---
title: "ШкольныйГид — Геометрия, 7–11 класс: уроки, тренажёры и разборы"
description: "Геометрия, 7–11 класс: 62 урока с тезисами и FAQ, 62 тренажёра, 65 разборов экзаменационных заданий, 10 калькуляторов, 10 гайдов, справочник формул и словарь терминов — всё по одному предмету в одном файле."
site: "https://shkolniygid.ru"
subject: "geometriya"
subject_name: "Геометрия"
grades: "7, 8, 9, 10, 11"
lessons: 62
trainers: 62
exam_tasks: 65
calculators: 10
guides: 10
terms: 219
language: "ru"
updated: "2026-11-03"
url: "https://shkolniygid.ru/llms/geometriya.txt"
---

# Геометрия — 7–11 класс: уроки, тренажёры и разборы

> Треугольники, окружности, площади и стереометрия — каждый чертёж можно покрутить и потрогать.

Site: https://shkolniygid.ru
Subject page: https://shkolniygid.ru/geometriya/
Grades: 7, 8, 9, 10, 11
Lessons: 62 | Trainers: 62 | Exam tasks: 65
Language: ru
Launched: 2026-10
Related files: https://shkolniygid.ru/llms.txt (карта сайта) · https://shkolniygid.ru/llms/all.txt (экзамены, гайды, калькуляторы) · https://shkolniygid.ru/llms-full.txt (полный дамп всех предметов)

## Что внутри

- **Уроки** — 62 темы: краткий тезис, ключевые формулы, FAQ и ссылка на тренажёр.
- **Тренажёры** — 62 тренажёра: URL урока + «/trenazher/» (бесконечные варианты задач, подсказки, разбор каждого шага).
- **Разборы экзаменов** — 65 типов заданий ЕГЭ и ОГЭ: пример, пошаговое решение, стратегия и типичные ошибки.
- **Калькуляторы** — 10 инструментов с объяснением шагов (список ниже).
- **Гайды** — 10 руководств «как решать» по темам предмета.
- **Справочник формул** — https://shkolniygid.ru/spravochnik/geometriya/ (формулы по классам, с ссылкой на урок, где формула выводится).
- **Словарь терминов** — https://shkolniygid.ru/slovar/geometriya/ (219 определений; список терминов — в конце файла).
- **Markdown-версии уроков** — адрес урока без завершающего «/» + «.md» (например https://shkolniygid.ru/geometriya/7-klass/….md) — отдельный текстовый файл на каждую тему.

## Уроки

### 7 класс

Уроков: 14. Страница класса: https://shkolniygid.ru/geometriya/7-klass/

#### Задачи на построение циркулем и линейкой

URL: https://shkolniygid.ru/geometriya/7-klass/postroeniya-cirkulem/
Тренажёр: https://shkolniygid.ru/geometriya/7-klass/postroeniya-cirkulem/trenazher/
Обновлено: 2026-09-27

Транспортира нет, линейки с делениями тоже: циркуль и кромка против середины отрезка, перпендикуляра и биссектрисы.

Вопросы и ответы:
- В: Как разделить отрезок пополам без линейки с делениями?
  О: Проведи из концов отрезка две окружности равного радиуса больше половины отрезка и соедини их точки пересечения: прямая пересечёт отрезок точно в середине. Радиус бери больше половины отрезка, иначе окружности не пересекутся.
- В: Какие инструменты разрешены в задачах на построение?
  О: Только циркуль и линейка без делений. Линейка проводит прямые, циркуль откладывает равные расстояния; измерять ими нельзя.
- В: Как построить угол 45 градусов циркулем?
  О: Построй прямой угол и раздели его биссектрисой: окружность из вершины и две равные засечки дают угол ровно 45°. Заодно получишь и биссектрису прямого угла — это то же самое построение.

#### Неравенство треугольника и соотношения сторон и углов

URL: https://shkolniygid.ru/geometriya/7-klass/neravenstvo-treugolnika/
Тренажёр: https://shkolniygid.ru/geometriya/7-klass/neravenstvo-treugolnika/trenazher/
Обновлено: 2026-09-27

Почему наискосок всегда короче ломаной: против большей стороны — больший угол, и ни одна сторона не дотянется до суммы двух других.

Вопросы и ответы:
- В: Какое наименьшее целое значение может принимать третья сторона треугольника?
  О: Больше разности двух известных сторон. Например, при сторонах 9 и 6 третья сторона больше 3, значит наименьшее целое — 4.
- В: Может ли треугольник иметь стороны 3, 4 и 8 см?
  О: Нет: 3 + 4 = 7 меньше 8, наибольшая сторона перевешивает сумму двух других — треугольник не существует. А вот со сторонами 3, 4 и 6 см — существует: 3 + 4 = 7 больше 6.
- В: Против какой стороны лежит наибольший угол треугольника?
  О: Против наибольшей стороны. Это правило работает в обе стороны: больший угол — большая сторона напротив него.

#### Построение треугольника по трём элементам. Расстояние от точки до прямой

URL: https://shkolniygid.ru/geometriya/7-klass/postroenie-treugolnika-po-trem-elementam/
Тренажёр: https://shkolniygid.ru/geometriya/7-klass/postroenie-treugolnika-po-trem-elementam/trenazher/
Обновлено: 2026-09-29

Три числа в чертеже козырька задают треугольник целиком: строим по трём сторонам, по двум сторонам и углу, по стороне и двум углам — и доказываем, что построили именно то, что задано.

Вопросы и ответы:
- В: Как построить треугольник по трём сторонам циркулем?
  О: Начерти отрезок, равный одной стороне, и из его концов проведи дуги радиусами двух других сторон. Точка пересечения дуг — третья вершина. Соедини её с концами основания.
- В: Почему по двум сторонам и углу не между ними иногда получается два треугольника?
  О: Такой угол не фиксирует взаимное положение сторон: луч под заданным углом можно провести в две стороны, и окружность радиуса второй стороны пересечёт его дважды. Признак равенства гарантирует однозначность только для угла между сторонами.
- В: Что такое расстояние от точки до прямой простыми словами?
  О: Это длина самого короткого пути от точки до прямой, то есть длина перпендикуляра. Любая наклонная длиннее, поэтому её длину расстоянием не называют.

#### Равнобедренный треугольник 7 класс: свойства

URL: https://shkolniygid.ru/geometriya/7-klass/ravnobedrennyj-treugolnik-7/
Тренажёр: https://shkolniygid.ru/geometriya/7-klass/ravnobedrennyj-treugolnik-7/trenazher/
Обновлено: 2026-09-29

Крыша, циркуль и флюгер: равнобедренный треугольник узнаём по двум равным сторонам, доказываем равенство углов при основании и решаем задачи на углы и периметр.

Вопросы и ответы:
- В: Как найти угол при основании равнобедренного треугольника, если известен угол при вершине?
  О: Вычти угол при вершине из 180° и раздели результат пополам. Например, при вершине 40° даёт углы при основании по 70°. Проверка проста: 70 + 70 + 40 = 180.
- В: Что такое боковая сторона и основание у равнобедренного треугольника?
  О: Боковые стороны — это пара равных сторон треугольника. Основание — третья сторона, которая парой не состоит. Роли задаёт условие задачи, а не длина стороны.
- В: Может ли основание равнобедренного треугольника быть длиннее боковых сторон?
  О: Может, но с ограничением: основание должно быть меньше суммы боковых сторон. Например, при боковых по 5 см основание может быть 6 или 8 см, но не 10.

