# Системы счисления

> Учимся переводить числа в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную системы и обратно — двух приёмов хватит на любую контрольную.

**Информатика, 7 класс.** Урок бесплатного онлайн-самоучителя «ШкольныйГид». Обновлено: 2026-09-27.

Страница урока: https://shkolniygid.ru/informatika/7-klass/sistemy-schisleniya/

Когда ты задаёшь цвет в CSS, то пишешь что-то вроде #FF6600 — и получаешь оранжевый. Это не шифровка: FF6600 — число, записанное в **шестнадцатеричной системе счисления**. Мы привыкли к десятичной с её десятью цифрами, но компьютеру удобнее двоичная: каждая ячейка памяти либо включена (1), либо выключена (0). Систем счисления бесконечно много, и устроены они одинаково — меняется только количество цифр, то есть **основание**.


Программисты встречают разные системы каждый день: маска подсети 255.255.255.0 — четыре байта, права доступа — биты, собранные в байт, а мигающий светодиод на корпусе — буквально нули и единицы в действии. Свободно переводить числа туда и обратно нужно так же, как владеть таблицей умножения: без этого навыка не читается ни один низкоуровневый код и не решается половина задач ОГЭ.


### Перевод из десятичной системы и обратно


Главный приём — **деление с остатком**. Чтобы перевести 43 в двоичную, делишь его на 2, выписываешь остатки и читаешь их снизу вверх: получится 101011. Проверка: 32 + 8 + 2 + 1 = 43 — каждый разряд стоит за своей степенью двойки: 1, 2, 4, 8, 16, 32. Обратный перевод ещё проще: двоичное 1011 — это 8 + 2 + 1 = 11. Восьмеричная и шестнадцатеричная устроены так же, только делишь на 8 и на 16. Обычных цифр в шестнадцатеричной не хватает, поэтому после 9 идут буквы: A — 10, B — 11, C — 12, D — 13, E — 14, F — 15. Например, 255 записывается как FF, ведь 15·16 + 15 = 255, а сотня — это 64, потому что 6·16 + 4 = 100.


**Переводим 156 в двоичную систему**

1. Делим 156 на 2: частное 78, остаток 0 — $$156 = 2 * 78 + 0$$
2. Делим 78 на 2: частное 39, остаток 0 — $$78 = 2 * 39 + 0$$
3. Делим 39 на 2: частное 19, остаток 1 — $$39 = 2 * 19 + 1$$
4. Делим 19 на 2: частное 9, остаток 1 — $$19 = 2 * 9 + 1$$
5. Делим 9 на 2: частное 4, остаток 1; далее остатки 0 и 0, последнее частное 1 — $$4 = 2 * 2 + 0$$
6. Читаем остатки снизу вверх: 10011100 — $$128 + 16 + 8 + 4 = 156$$


Тот же алгоритм работает для любой системы — меняется только делитель. Переведём 156 в восьмеричную: 156 равно 8 · 19 плюс 4, потом 19 равно 8 · 2 плюс 3, и последнее частное 2. Читаем снизу вверх: 234. Проверка разложением: 2 · 64 + 3 · 8 + 4 = 128 + 24 + 4 = 156. Сходится — значит, перевод верный.


> **Ловушка.** Двоичное число легко прочитать как десятичное — и ошибиться: $10_2$ — это не десять, а два. Остатки при делении не теряй: первый остаток становится самой правой цифрой, поэтому запись идёт снизу вверх. И помни, что 11 в двоичной — это три, а не «одиннадцать».


### Зачем нужны восемь и шестнадцать


Двоичная — язык процессора: каждая цифра — состояние ячейки памяти. Но человеку длинную цепочку нулей читать тяжело, поэтому программисты сжимают запись в шестнадцатеричную: одна шестнадцатеричная цифра заменяет ровно четыре двоичные, потому что 16 — это двойка в четвёртой степени. Цвет #FF6600 — на самом деле число в шестнадцатеричной системе. Перевод из двоичной в неё идёт группами: 1111101 разбивают справа на четвёрки — 0111 и 1101, — каждую группу переводят отдельно и получают 7D. Никакого деления с остатком, просто группировка.


