# Теорема Пифагора

> Квадраты на сторонах прямоугольного треугольника: формула Пифагора, обратная теорема и тройки чисел, которые стоит запомнить.

**Геометрия, 8 класс.** Урок бесплатного онлайн-самоучителя «ШкольныйГид». Обновлено: 2026-09-27.

Страница урока: https://shkolniygid.ru/geometriya/8-klass/teorema-pifagora/

Прислонил лестницу к стене: нижний конец на 3 метрах от стены, верх достаёт до 4 метров высоты. Сколько метров в самой лестнице? Восемь плюс девять? Никак — 5, и это не подгонка, а теорема, которой больше двух с половиной тысяч лет. Её же используют при разметке фундамента: строители натягивают верёвку с узлами на 3, 4 и 5 метров и получают идеальный прямой угол.


### Формула и обратная теорема


$$a^2 + b^2 = c^2$$

*Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов*


Гипотенуза c лежит против прямого угла — она всегда самая большая сторона. Теорема работает и в обратную сторону: если квадрат одной стороны равен сумме квадратов двух других, треугольник прямоугольный. Этим проверяют чертежи и находят прямые углы без угломера. Тройки чисел, удовлетворяющие формуле, называют пифагоровыми: 3-4-5, 5-12-13, 8-15-17, 7-24-25 — умножая их на любое число, получаешь новые.


За значками в формуле стоит площадь: a² — это площадь настоящего квадрата со стороной a. Теорема поэтому и звучит геометрически: квадрат на гипотенузе можно разрезать на части, из которых складываются оба квадрата на катетах. Отсюда и старое название «квадрат, построенный на гипотенузе» — речь о фигуре, а не о действии возведения в степень.


Слова темы пришли из греческого: «гипотенуза» значит «натянутая» — как тетива, протянутая между катетами, а «катет» — «отвес». Лестница у стены из начала урока действительно устроена как тот чертёж: земля и стена — катеты, лестница — натянутая гипотенуза.


> **Ловушка.** В формуле складываются квадраты КАТЕТОВ, а ответ — это корень. Две типичные ошибки: подставить катет на место гипотенузы (тогда вычитание идёт не туда) и забыть извлечь корень, оставив в ответе 25 вместо 5. Проверяй: гипотенуза всегда больше каждого катета.


*[Интерактив: Квадраты на сторонах — доступен на странице урока]*


**Пример: экран телевизора**

1. Экран имеет размеры 60 см на 45 см. Диагональ — гипотенуза прямоугольного треугольника.
2. Возводим катеты в квадрат и складываем. — $$60^2 + 45^2 = 3600 + 2025 = 5625$$
3. Извлекаем корень: диагональ 75 см. — $$c = \sqrt{5625} = 75$$


Тройки, которые стоит узнавать в лицо, собраны в таблице. Умножение на любое число даёт новые: 3-4-5 растягивается в 6-8-10 и 9-12-15. Если катеты в задаче кратны членам тройки, гипотенузу находи в уме — без возведения в квадрат.


![Теорема Пифагора: квадраты, построенные на катетах, вместе равны квадрату на гипотенузе](https://shkolniygid.ru/img/lessons/pifagor-1.webp)

*Геометрический смысл теоремы Пифагора: два квадрата на катетах равновелики квадрату, построенному на гипотенузе.*


| Тройка | Проверка | Кратные |
| --- | --- | --- |
| 3-4-5 | $3^2 + 4^2 = 5^2$ | 6-8-10, 9-12-15, 12-16-20 |
| 5-12-13 | $25 + 144 = 169$ | 10-24-26 |
| 8-15-17 | $64 + 225 = 289$ | 16-30-34 |
| 7-24-25 | $49 + 576 = 625$ | 14-48-50 |


Если тройка близка к пифагоровой, но равенство не точное, треугольник лишь почти прямоугольный — так бывает при округлённых измерениях, и на чертеже прямой угол выйдет кривым. Проверяй равенство до последней единицы: 5-6-7 даёт 25 + 36 = 61 против 49 — не тройка.


### Пифагор и пифагорейцы


Теорема носит имя Пифагора Самосского, жившего в шестом веке до нашей эры и основавшего в южноитальянском Кротоне союз математиков. Само равенство знали задолго до него: вавилонские глиняные таблички за тысячу лет до Пифагора содержат готовые тройки. На знаменитой табличке Плимптон 322 выписаны пятнадцать троек, среди них 119-120-169: проверь сами — 14161 + 14400 = 28561, и корень из 28561 равен ровно 169.


Пифагорейцы считали число основой всего: изучали чётные и нечётные, треугольные числа 1, 3, 6, 10, обнаружили, что струна вдвое короче даёт звук на октаву выше. С их школой связан и первый кризис математики: диагональ квадрата со стороной 1 равна корню из двух, примерно 1,414, и никакая дробь его не выражает. Легенда гласит, что за это открытие автора чуть не утопили — настолько оно противоречило вере союза в целые числа.