#### Точка, прямая, отрезок, луч и угол

URL: https://shkolniygid.ru/geometriya/7-klass/nachalnaya-geometriya/
Тренажёр: https://shkolniygid.ru/geometriya/7-klass/nachalnaya-geometriya/trenazher/
Обновлено: 2026-09-27

Разбираемся, из каких «кирпичей» строится вся геометрия: точка, прямая, отрезок, луч и угол — и учимся обозначать и измерять их без ошибок.

Вопросы и ответы:
- В: Чем отрезок отличается от луча?
  О: У отрезка два конца и конечная длина, у луча — одно начало и бесконечное продолжение в одну сторону. На чертеже отрезок рисуют от точки до точки, а луч — от начала «насквозь».
- В: Как измерить угол транспортиром?
  О: Приложи центр транспортира к вершине угла, нулевую отметку — вдоль одной стороны, и посмотри, через какую отметку проходит вторая сторона. Если отметок две, выбирай по виду угла: острый меньше 90°, тупой больше.
- В: Почему через две точки нельзя провести две разные прямые?
  О: Так устроена геометрия: это аксиома. Через две различные точки проходит одна и только одна прямая.

#### Смежные и вертикальные углы

URL: https://shkolniygid.ru/geometriya/7-klass/smezhnye-vertikalnye/
Тренажёр: https://shkolniygid.ru/geometriya/7-klass/smezhnye-vertikalnye/trenazher/
Обновлено: 2026-09-27

Смежные углы в сумме дают 180°, вертикальные равны. Учимся находить любой угол при пересечении двух прямых, зная всего один.

Вопросы и ответы:
- В: Как найти смежный угол, если один равен 130 градусам?
  О: Смежные углы вместе образуют развёрнутый угол, поэтому вычитай: 180° − 130° = 50°. Ответ — 50°. Тот же приём работает с любым значением: знаешь один смежный угол — второй получается одним вычитанием.
- В: Чем вертикальные углы отличаются от смежных?
  О: Смежные углы имеют общую сторону и в сумме дают 180°. Вертикальные углы построены на продолжениях сторон друг друга, не касаются и всегда равны. Запомни так: смежные — соседи, вертикальные — отражения через точку.
- В: Могут ли оба смежных угла быть острыми?
  О: Нет. Острые углы меньше 90°, значит их сумма меньше 180°. Один смежный угол всегда острый, второй — тупой, либо оба прямые.

#### Первый признак равенства треугольников

URL: https://shkolniygid.ru/geometriya/7-klass/pervyj-priznak/
Тренажёр: https://shkolniygid.ru/geometriya/7-klass/pervyj-priznak/trenazher/
Обновлено: 2026-11-06

Две равные стороны и равный угол между ними гарантируют равные треугольники. Разбираем, как правильно оформить доказательство.

Вопросы и ответы:
- В: Как доказать, что треугольники равны по двум сторонам и углу?
  О: Покажи, что равны обе пары сторон и что равные углы лежат именно между этими сторонами. Тогда сработает первый признак равенства.
- В: Почему угол обязательно должен быть между сторонами?
  О: Без этого условия по тем же трём элементам можно построить два разных треугольника — признак перестаёт быть признаком. Проведи опыт: отложи угол и две стороны и посмотри, где ещё может закончиться третья.
- В: Чем равенство треугольников отличается от подобия?
  О: У равных треугольников совпадают все элементы и размеры, у подобных — только углы, а стороны пропорциональны. Равные треугольники — частный случай подобных с коэффициентом 1.

#### Равнобедренный треугольник: медианы, биссектрисы и высоты

URL: https://shkolniygid.ru/geometriya/7-klass/mediana-bissektrisa/
Тренажёр: https://shkolniygid.ru/geometriya/7-klass/mediana-bissektrisa/trenazher/
Обновлено: 2026-09-27

Три важных отрезка треугольника — медиана, биссектриса и высота — и волшебное свойство равнобедренного треугольника, где они совпадают.

Вопросы и ответы:
- В: Чем медиана отличается от биссектрисы в треугольнике?
  О: Медиана делит пополам сторону, биссектриса — угол. В равнобедренном треугольнике к основанию они совпадают.
- В: Когда биссектриса является медианой и высотой?
  О: В равнобедренном треугольнике — если она проведена из вершины к основанию. Для других сторон это не работает.
- В: Может ли высота лежать вне треугольника?
  О: Да, может. В тупоугольном треугольнике высоты из острых вершин падают на продолжения противоположных сторон.

#### Второй и третий признаки равенства треугольников

URL: https://shkolniygid.ru/geometriya/7-klass/vtoroj-tretij-priznak/
Тренажёр: https://shkolniygid.ru/geometriya/7-klass/vtoroj-tretij-priznak/trenazher/
Обновлено: 2026-09-27

Два оставшихся признака равенства: по стороне с двумя прилежащими углами и по трём сторонам — и объяснение, почему треугольники такие жёсткие.

Вопросы и ответы:
- В: Чем второй признак отличается от первого?
  О: Первый признак использует две стороны и угол между ними, второй — одну сторону и два прилежащих к ней угла. Запомни зеркальную картинку: там угол зажат сторонами, здесь сторона зажата углами.
- В: Почему треугольник считается жёсткой фигурой?
  О: По трём сторонам треугольник строится единственным образом: изменить его форму, не меняя длин сторон, невозможно. Именно поэтому каркасы мостов и ворот укрепляют треугольниками и диагоналями.
- В: Можно ли доказать равенство треугольников по трём углам?
  О: Нет, по трём углам треугольники лишь подобны: равные углы сохраняют форму, но не размер. Для равенства нужна хотя бы одна пара равных соответствующих сторон.

#### Параллельные прямые. Углы при секущей

URL: https://shkolniygid.ru/geometriya/7-klass/parallelnye-pryamye/
Тренажёр: https://shkolniygid.ru/geometriya/7-klass/parallelnye-pryamye/trenazher/
Обновлено: 2026-09-27

Рельсы никогда не встретятся, а секущая позволяет по одному углу вычислить все остальные. Признаки параллельности и углы при секущей.

Вопросы и ответы:
- В: Как доказать, что прямые параллельны?
  О: Проведи секущую и проверь любую из трёх пар углов. Равные накрест лежащие или равные соответственные углы дают параллельность, как и односторонние углы с суммой 180°. Достаточно одного выполненного признака.
- В: Чему равна сумма односторонних углов при параллельных прямых?
  О: 180°. Равными односторонние углы бывают только когда оба прямые.
- В: Чем признак параллельности отличается от свойства?
  О: Признак устанавливает параллельность по углам, свойство выводит углы из уже известной параллельности. Первый отвечает на вопрос «параллельны ли прямые», второй — «чему равны углы». Направление рассуждения у них противоположное.