Примеры вокруг нас: права доступа в Linux записывают тремя восьмеричными цифрами, например 755. Каждая цифра — три двоичные: 7 — это 111, владелец может всё; 5 — это 101, группа может читать и запускать, но не изменять. Цвет в графическом редакторе — три байта, по одному на красную, зелёную и синюю составляющие; запись FF6600 читается так: FF (255 — красный), 66 (102 — зелёный), 00 (0 — синий). Одна короткая строка заменяет длинную цепочку из двадцати четырёх нулей и единиц.


| Система | Алфавит | Число 125 в ней | Где встречается |
| --- | --- | --- | --- |
| Десятичная | цифры 0–9 | 125 | в быту и в магазине |
| Двоичная | только 0 и 1 | 1111101 | внутри процессора |
| Восьмеричная | цифры 0–7 | 175 | права доступа в Linux |
| Шестнадцатеричная | 0–9 и буквы A–F | 7D | цвета и адреса памяти |


- Одна восьмеричная цифра заменяет три двоичные: восемь — двойка в третьей степени
- Одна шестнадцатеричная — четыре двоичные: шестнадцать — двойка в четвёртой
- Поэтому перевод из двоичной в восьмеричную и шестнадцатеричную — просто разбиение на группы цифр


### Степени двойки, которые стоит помнить


Все переводы держатся на степенях двойки, поэтому их полезно видеть перед глазами. Разряды растут справа налево: единицы, двойки, четвёрки, восьмёрки, шестнадцатеричные... Десятый разряд — 1024, и эта граница объясняет и килобайт, и адресное пространство старых процессоров.


| Степень | Значение | Двоичная запись |
| --- | --- | --- |
| 2 в первой | 2 | 10 |
| 2 во второй | 4 | 100 |
| 2 в четвёртой | 16 | 10000 |
| 2 в пятой | 32 | 100000 |
| 2 в восьмой | 256 | 100000000 |
| 2 в десятой | 1024 | 10000000000 |


Обрати внимание, как быстро растёт длина записи: каждая следующая степень вдвое больше предыдущей, поэтому даже число до тысячи занимает десять двоичных разрядов. Отсюда и байт: восемь бит дают 256 вариантов — как раз хватило на символы западных алфавитов, цифры и знаки препинания.


Кстати, десятичная система — не единственная, которой пользовались люди. Вавилоняне считали шестидесятками — оттуда 60 минут в часе и 360 градусов в круге. Двенадцатеричный счёт оставил в языке слова «дюжина» и «гросс» — 144 штуки. Десять цифр в нашей системе — просто память о десяти пальцах, а компьютеру удобнее всего двоичная: два надёжных состояния ячейки вместо десяти капризных.


### Двоичная арифметика: сложение столбиком


В двоичной системе можно считать прямо столбиком, только правила другие: 0 + 0 = 0, 0 + 1 = 1, а 1 + 1 = 10 — единица уходит в перенос, как при переходе через десяток в обычном счёте. Сложим 1011 (это 11) и 110 (это 6): получится 10001, а это 16 + 1 = 17. Проверка на десятичных числах сходится: 11 + 6 = 17. Вычитание и умножение тоже существуют, но на контрольных чаще спрашивают сложение и переводы, поэтому одного примера достаточно. Надёжный способ самопроверки: переведи оба слагаемых в десятичную систему, сложи там и переведи результат обратно — ответы обязаны совпасть.


### Как это выглядит на контрольной


Типовые задания: перевести число в другую систему, сравнить два числа в разных системах, найти сумму двоичных чисел. Для сравнения приводи всё к десятичной: 110 в двоичной — это 6, а 10 в восьмеричной — всего 8, поэтому 8 больше 6, хотя на глаз выглядит меньше. Второй класс заданий — про количество цифр: в системе с основанием 5 есть цифры от 0 до 4, всего пять, а число 5 в ней записывается как 10. Третье — задачи на обратный перевод: по записи и основанию восстановить исходное число. Везде работает один и тот же приём с разрядами и степенями.


### Обратный перевод: от записи к числу


Разбери задачу на обратный перевод: дано восьмеричное 127 — найди десятичную запись. Раскладываем по разрядам: 1 умножить на 64, 2 на 8 и 7 на единицу — в сумме 64 + 16 + 7 = 87. Обратный путь короче деления, поэтому на проверке быстрее идти от записи к числу. Ещё пример: шестнадцатеричное 2E — это 2 · 16 + 14 = 46, потому что E означает четырнадцать. Буквы в записи не пугают: они просто цифры, которым не хватило знаков. Потренируйся на датах: переведи свой год рождения в двоичную систему и проверь себя разложением — на живых числах приём запоминается быстрее всего.