То же равенство независимо открыли в Индии и Китае: в индийских строительных трактатах и в древнекитайском комментарии к «Математике в девяти книгах» чертежи с квадратами на сторонах встречаются задолго до контакта с Грецией. Теорема принадлежит всем культурам, где строили стены и мерили землю, — просто имя к ней прицепилось одно.


> Всё есть число.
> 
> — *девиз пифагорейцев*


*[Интерактив: Карточки темы — доступен на странице урока]*


### Египетский треугольник: 3-4-5


Землемеры Египта после каждого разлива Нила заново размечали поля. Инструмент — верёвка с двенадцатью узлами на равных расстояниях: 3 + 4 + 5 = 12 промежутков. Натянули верёвку в треугольник со сторонами 3, 4 и 5 — угол между сторонами 3 и 4 получается прямым, потому что 9 + 16 = 25. Так без угломера, одной верёвкой, получали точный прямой угол; тот же приём тысячу лет спустя применяли каменщики по всей Европе.


Правило живёт на стройке до сих пор, только в масштабе: для разметки фундамента берут тройку 6-8-10. Помогает и проверка диагоналями: у прямоугольника 6 м на 8 м диагональ равна ровно 10 м, и если обе диагонали сошлись — углы прямые. Тем же способом выравнивают корты, грядки и площадки: два замера рулеткой вместо дорогого угломера.


### Доказательство за минуту: четыре треугольника


Возьми квадрат со стороной a + b и расставь в нём четыре копии прямоугольного треугольника с катетами a и b так, чтобы внутри остался наклонный квадрат со стороной c. Площадь большого квадрата складывается из четырёх треугольников и внутреннего квадрата: (a + b)² = 4 · ab : 2 + c², то есть a² + 2ab + b² = 2ab + c². Убирая 2ab с обеих сторон, получаем a² + b² = c².


Проверь на числах: a = 3, b = 4. Большой квадрат 7 на 7 имеет площадь 49. Четыре треугольника по 3 · 4 : 2 = 6 дают вместе 24, внутренний квадрат со стороной 5 — площадь 25. Сходится: 25 + 24 = 49. Такое доказательство можно проделать ножницами из листа бумаги — перекладывание частей заменяет алгебру, поэтому его любят показывать на внеклассных занятиях.


Обратная теорема тоже проверяется руками: склей рамку со сторонами 30 см и 40 см и замерь диагональ. Вышло ровно 50 см — угол прямой; вышло меньше — рамка перекошена. Столяры так и проверяют прямоугольность дверных и оконных рам: две диагонали должны совпадать до миллиметра.


### Где применять


> **Совет.** Запомни тройку 3-4-5 и её кратные — 6-8-10, 9-12-15, 12-16-20. Если в задаче катеты кратны 3 и 4, гипотенуза почти наверняка кратна 5, и считать в уме быстрее, чем возводить в квадрат. Обратную теорему применяй для проверки: 6² + 8² = 100 = 10² — прямоугольный.


А вот объяснение круглым люкам: крышку делают круглой не из экономии. Квадратная крышка со стороной 60 см провалилась бы в свой же люк по диагонали — она равна примерно 85 см и больше стороны. У круга все хорды наибольшей длины — диаметры, и провалиться невозможно. Геометрия охраняет ноги прохожих.


### Разбор типовой задачи


Классика контрольных и ОГЭ: трос, лестница, мачта. Трос крепят к столбу на высоте 8 м и к земле в 6 м от основания столба. Спрашивают длину троса — а потом меняют условие: трос длиной 10 м закреплён в 8 м от столба, на какой высоте кольцо?


**Решение по шагам: трос у столба**

1. Трос, столб и земля образуют прямоугольный треугольник: катеты 8 м и 6 м, трос — гипотенуза.
2. Возводим катеты в квадрат и складываем. — $$8^2 + 6^2 = 64 + 36 = 100$$
3. Извлекаем корень: трос имеет длину 10 м. — $$c = \sqrt{100} = 10$$
4. Обратная задача: гипотенуза 10, известный катет 8. Ищем высоту крепления. — $$h^2 = 10^2 - 8^2 = 36$$
5. Извлекаем корень: кольцо на высоте 6 м. — $$h = \sqrt{36} = 6$$
6. Проверка по тройке: 6-8-10 — это 3-4-5 в два раза больше, ответы согласуются без калькулятора.


### Словарь урока


**Гипотенуза** — Сторона прямоугольного треугольника, лежащая против прямого угла; всегда самая длинная.
**Катет** — Одна из двух сторон, образующих прямой угол.
**Пифагорова тройка** — Три натуральных числа, для которых a² + b² = c²; например 3-4-5.
**Египетский треугольник** — Прямоугольный треугольник со сторонами 3, 4, 5 — древний инструмент разметки.
**Обратная теорема Пифагора** — Если квадрат одной стороны равен сумме квадратов двух других, треугольник прямоугольный.
**Несоизмеримость** — Диагональ квадрата и его сторона не имеют общей мерки: корень из двух не выражается дробью.