#### Сумма углов треугольника. Внешний угол

URL: https://shkolniygid.ru/geometriya/7-klass/summa-uglov/
Тренажёр: https://shkolniygid.ru/geometriya/7-klass/summa-uglov/trenazher/
Обновлено: 2026-09-27

В любом треугольнике три угла дают 180° — от расчерченного на бумаге до крыши дома. Внешний угол оказывается даже полезнее внутреннего.

Вопросы и ответы:
- В: Как найти третий угол треугольника, если известны два?
  О: Сложи два известных угла и вычти результат из 180°. Например, при углах 30° и 70° третий угол равен 80°. Приём универсален: сумма углов любого треугольника равна 180°.
- В: Чему равен внешний угол треугольника?
  О: Сумме двух внутренних углов, не смежных с ним. Например, при углах 40° и 60° внешний у третьей вершины равен 100°.
- В: Может ли у треугольника быть два тупых угла?
  О: Нет. Два угла больше 90° в сумме уже дают больше 180°, а на третий угол ничего не остаётся.

#### Прямоугольные треугольники: свойства и признаки

URL: https://shkolniygid.ru/geometriya/7-klass/pryamougolnye-treug/
Тренажёр: https://shkolniygid.ru/geometriya/7-klass/pryamougolnye-treug/trenazher/
Обновлено: 2026-09-27

Прямой угол упрощает всё: острые углы дают 90°, катет против 30° — половина гипотенузы, а признаков равенства становится четыре.

Вопросы и ответы:
- В: Как найти катет, лежащий против угла 30 градусов?
  О: Он равен половине гипотенузы. Например, при гипотенузе 14 см такой катет равен 7 см.
- В: Какие признаки равенства есть у прямоугольных треугольников?
  О: По двум катетам, по катету и прилежащему острому углу, по гипотенузе и острому углу, по гипотенузе и катету — всего четыре. Прямой угол в них равен автоматически, поэтому достаточно меньшего набора элементов.
- В: Чему равна сумма острых углов прямоугольного треугольника?
  О: 90°, потому что третий угол прямой и занимает половину от 180°. Зная один острый угол, второй находи вычитанием из 90°.

#### Неравенство треугольника. Соотношения между сторонами и углами

URL: https://shkolniygid.ru/geometriya/7-klass/neravenstvo-treugolnika-7/
Тренажёр: https://shkolniygid.ru/geometriya/7-klass/neravenstvo-treugolnika-7/trenazher/
Обновлено: 2026-09-27

Проверь, сложится ли треугольник из трёх отрезков, и научись без единого измерения находить самую длинную сторону и самый большой угол: теоремы о соотношениях плюс неравенство треугольника.

Вопросы и ответы:
- В: Как проверить, существует ли треугольник по трём сторонам?
  О: Найди наибольший отрезок и сравни его с суммой двух оставшихся. Если наибольший строго меньше суммы — треугольник существует, если равен или больше — нет. Остальные пары проверять не нужно: для них неравенство выполнится само.
- В: Почему гипотенуза больше катета?
  О: Два угла прямоугольного треугольника острые и в сумме дают 90°, поэтому прямой угол — наибольший. По теореме о соотношениях против большего угла лежит большая сторона, значит гипотенуза длиннее любого катета.
- В: Может ли сторона треугольника равняться сумме двух других?
  О: Нет. Тогда две стороны лягут вдоль третьей в одну линию, и вместо треугольника получится отрезок. Поэтому неравенство треугольника строгое: каждая сторона строго меньше суммы двух других.

#### Расстояние от точки до прямой. Перпендикуляр и наклонная

URL: https://shkolniygid.ru/geometriya/7-klass/rasstoyanie-ot-tochki-do-pryamoj-7/
Тренажёр: https://shkolniygid.ru/geometriya/7-klass/rasstoyanie-ot-tochki-do-pryamoj-7/trenazher/
Обновлено: 2026-09-29

Кратчайший путь от колодца до дороги — перпендикуляр: сравним перпендикуляр и наклонные, выведем расстояние между параллельными прямыми и построим перпендикуляр одним циркулем.

Вопросы и ответы:
- В: Почему перпендикуляр называют кратчайшим расстоянием от точки до прямой?
  О: Любой другой отрезок из точки к прямой — это наклонная, а в прямоугольном треугольнике катет короче гипотенузы. Поэтому перпендикуляр короче любой наклонной из той же точки, и его длина и берётся за расстояние.
- В: Что называется расстоянием между параллельными прямыми?
  О: Расстояние от любой точки одной из параллельных прямых до другой прямой. Какую точку ни возьми, получится одно и то же число: все точки параллельной прямой равноудалены.
- В: Как построить перпендикуляр к прямой циркулем?
  О: Из точки вне прямой проведи дугу, пересекающую прямую в двух точках, затем из этих точек тем же раствором — две дуги навстречу. Прямая через исходную точку и точку встречи дуг — искомый перпендикуляр.

### 8 класс

Уроков: 14. Страница класса: https://shkolniygid.ru/geometriya/8-klass/

#### Синус, косинус и тангенс острого угла

URL: https://shkolniygid.ru/geometriya/8-klass/sinus-kosinus-tangens/
Тренажёр: https://shkolniygid.ru/geometriya/8-klass/sinus-kosinus-tangens/trenazher/
Обновлено: 2026-09-27

Лестница под углом 60° и таблица из шести чисел: синус, косинус и тангенс переводят угол в отношения сторон.

Вопросы и ответы:
- В: Как найти катет, если известны гипотенуза и синус угла?
  О: Противолежащий катет равен гипотенузе, умноженной на синус угла: при гипотенузе 10 и sin 30° это 10 · 0,5 = 5. Для прилежащего к углу катета умножай на косинус.
- В: Чему равен косинус 60 градусов?
  О: 0,5. Косинус 60° равен синусу 30°, потому что эти углы дополняют друг друга до 90°.
- В: Как не перепутать прилежащий и противолежащий катет?
  О: Поставь палец на выбранный угол: катет, которого касается палец, — прилежащий, катет напротив — противолежащий. И всегда указывай, про какой угол речь.

#### Вписанная и описанная окружности. Замечательные точки

URL: https://shkolniygid.ru/geometriya/8-klass/vpisannye-opisannye-okruzhnosti/
Тренажёр: https://shkolniygid.ru/geometriya/8-klass/vpisannye-opisannye-okruzhnosti/trenazher/
Обновлено: 2026-09-29

Круг в треугольнике и треугольник в круге: биссектрисы, серединные перпендикуляры и четыре знаменитые точки.

Вопросы и ответы:
- В: Как найти радиус описанной окружности прямоугольного треугольника?
  О: Раздели гипотенузу пополам: центр лежит в её середине. Для гипотенузы 26 см радиус равен 13 см.
- В: В каком отношении центроид делит медиану?
  О: В отношении 2 : 1 от вершины: отрезок от вершины вдвое длиннее отрезка до середины стороны. Например, в медиане 15 см от вершины до центроида — 10 см, остаток — 5 см.
- В: Где находится центр описанной окружности у тупоугольного треугольника?
  О: Вне треугольника, за наибольшей стороной. У прямоугольного он на гипотенузе, у остроугольного — внутри.