**Основание** — Количество цифр системы: у двоичной — 2, у восьмеричной — 8, у шестнадцатеричной — 16
**Позиционная система** — Значение цифры зависит от позиции: 25 и 52 состоят из одних цифр, но равны разному
**Разряд** — Одна позиция записи; вес разряда — степень основания
**Триада** — Группа из трёх двоичных цифр, заменяющая одну восьмеричную
**Тетрада** — Группа из четырёх двоичных цифр, заменяющая одну шестнадцатеричную
**Остаток** — То, что не делится нацело; из остатков собирается новая запись числа


> **Совет.** Самая быстрая проверка перевода — обратный путь: собрал число делением с остатком — разложи его по степеням основания и сложи. Совпало — всё верно. И держи в голове таблицу степеней двойки хотя бы до 1024: она экономит больше времени, чем любой калькулятор, который на контрольной всё равно запрещён.


*[Интерактив: Найди пары — доступен на странице урока]*


*[Интерактив: Верно или нет? — доступен на странице урока]*


*[Интерактив: Вставь пропущенные слова — доступен на странице урока]*


## Частые вопросы

### Как перевести число в двоичную систему?

Делишь число на 2 и выписываешь остатки, потом читаешь их снизу вверх. Например, 43 даёт остатки 1, 1, 0, 1, 0, 1 — в обратном порядке получится 101011.


### Чему равно 1011 в двоичной системе в обычной записи?

Двоичное 1011 — это 8 + 2 + 1 = 11, потому что у каждого разряда своя степень двойки: 8, 4, 2, 1. Такой пересчёт называют развёрткой по разрядам.


### Зачем нужна шестнадцатеричная система?

Она коротко записывает байты: один байт — это ровно две шестнадцатеричные цифры. Поэтому в ней пишут цвета, адреса памяти и коды символов.


### Почему в компьютере именно двоичная система?

Технически проще всего различать два состояния ячейки: сигнал есть или сигнала нет. Десять устойчивых состояний одной ячейки обошлись бы слишком дорого, поэтому вся логика компьютеров построена на степенях двойки.


## Проверь себя (вопросы и ответы)

#### Вопрос 1: Чему равно двоичное число $101_2$ в десятичной системе?
**Ответ:** 5

*Пояснение: 1·4 + 0·2 + 1·1 = 5: каждый разряд умножаем на свою степень двойки.*


#### Вопрос 2: Как записать число 6 в двоичной системе?
- ✅ $110_2$
- ☐ $101_2$
- ☐ $100_2$
- ☐ $111_2$

*Пояснение: 6 = 4 + 2, поэтому 110. Проверка: 1·4 + 1·2 + 0·1 = 6.*


#### Вопрос 3: Какая цифра шестнадцатеричной системы означает число 13?
- ☐ B
- ☐ C
- ✅ D
- ☐ E

*Пояснение: После 9 идут буквы: A = 10, B = 11, C = 12, D = 13, E = 14, F = 15.*


#### Вопрос 4: Сколько цифр используется в восьмеричной системе?
**Ответ:** 8

*Пояснение: Восемь цифр: от 0 до 7. Цифр 8 и 9 в этой системе не существует.*


#### Вопрос 5: Чему равно шестнадцатеричное $FF_{16}$ в десятичной системе?
**Ответ:** 255

*Пояснение: F — это 15, значит 15·16 + 15 = 255. Это самое большое двузначное шестнадцатеричное число.*


#### Вопрос 6: Первый остаток при делении числа на 2 становится в двоичной записи...
- ☐ старшим разрядом
- ✅ младшим разрядом
- ☐ выкидывается
- ☐ основанием системы

*Пояснение: Остатки читают снизу вверх: первый остаток оказывается последней, самой правой цифрой — младшим разрядом.*


#### Вопрос 7: Угадай систему по её алфавиту.
- **Двоичная:** использует только 0 и 1, основание 2
- **Восьмеричная:** цифры от 0 до 7
- **Шестнадцатеричная:** вместе с цифрами используются буквы A–F

*Пояснение: Чем больше основание, тем богаче алфавит: у двоичной две цифры, у восьмеричной восемь, у шестнадцатеричной добавляются буквы.*


#### Вопрос 8: Вставь пропущенное.
Чтобы перевести число из десятичной системы в двоичную, его делят на **2** с остатком, а остатки записывают в **обратном** порядке

*Пояснение: Делим на 2, пока не получим ноль, а потом читаем остатки снизу вверх — от последнего к первому.*


## Тренажёр

На [странице тренажёра](https://shkolniygid.ru/informatika/7-klass/sistemy-schisleniya/trenazher/) — 3 типов задач с бесконечными вариантами чисел, проверкой ответа и разбором каждого шага.