пополам через равенство треугольников.


### Чему равна средняя линия трапеции?

Полусумме оснований: сложи длины оснований и раздели пополам. Она параллельна основаниям и соединяет середины боковых сторон. Если даны средняя линия и одно основание, второе находишь в одно действие: удвой среднюю линию и вычти известное основание.


### Чем трапеция отличается от параллелограмма?

У трапеции параллельны только два основания, у параллелограмма — обе пары противоположных сторон. Поэтому у трапеции нет равенства противоположных сторон и деления диагоналей пополам. Зато равнобедренная трапеция получает свои бонусы: равные боковые стороны, равные углы при основании и равные диагонали.


### Какие углы у равнобедренной трапеции?

Углы при каждом основании равны между собой, а углы при боковой стороне дают в сумме 180° — они односторонние при параллельных основаниях. Например, при угле 68° у большего основания остальные три угла будут 68°, 112° и 112°. Сумма всех четырёх равна 360°, как у любого четырёхугольника.


## Проверь себя (вопросы и ответы)

#### Вопрос 1: Какое свойство есть у любого параллелограмма?
- ✅ Противоположные стороны равны
- ☐ Все углы прямые
- ☐ Диагонали равны
- ☐ Диагонали перпендикулярны

*Пояснение: Равные диагонали — у прямоугольника, перпендикулярные — у ромба. Параллелограмм гарантирует только равенство противоположных сторон.*


#### Вопрос 2: Один угол параллелограмма равен 118°. Найди соседний угол.
**Ответ:** 62

*Пояснение: Соседние углы параллелограмма дают 180°: 180° − 118° = 62°.*


#### Вопрос 3: Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.
- ✅ Правда
- ☐ Неправда

*Пояснение: Да, это основное свойство диагоналей параллелограмма.*


#### Вопрос 4: Что является признаком параллелограмма?
- ✅ Две стороны равны и параллельны
- ✅ Диагонали делятся точкой пересечения пополам
- ✅ Противоположные стороны попарно равны
- ☐ Только один угол прямой

*Пояснение: Один прямой угол в четырёхугольнике ничего не гарантирует про параллельность остальных сторон.*


#### Вопрос 5: Основания трапеции равны 17 см и 9 см. Найди среднюю линию.
**Ответ:** 13

*Пояснение: Полусумма оснований: (17 + 9) : 2 = 13 см.*


#### Вопрос 6: Трапеция с равными боковыми сторонами называется…
- ✅ равнобедренной
- ☐ прямоугольной
- ☐ параллельной
- ☐ ромбовидной

*Пояснение: Равные боковые стороны — определение равнобедренной трапеции.*


#### Вопрос 7: Распредели свойства по фигурам.
- **Параллелограмм:** противоположные стороны попарно параллельны, диагонали точкой пересечения делятся пополам
- **Трапеция:** параллельны только два основания, средняя линия равна полусумме оснований

*Пояснение: У параллелограмма параллельны обе пары сторон, поэтому диагонали делятся пополам. У трапеции параллельны лишь основания — отсюда и средняя линия.*


#### Вопрос 8: Вставь пропущенное.
Сумма углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, равна **180°**, а средняя линия трапеции параллельна её **основаниям**

*Пояснение: Прилежащие к одной стороне углы — односторонние при параллельных сторонах, поэтому дают 180°. Средняя линия соединяет середины боковых сторон.*


## Тренажёр

На [странице тренажёра](https://shkolniygid.ru/geometriya/8-klass/chetyrehugolniki/trenazher/) — 4 типов задач с бесконечными вариантами чисел, проверкой ответа и разбором каждого шага.