#### Синус, косинус, тангенс острого угла прямоугольного треугольника

URL: https://shkolniygid.ru/geometriya/8-klass/sinus-kosinus-tangens-8/
Тренажёр: https://shkolniygid.ru/geometriya/8-klass/sinus-kosinus-tangens-8/trenazher/
Обновлено: 2026-09-29

Трос у столба, тень от флагштока, пандус у школы: синус, косинус и тангенс переводят угол в отношение сторон и позволяют вычислить треугольник целиком.

Вопросы и ответы:
- В: Как найти катет, если известен угол и второй катет?
  О: Умножь известный катет на тангенс противолежащего ему угла или раздели на тангенс прилежащего. Тангенс связывает катеты между собой без гипотенузы.
- В: Чему равен тангенс 30 градусов?
  О: Примерно 0,58 — это единица, делённая на корень из трёх. Точное значение записывают дробью с корнем, а в расчётах берут округление до сотых.
- В: Почему синус не бывает больше единицы?
  О: Синус — отношение катета к гипотенузе, а катет всегда короче гипотенузы. Значение ровно 1 достигается лишь на границе, у угла 90°, когда катет дорастает до гипотенузы.

#### Средняя линия треугольника. Применение подобия

URL: https://shkolniygid.ru/geometriya/8-klass/srednyaya-liniya-treugolnika/
Тренажёр: https://shkolniygid.ru/geometriya/8-klass/srednyaya-liniya-treugolnika/trenazher/
Обновлено: 2026-09-29

Отрезки между серединами сторон вдвое короче параллельных им сторон: теорема о средней линии, средняя линия трапеции и задачи ОГЭ на подобие.

Вопросы и ответы:
- В: Чем средняя линия отличается от медианы?
  О: Медиана выходит из вершины и приходит в середину противоположной стороны. Средняя линия соединяет середины двух сторон и параллельна третьей — вершин она не касается.
- В: Чему равна средняя линия трапеции?
  О: Полусумме оснований. Например, при основаниях 12 см и 8 см средняя линия равна 10 см, какие бы ни были боковые стороны.
- В: Как найти сторону треугольника, если известна средняя линия?
  О: Умножь длину средней линии на два: сторона вдвое длиннее параллельной ей средней линии. Средняя линия 6 см даёт сторону 12 см.

#### Касательная к окружности 8 класс: свойства

URL: https://shkolniygid.ru/geometriya/8-klass/kasatelnaya-k-okruzhnosti-8/
Тренажёр: https://shkolniygid.ru/geometriya/8-klass/kasatelnaya-k-okruzhnosti-8/trenazher/
Обновлено: 2026-09-29

Колесо, гайка и кольцо на пальце: касательная прижимается к окружности в одной точке, а два её свойства — перпендикуляр к радиусу и равные отрезки — решают половину задач.

Вопросы и ответы:
- В: Как построить касательную к окружности из точки вне её?
  О: Соедини точку с центром и построй окружность с этим отрезком как диаметром. Точки, где она пересечёт данную окружность, дадут две касательные: проведи прямые через них и внешнюю точку.
- В: Почему касательная перпендикулярна радиусу в точке касания?
  О: Расстояние от центра до касательной равно радиусу, а кратчайший отрезок от точки до прямой — перпендикуляр. Радиус и есть этот кратчайший отрезок, поэтому он перпендикулярен.
- В: Сколько касательных можно провести из одной точки к окружности?
  О: Из внешней точки — ровно две, из точки на окружности — одну, из точки внутри — ни одной. Отрезки двух внешних касательных от одной точки равны между собой.

#### Теорема Фалеса 8 класс: формулировка и задачи

URL: https://shkolniygid.ru/geometriya/8-klass/teorema-falesa-8/
Тренажёр: https://shkolniygid.ru/geometriya/8-klass/teorema-falesa-8/trenazher/
Обновлено: 2026-09-29

Ровные пролёты забора и деления шкалы: параллельные прямые переносят равные отрезки с одной секущей на другую, а циркуль с линейкой делят отрезок на сколько угодно равных частей.

Вопросы и ответы:
- В: Как разделить отрезок на пять равных частей циркулем и линейкой?
  О: Проведи из конца отрезка вспомогательный луч и отложи на нём циркулем пять равных засечек. Последнюю засечку соедини с другим концом отрезка, а через остальные отметки проведи параллельные прямые — они и разрежут отрезок на пять равных частей.
- В: Чем обобщённая теорема Фалеса отличается от обычной?
  О: Обычная теорема требует равных отрезков на первой секущей и обещает равные на второй. Обобщённая работает с любыми отрезками: на второй секущей сохраняется то же отношение, то есть пропорция.
- В: Почему для деления отрезка на n частей нужна только n − 1 параллельная прямая?
  О: Крайние границы частей — это сами концы отрезка, их чертить не нужно. Внутри остаётся ровно n − 1 прямая, каждая добавляет по одной новой части.

#### Центральные и вписанные углы 8 класс: задачи

URL: https://shkolniygid.ru/geometriya/8-klass/centralnye-i-vpisannye-ugly/
Тренажёр: https://shkolniygid.ru/geometriya/8-klass/centralnye-i-vpisannye-ugly/trenazher/
Обновлено: 2026-09-29

Стрелки часов и колесо обозрения: центральный угол меряет дугу целиком, вписанный — половину, и от этого правила зависят все задачи про углы на окружности.

Вопросы и ответы:
- В: Как найти вписанный угол, если известен центральный угол на ту же дугу?
  О: Раздели центральный угол пополам. Центральный угол равен дуге, а вписанный — половине дуги, поэтому он вдвое меньше центрального. Например, при центральном 120° вписанный равен 60°.
- В: Почему вписанный угол на диаметре равен 90 градусов?
  О: Диаметр делит окружность на полуокружность в 180°. Вписанный угол равен половине дуги, на которую опирается, а половина от 180° — это 90°.
- В: Что такое дуга окружности и как её измеряют?
  О: Дуга — часть окружности между двумя точками. Её меряют в градусах: вся окружность составляет 360°, полуокружность — 180°.

#### Параллелограмм и трапеция

URL: https://shkolniygid.ru/geometriya/8-klass/chetyrehugolniki/
Тренажёр: https://shkolniygid.ru/geometriya/8-klass/chetyrehugolniki/trenazher/
Обновлено: 2026-09-27

Шарнирный параллелограмм поднимает ворота гаража, трапеция держит крышу. Свойства четырёхугольников и их средние линии — по шагам.

Вопросы и ответы:
- В: Как доказать, что четырёхугольник — параллелограмм?
  О: Найди и обоснуй один из трёх признаков: две стороны равны и параллельны, противоположные стороны попарно равны или диагонали делятся точкой пересечения пополам. Выбирай признак, который дешевле проверить по данным задачи. Если даны диагонали, короткая дорога — доказать деление пополам через равенство треугольников.
- В: Чему равна средняя линия трапеции?
  О: Полусумме оснований: сложи длины оснований и раздели пополам. Она параллельна основаниям и соединяет середины боковых сторон. Если даны средняя линия и одно основание, второе находишь в одно действие: удвой среднюю линию и вычти известное основание.
- В: Чем трапеция отличается от параллелограмма?
  О: У трапеции параллельны только два основания, у параллелограмма — обе пары противоположных сторон. Поэтому у трапеции нет равенства противоположных сторон и деления диагоналей пополам. Зато равнобедренная трапеция получает свои бонусы: равные боковые стороны, равные углы при основании и равные диагонали.