### Как это спрашивают на контрольной и ОГЭ


- Найди гипотенузу по двум катетам: квадраты, сумма, корень.
- Найди катет по гипотенузе и второму катету: разность квадратов и корень.
- Проверь по трём сторонам, является ли треугольник прямоугольным.
- Найди диагональ прямоугольника по двум его сторонам.
- Найди расстояние между точками на клетчатой бумаге или на координатной плоскости.


Сюжеты в задачах одни и те же: лестница у стены, трос мачты, диагональ экрана, расстояние между фигурами на сетке. Увидел катеты, кратные 3 и 4, — ищи гипотенузу, кратную 5, и считай в уме. Если числа не тройка — не пугайся некрасивого корня: в некоторых заданиях его честно оставляют в ответе.


*[Интерактив: Верно или нет? — доступен на странице урока]*


## Частые вопросы

### Как найти гипотенузу, зная два катета?

Возведи катеты в квадрат, сложи результаты и извлеки корень: c = корень из (a² + b²). Для катетов 9 и 12 это 81 + 144 = 225, и корень равен 15.


### Как найти катет, если известны гипотенуза и второй катет?

Вычти квадрат известного катета из квадрата гипотенузы и извлеки корень. Например, при гипотенузе 13 и катете 5 второй катет равен корню из 169 − 25 = 144, то есть 12.


### Что такое пифагоровы тройки?

Натуральные числа, для которых a² + b² = c²: например 3-4-5, 5-12-13, 8-15-17. Их кратные тоже подходят.


### Как проверить, прямоугольный ли треугольник по сторонам?

Подставь наибольшую сторону как гипотенузу в обратную теорему Пифагора: если квадрат наибольшей равен сумме квадратов двух других — угол прямой. Например, стороны 8, 15 и 17 дают 64 + 225 = 289 — треугольник прямоугольный.


## Проверь себя (вопросы и ответы)

#### Вопрос 1: Катеты равны 9 см и 12 см. Найди гипотенузу.
**Ответ:** 15

*Пояснение: 9² + 12² = 81 + 144 = 225, корень из 225 равен 15 см. Это тройка 3-4-5, умноженная на 3.*


#### Вопрос 2: Гипотенуза 13 см, катет 5 см. Найди второй катет.
- ✅ 12 см
- ☐ 8 см
- ☐ 18 см
- ☐ $\sqrt{194}$ см

*Пояснение: 13² − 5² = 169 − 25 = 144, корень равен 12 см.*


#### Вопрос 3: Если квадрат одной стороны равен сумме квадратов двух других, треугольник прямоугольный.
- ✅ Правда
- ☐ Неправда

*Пояснение: Это обратная теорема Пифагора — признак прямого угла по трём сторонам.*


#### Вопрос 4: Какие тройки чисел пифагоровы?
- ✅ 3, 4, 5
- ✅ 6, 8, 10
- ☐ 5, 6, 7
- ✅ 8, 15, 17

*Пояснение: 5² + 6² = 61, а 7² = 49 — тройка 5-6-7 не подходит. Остальные дают точное равенство.*


#### Вопрос 5: Лестница 10 м стоит в 6 м от стены. На какой высоте её верхний конец?
**Ответ:** 8

*Пояснение: 10² − 6² = 100 − 36 = 64, корень равен 8 м.*


#### Вопрос 6: Наибольшая сторона прямоугольного треугольника — это…
- ✅ гипотенуза
- ☐ любой из катетов
- ☐ основание
- ☐ биссектриса

*Пояснение: Гипотенуза лежит против наибольшего угла — прямого, поэтому и сторона наибольшая.*


#### Вопрос 7: Какие из этих троек подходят прямоугольному треугольнику?
- **Пифагорова тройка:** 3, 4, 5, 6, 8, 10, 9, 12, 15
- **Не пифагорова тройка:** 5, 6, 7

*Пояснение: Проверяем квадратами: 9 + 16 = 25, 36 + 64 = 100, 81 + 144 = 225 — сходятся. А 25 + 36 равно 61, а не 49.*


#### Вопрос 8: Вставь пропущенное.
Квадрат гипотенузы равен **сумме** квадратов катетов, а гипотенуза — самая **длинная** сторона прямоугольного треугольника

*Пояснение: Теорема Пифагора складывает квадраты катетов, и результат всегда больше любого слагаемого — поэтому гипотенуза длиннее.*


## Тренажёр

На [странице тренажёра](https://shkolniygid.ru/geometriya/8-klass/teorema-pifagora/trenazher/) — 4 типов задач с бесконечными вариантами чисел, проверкой ответа и разбором каждого шага.