#### Прямоугольник, ромб и квадрат

URL: https://shkolniygid.ru/geometriya/8-klass/romb-i-kvadrat/
Тренажёр: https://shkolniygid.ru/geometriya/8-klass/romb-i-kvadrat/trenazher/
Обновлено: 2026-11-04

Три родные фигуры параллелограмма: прямоугольник с равными диагоналями, ромб с перпендикулярными и квадрат, объединивший всё.

Вопросы и ответы:
- В: Чем ромб отличается от квадрата?
  О: У ромба все стороны равны, но углы могут быть любыми; у квадрата равны и стороны, и углы — все по 90°. Поэтому квадрат — частный случай ромба: у него всё то же самое плюс прямые углы. Диагонали тоже различаются: у ромба перпендикулярны, у квадрата ещё и равны.
- В: Какая фигура имеет равные и перпендикулярные диагонали?
  О: Квадрат. Прямоугольнику хватает равенства диагоналей, ромбу — перпендикулярности, а квадрат объединяет оба условия. Если в задаче есть оба признака сразу, дальше фигуру можно не проверять.
- В: Почему диагональ ромба делит угол пополам?
  О: Треугольники, на которые диагональ режет ромб, равны по трём сторонам: соседние стороны ромба равны, диагональ общая. В равных треугольниках равные углы лежат против равных сторон, поэтому части угла при диагонали равны. Это же рассуждение работает для второй диагонали.

#### Площади: прямоугольник, треугольник, параллелограмм, трапеция

URL: https://shkolniygid.ru/geometriya/8-klass/ploshadi-figur/
Тренажёр: https://shkolniygid.ru/geometriya/8-klass/ploshadi-figur/trenazher/
Обновлено: 2026-09-27

Сколько краски уйдёт на стену с фронтоном? Четыре формулы площадей и умение видеть в сложной фигуре набор простых.

Вопросы и ответы:
- В: Как найти площадь трапеции, если известны основания и высота?
  О: Сложи основания, раздели на два и умножь на высоту: S = (a + b) : 2 · h. Например, при основаниях 10 см и 6 см и высоте 4 см получится (10 + 6) : 2 · 4 = 32 см².
- В: Почему у треугольника в формуле площади половина?
  О: Треугольник занимает ровно половину параллелограмма с тем же основанием и высотой. Достроив треугольник до параллелограмма его копией, увидишь две одинаковые половины.
- В: Что такое равновеликие фигуры?
  О: Фигуры с одинаковой площадью. Они могут иметь совершенно разную форму — например, два разных прямоугольника по 12 м².

#### Теорема Пифагора

URL: https://shkolniygid.ru/geometriya/8-klass/teorema-pifagora/
Тренажёр: https://shkolniygid.ru/geometriya/8-klass/teorema-pifagora/trenazher/
Обновлено: 2026-09-27

Квадраты на сторонах прямоугольного треугольника: формула Пифагора, обратная теорема и тройки чисел, которые стоит запомнить.

Вопросы и ответы:
- В: Как найти гипотенузу, зная два катета?
  О: Возведи катеты в квадрат, сложи результаты и извлеки корень: c = корень из (a² + b²). Для катетов 9 и 12 это 81 + 144 = 225, и корень равен 15.
- В: Как найти катет, если известны гипотенуза и второй катет?
  О: Вычти квадрат известного катета из квадрата гипотенузы и извлеки корень. Например, при гипотенузе 13 и катете 5 второй катет равен корню из 169 − 25 = 144, то есть 12.
- В: Что такое пифагоровы тройки?
  О: Натуральные числа, для которых a² + b² = c²: например 3-4-5, 5-12-13, 8-15-17. Их кратные тоже подходят.

#### Подобные треугольники

URL: https://shkolniygid.ru/geometriya/8-klass/podobnye-treugolniki/
Тренажёр: https://shkolniygid.ru/geometriya/8-klass/podobnye-treugolniki/trenazher/
Обновлено: 2026-09-27

Дерево на карте и на местности различаются во много раз, но форма та же. Подобие и коэффициент k — математика масштаба.

Вопросы и ответы:
- В: Как измерить высоту дерева по тени?
  О: Измерь тень дерева и тень палки известной длины, составь пропорцию: высота дерева относится к высоте палки как тень дерева к тени палки. Например, палка 1,5 м с тенью 2 м и дерево с тенью 12 м дают высоту дерева 9 м.
- В: Чему равно отношение площадей подобных треугольников?
  О: Квадрату коэффициента подобия. При k = 5 площадь больше в 25 раз.
- В: Чем подобие отличается от равенства?
  О: У равных треугольников совпадают все стороны и углы, у подобных — только углы, а стороны отличаются в k раз. Равенство — частный случай подобия при коэффициенте 1.

#### Окружность: касательная, хорды и вписанные углы

URL: https://shkolniygid.ru/geometriya/8-klass/okruzhnost/
Тренажёр: https://shkolniygid.ru/geometriya/8-klass/okruzhnost/trenazher/
Обновлено: 2026-09-27

Колесо, торцевой ключ и циферблат: касательная, хорда и вписанный угол — три инструмента для работы с окружностью.

Вопросы и ответы:
- В: Чему равен вписанный угол, опирающийся на диаметр?
  О: 90°: диаметр стягивает дугу в 180°, а вписанный угол равен её половине. Поэтому любой треугольник, вписанный в окружность со стороной-диаметром, прямоугольный. Это следствие часто решает задачу за один шаг.
- В: Чем хорда отличается от диаметра?
  О: Диаметр — особая хорда, которая проходит через центр и потому самая большая: хорда меньше суммы двух радиусов, то есть диаметра. Обычная хорда центр может не задевать. Все диаметры одной окружности равны между собой.
- В: Почему касательная перпендикулярна радиусу?
  О: Любая точка касательной, кроме точки касания, лежит вне окружности, и расстояние от неё до центра больше радиуса. Значит, точка касания — ближайшая к центру точка прямой, а кратчайшее расстояние достигается перпендикуляром. Радиус в точку касания и есть этот перпендикуляр.

#### Замечательные точки треугольника. Вписанная и описанная окружности

URL: https://shkolniygid.ru/geometriya/8-klass/zamechatelnye-tochki-8/
Тренажёр: https://shkolniygid.ru/geometriya/8-klass/zamechatelnye-tochki-8/trenazher/
Обновлено: 2026-09-27

Колодец, равноудалённый от трёх домов, и круглый фонтан в треугольной клумбе: биссектрисы, медианы, высоты и серединные перпендикуляры сходятся в четырёх замечательных точках — построим каждую.

Вопросы и ответы:
- В: Чем вписанная окружность отличается от описанной?
  О: Вписанная лежит внутри треугольника и касается всех трёх сторон; её центр — точка пересечения биссектрис. Описанная проходит через все три вершины; её центр — точка пересечения серединных перпендикуляров.
- В: Где центр описанной окружности у прямоугольного треугольника?
  О: В середине гипотенузы. Прямой угол опирается на диаметр, поэтому гипотенуза и есть диаметр описанной окружности. Это самый быстрый способ: центр и радиус находятся одной линейкой, без перпендикуляров.
- В: Почему медианы делятся в отношении 2 к 1?
  О: Это доказывается через подобие треугольников, которые отсекают медианы друг от друга. От вершины до точки пересечения идут две трети медианы, дальше — одна треть. Проверь на построении с медианой 9 см: получатся отрезки 6 и 3 см.

### 9 класс

Уроков: 12. Страница класса: https://shkolniygid.ru/geometriya/9-klass/

#### Длина окружности и площадь круга

URL: https://shkolniygid.ru/geometriya/9-klass/dliny-okruzhnosti/
Тренажёр: https://shkolniygid.ru/geometriya/9-klass/dliny-okruzhnosti/trenazher/
Обновлено: 2026-09-27

Колесо, циферблат и кусок пиццы: как связаны длина окружности и площадь круга, зачем дуге градусная мера и где путают 2πr с πr².

Вопросы и ответы:
- В: Как найти площадь круга в 9 классе?
  О: Возведи радиус в квадрат и умножай на π: для радиуса 4 см это 3,14 · 16 = 50,24 см². Если дан диаметр, сначала раздели его пополам.
- В: Как найти длину дуги окружности, если известен угол?
  О: Умножь длину окружности 2πr на долю угла: l = πrα/180, где α — градусная мера дуги. Например, для радиуса 6 см и дуги 60°: вся окружность 37,68 см, а её шестая часть — 6,28 см.
- В: Чем отличается круг от окружности?
  О: Окружность — граница, кривая линия; круг — всё внутри неё. Длину считают у окружности, площадь — у круга.

#### Правильные многоугольники

URL: https://shkolniygid.ru/geometriya/9-klass/pravilnye-mnogougolniki/
Тренажёр: https://shkolniygid.ru/geometriya/9-klass/pravilnye-mnogougolniki/trenazher/
Обновлено: 2026-09-27

Почему соты шестиугольные и паркет обходится без пятиугольников: углы правильного многоугольника, вписанная и описанная окружности, сторона и площадь.

Вопросы и ответы:
- В: Как найти угол правильного многоугольника?
  О: По формуле (n − 2) · 180° : n. Например, для шестиугольника: 720° : 6 = 120°.
- В: Чем вписанная окружность отличается от описанной?
  О: Вписанная касается всех сторон изнутри, описанная проходит через все вершины. У правильного многоугольника у них общий центр.
- В: Почему правильными пятиугольниками нельзя выложить паркет?
  О: Угол пятиугольника равен 108°, и никакое число таких углов не даёт ровно 360° вокруг точки — остаются щели. Три угла дают 324°, четыре — уже 432°: мимо и с недостатком, и с избытком.

#### Движения и преобразования

URL: https://shkolniygid.ru/geometriya/9-klass/geometricheskie-preobrazovaniya/
Тренажёр: https://shkolniygid.ru/geometriya/9-klass/geometricheskie-preobrazovaniya/trenazher/
Обновлено: 2026-09-27

Как из одной фигуры собирается орнамент: осевая и центральная симметрия, параллельный перенос и поворот — четыре движения, сохраняющие расстояния.

Вопросы и ответы:
- В: Как построить точку, симметричную данной относительно прямой?
  О: Проведи через точку перпендикуляр к прямой и отложи за ней отрезок той же длины — получится зеркальная пара. В координатах это ещё проще: при симметрии относительно оси Ox меняет знак только ордината.
- В: Как найти координаты точки при параллельном переносе?
  О: Прибавь к координатам точки координаты вектора переноса: получится (x + a; y + b). Например, точка (3; 5) при переносе на вектор (−2; 4) перейдёт в (1; 9).
- В: Какой поворот называют центральной симметрией?
  О: Поворот на 180° вокруг центра: каждая точка переходит в диаметрально противоположную относительно центра. В координатах с центром в начале это правило «обе координаты меняют знак»: (3; 5) → (−3; −5).

#### Начальные сведения из стереометрии

URL: https://shkolniygid.ru/geometriya/9-klass/nachalnaya-stereometriya/
Тренажёр: https://shkolniygid.ru/geometriya/9-klass/nachalnaya-stereometriya/trenazher/
Обновлено: 2026-09-29

Коробка, аквариум и банка: из плоской планиметрии переходим в объёмное пространство — многогранники, тела вращения, развёртки и формула Эйлера.

Вопросы и ответы:
- В: Чем шар отличается от круга?
  О: Круг — плоская фигура: все его точки лежат в одной плоскости. Шар — объёмное тело, а его поверхность называют сферой.
- В: Сколько граней, рёбер и вершин у куба?
  О: Шесть граней, двенадцать рёбер и восемь вершин. Проверь формулой Эйлера: восемь минус двенадцать плюс шесть равно двум.
- В: Что такое развёртка?
  О: Это плоская фигура, которая складывается в объёмное тело без разрезов и наложений. Разрежь коробку по рёбрам и распластань — получишь её развёртку.

#### Решение треугольников 9 класс: синусы и косинусы

URL: https://shkolniygid.ru/geometriya/9-klass/reshenie-treugolnikov-9/
Тренажёр: https://shkolniygid.ru/geometriya/9-klass/reshenie-treugolnikov-9/trenazher/
Обновлено: 2026-09-29

Три программы решения треугольника: по двум сторонам и углу между ними, по стороне и двум углам, по трём сторонам — и правило выбора между теоремами синусов и косинусов.

Вопросы и ответы:
- В: Как решать треугольник по трём сторонам?
  О: Вырази косинус одного угла из теоремы косинусов и найди этот угол, затем так же второй угол. Последний угол добери через сумму углов треугольника.
- В: Какую теорему выбрать: синусов или косинусов?
  О: Косинусов — когда есть угол между двумя сторонами или все три стороны. Синусов — когда известна пара «сторона и её противолежащий угол».
- В: Как найти угол треугольника, если известны все стороны?
  О: По перевёрнутой теореме косинусов: косинус угла равен разности суммы квадратов двух сторон и квадрата третьей, делённой на удвоенное произведение двух сторон. Найдя так два угла, третий добирают через сумму углов треугольника.

#### Векторы на плоскости. Метод координат

URL: https://shkolniygid.ru/geometriya/9-klass/vektory-i-koordinaty/
Тренажёр: https://shkolniygid.ru/geometriya/9-klass/vektory-i-koordinaty/trenazher/
Обновлено: 2026-09-29

Лодка против течения, ветер и курс самолёта: векторы складываются по правилу треугольника, а длина вектора считается как гипотенуза.

Вопросы и ответы:
- В: Как найти длину вектора по его координатам?
  О: Возведи обе координаты в квадрат, сложи и извлеки корень: для (3; 4) это 5. Для координат (6; 8) получится корень из 36 + 64 = 10.
- В: Как найти расстояние между точками на координатной плоскости?
  О: Это длина вектора смещения: корень из суммы квадратов разностей координат. Вычти координаты начала из координат конца, возведи разности в квадрат и сложи.
- В: Что означает нулевое скалярное произведение?
  О: Векторы перпендикулярны. Это самая быстрая проверка прямого угла в задачах с координатами.

#### Теоремы синусов и косинусов. Правильные многоугольники и круг

URL: https://shkolniygid.ru/geometriya/9-klass/sinusy-kosinusy/
Тренажёр: https://shkolniygid.ru/geometriya/9-klass/sinusy-kosinusy/trenazher/
Обновлено: 2026-09-27

Измеряем недостижимое: теоремы синусов и косинусов решают треугольник по неполным данным, а правильные многоугольники упорядочивают круг.

Вопросы и ответы:
- В: Как найти сторону треугольника по двум сторонам и углу между ними?
  О: По теореме косинусов: возведи обе стороны в квадрат, сложи, вычти удвоенное произведение сторон на косинус угла и извлеки корень. Для сторон 5 и 8 при угле 60° это 25 + 64 − 40 = 49, и третья сторона равна 7.
- В: Чему равна сторона правильного шестиугольника?
  О: Радиусу описанной окружности: центральный угол 60° даёт равносторонний треугольник из центра и двух соседних вершин. При радиусе 10 мм сторона равна 10 мм, а расстояние между гранями — примерно 17,3 мм.
- В: Чем теорема синусов отличается от теоремы косинусов?
  О: Косинусов работает с двумя сторонами и углом между ними, синусов — со стороной и противолежащим углом, связывая их с радиусом описанной окружности. Косинусов нужен угол между известными сторонами, синусов — пара сторона и её угол.

#### Скалярное произведение векторов

URL: https://shkolniygid.ru/geometriya/9-klass/skalyarnoe-proizvedenie-9/
Тренажёр: https://shkolniygid.ru/geometriya/9-klass/skalyarnoe-proizvedenie-9/trenazher/
Обновлено: 2026-11-06

Чемодан на колёсиках и работа силы: как скалярное произведение превращает два вектора в число, когда оно равно нулю и что знак говорит про угол.

Вопросы и ответы:
- В: Что означает скалярное произведение равное нулю?
  О: Векторы перпендикулярны: косинус угла 90° равен нулю, поэтому и всё произведение ноль. Единственное исключение — если один из векторов нулевой, у него направления нет.
- В: Как найти угол между векторами по координатам?
  О: Посчитай произведение a·b = ax·bx + ay·by и раздели его на произведение длин векторов — получишь косинус угла. Останется найти его в таблице косинусов.
- В: Чем скалярное произведение отличается от суммы векторов?
  О: Сумма векторов — новый вектор со стрелкой, а скалярное произведение — обычное число. Перепутать их в ответе нельзя: у числа нет координат.

#### Уравнение окружности и прямой

URL: https://shkolniygid.ru/geometriya/9-klass/uravnenie-okruzhnosti-9/
Тренажёр: https://shkolniygid.ru/geometriya/9-klass/uravnenie-okruzhnosti-9/trenazher/
Обновлено: 2026-09-27

Зона Wi-Fi и радар: как уравнение окружности описывает круг на координатной плоскости, что говорит уравнение прямой и когда прямая с окружностью касаются.

Вопросы и ответы:
- В: Как найти центр окружности по её уравнению?
  О: Числа в скобках берут с противоположными знаками: у уравнения (x − 4)² + (y + 2)² = R² центр — точка (4; −2). Если скобки нет, соответствующая координата равна нулю.
- В: Как определить радиус окружности по уравнению?
  О: Радиус — корень из правой части уравнения. Например, для (x − 1)² + (y − 3)² = 49 радиус равен 7.
- В: Чем отличается уравнение окружности от уравнения прямой?
  О: У окружности в уравнении есть квадраты координат и правая часть R², у прямой — первая степень: ax + by + c = 0. Поэтому их легко различить по виду записи.

#### Аксиомы планиметрии

URL: https://shkolniygid.ru/geometriya/9-klass/aksiomy-planimetrii-9/
Тренажёр: https://shkolniygid.ru/geometriya/9-klass/aksiomy-planimetrii-9/trenazher/
Обновлено: 2026-09-27

Шнур между двумя колышками и правила игры планиметрии: какие бывают аксиомы, почему их не доказывают и как из аксиомы параллельных вырастает сумма углов треугольника.

Вопросы и ответы:
- В: Чем аксиома отличается от теоремы?
  О: Аксиому принимают без доказательства как исходное утверждение теории. Теорема же доказывается, опираясь на аксиомы и уже доказанные факты.
- В: Что такое аксиома параллельных прямых?
  О: Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит ровно одна прямая, параллельная данной. Из неё следует, например, что сумма углов треугольника равна 180°.
- В: Почему аксиомы не нужно доказывать?
  О: Потому что они — самый фундамент теории: на них опираются все доказательства. Доказывать их было бы не из чего — проще было бы принять ещё одну аксиому.

#### Уравнение прямой на плоскости

URL: https://shkolniygid.ru/geometriya/9-klass/uravnenie-pryamoj-9/
Тренажёр: https://shkolniygid.ru/geometriya/9-klass/uravnenie-pryamoj-9/trenazher/
Обновлено: 2026-09-30

Тариф такси и уклон пандуса: как уравнение прямой с угловым коэффициентом описывает линию, когда прямые параллельны и перпендикулярны, как найти расстояние от точки до прямой и точку пересечения.

Вопросы и ответы:
- В: Как составить уравнение прямой через две точки?
  О: Сначала найди угловой коэффициент k = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁), затем подставь координаты одной точки в y = kx + b и найди b. Если абсциссы точек равны, прямая вертикальна и её уравнение — x = const.
- В: Чем общее уравнение прямой отличается от y = kx + b?
  О: Общее ax + by + c = 0 описывает любую прямую, включая вертикальные, а запись y = kx + b не годится для вертикалей, у которых углового коэффициента нет. Из общего уравнения y выражается, когда коэффициент при y ненулевой.
- В: Как определить, параллельны ли прямые по их уравнениям?
  О: Приведи обе к виду y = kx + b и сравни k: равные угловые коэффициенты при разных b означают параллельность. Если совпадают и k, и b — это одна и та же прямая.

#### Задачи на геометрические преобразования

URL: https://shkolniygid.ru/geometriya/9-klass/preobrazovaniya-zadachi-9/
Тренажёр: https://shkolniygid.ru/geometriya/9-klass/preobrazovaniya-zadachi-9/trenazher/
Обновлено: 2026-09-30

Зеркало, река и луч света: метод симметрии превращает ломаный маршрут в отрезок, параллельный перенос и поворот решают задачи на построение, а площади при движениях не меняются.

Вопросы и ответы:
- В: Как найти образ точки при симметрии относительно прямой?
  О: Проведи через точку перпендикуляр к оси и отложи за осью отрезок такой же длины. В координатах у оси x меняется знак ординаты, у оси y — абсциссы, а у наклонной прямой помогает уравнение перпендикуляра.
- В: Почему отражение помогает найти кратчайший маршрут?
  О: Отразив конечную точку, превращаешь ломаный путь в отрезок: любой ломаный маршрут с заходом на ось не короче этого отрезка по неравенству треугольника. Точка пересечения отрезка с осью — оптимальное место захода.
- В: Что даёт композиция двух осевых симметрий с параллельными осями?
  О: Параллельный перенос на удвоенное расстояние между осями, направленный от первой оси ко второй. Если поменять зеркала местами, сдвиг пойдёт в обратную сторону.

### 10 класс

Уроков: 10. Страница класса: https://shkolniygid.ru/geometriya/10-klass/

#### Аксиомы стереометрии. Прямые в пространстве

URL: https://shkolniygid.ru/geometriya/10-klass/aksiomy-stereometrii/
Тренажёр: https://shkolniygid.ru/geometriya/10-klass/aksiomy-stereometrii/trenazher/
Обновлено: 2026-09-27

Три аксиомы, с которых начинается стереометрия: как задать плоскость, когда прямые скрещиваются и почему плинтус идёт по линии пересечения. С примерами и тренажёром.

Вопросы и ответы:
- В: Чем стереометрия отличается от планиметрии?
  О: В планиметрии все фигуры лежат в одной плоскости, в стереометрии — в пространстве. Появляются объёмные тела, а прямые могут скрещиваться.
- В: Почему именно три точки задают плоскость?
  О: Две точки дают лишь прямую, а через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит ровно одна плоскость — поэтому табурет на трёх ножках не шатается. Через две точки проходит бесконечно много плоскостей, поэтому двух опор пространству мало.
- В: Как проверить, что прямые скрещивающиеся?
  О: Убедись, что они не пересекаются и через них нельзя провести одну общую плоскость. Классический пример — дорога и эстакада над ней.

#### Параллельность прямых и плоскостей

URL: https://shkolniygid.ru/geometriya/10-klass/parallelnost-10/
Тренажёр: https://shkolniygid.ru/geometriya/10-klass/parallelnost-10/trenazher/
Обновлено: 2026-09-27

Что параллельно в пространстве: прямая и плоскость, параллельные плоскости, признаки и доказательства на примерах веток метро и стен комнаты.

Вопросы и ответы:
- В: Чем параллельные прямые отличаются от скрещивающихся в пространстве?
  О: Параллельные лежат в одной плоскости и не пересекаются, скрещивающиеся не пересекаются, но общей плоскости у них нет. Проверка простая: попробуй провести через обе прямые одну плоскость — получилось, значит, они параллельны.
- В: Может ли прямая быть параллельна двум пересекающимся плоскостям?
  О: Да: она окажется параллельна линии их пересечения. Например, отвес параллелен двум пересекающимся вертикальным стенам.
- В: Зачем нужен признак параллельности прямой и плоскости?
  О: Чтобы не проверять бесконечно много точек: достаточно найти в плоскости одну прямую, параллельную данной, — и параллельность доказана. Обычно такой прямой оказывается средняя линия треугольника или ребро соседней грани.

#### Перпендикулярность прямых и плоскостей

URL: https://shkolniygid.ru/geometriya/10-klass/perpendikulyarnost-10/
Тренажёр: https://shkolniygid.ru/geometriya/10-klass/perpendikulyarnost-10/trenazher/
Обновлено: 2026-09-27

Перпендикуляр и наклонная, проекция и расстояние от точки до плоскости: признак перпендикулярности, примеры со столбом и тенью, тренажёр.

Вопросы и ответы:
- В: Чем перпендикуляр отличается от наклонной?
  О: Перпендикуляр образует с плоскостью прямой угол и самый короткий, наклонная идёт под другим углом и всегда длиннее. Из одной точки к плоскости можно провести сколько угодно наклонных, а перпендикуляр — только один.
- В: Почему для перпендикулярности хватает двух прямых в плоскости?
  О: Две пересекающиеся прямые задают все направления плоскости: перпендикулярность им распространяется и на любую другую прямую плоскости. Поэтому признак и требует пересекающихся прямых: параллельные задают лишь одно направление.
- В: Как найти расстояние от точки до плоскости?
  О: Провести перпендикуляр из точки к плоскости и найти его длину — это и есть расстояние. Если строить перпендикуляр трудно, ищи прямоугольный треугольник с известной наклонной и проекцией.

#### Многогранники: призма, параллелепипед, пирамида

URL: https://shkolniygid.ru/geometriya/10-klass/mnogogranniki/
Тренажёр: https://shkolniygid.ru/geometriya/10-klass/mnogogranniki/trenazher/
Обновлено: 2026-09-27

Призма, параллелепипед и пирамида: грани, рёбра, объём призмы и объём пирамиды — на коробках при переезде и с тренажёром.

Вопросы и ответы:
- В: Чем призма отличается от пирамиды?
  О: У призмы два равных основания и четырёхугольные боковые грани, у пирамиды одно основание и треугольные грани, сходящиеся в вершину. Считай основания: равных многоугольников в основании один или два — это сразу подсказывает тело.
- В: Как найти объём пирамиды?
  О: Умножить площадь основания на высоту и разделить на три: V = S·h/3 — пирамида занимает треть призмы с тем же основанием и высотой. Единицы держи одинаковыми: сторона в сантиметрах — объём в кубических сантиметрах.
- В: Что такое апофема?
  О: Это высота боковой грани правильной пирамиды — отрезок от вершины пирамиды до середины стороны основания. Боковое ребро длиннее апофемы: оно идёт от вершины к углу основания, а апофема — к середине стороны.

#### Двугранный угол и перпендикулярность плоскостей

URL: https://shkolniygid.ru/geometriya/10-klass/dvugrannye-ugly-i-perpend/
Тренажёр: https://shkolniygid.ru/geometriya/10-klass/dvugrannye-ugly-i-perpend/trenazher/
Обновлено: 2026-09-27

Двугранный угол: грани, ребро и линейный угол, площадь проекции через косинус и признак перпендикулярности плоскостей — на дверях, стенах и скатах крыши.

Вопросы и ответы:
- В: Как построить линейный угол двугранного угла?
  О: Возьми точку на ребре и проведи в каждой грани луч, перпендикулярный ребру. Угол между этими лучами — линейный; его градусная мера и есть мера двугранного угла.
- В: Чем угол между плоскостями отличается от двугранного угла?
  О: Двугранный угол бывает от 0° до 180°, а угол между плоскостями берут не больше 90°: вместо тупого двугранного угла рассматривают смежный. Мера строится по тому же линейному углу, отличается только диапазон.
- В: Почему площадь проекции меньше площади самой фигуры?
  О: Наклонная фигура сжимается в направлении наклона в cos φ раз, а косинус угла от 0° до 90° не больше единицы. Равенство возможно, только когда фигура параллельна плоскости проекции.

#### Призма: площадь поверхности призмы — геометрия 10 класс

URL: https://shkolniygid.ru/geometriya/10-klass/prizmy/
Тренажёр: https://shkolniygid.ru/geometriya/10-klass/prizmy/trenazher/
Обновлено: 2026-09-27

Площадь поверхности призмы через развёртку: боковая P·h, полная с двумя основаниями — считаем стекло аквариума и обёртку коробки без ошибок.

Вопросы и ответы:
- В: Как найти площадь боковой поверхности призмы?
  О: Для прямой призмы умножь периметр основания на высоту — выйдет P · h. Это площадь развёртки, прямоугольника со сторонами P и h.
- В: Сколько оснований входит в полную поверхность?
  О: Два, если тело закрытое, как коробка. В задачах про аквариум или бассейн верхнего основания нет, поэтому основание считают один раз.
- В: Почему у наклонной призмы формула P·h не работает?
  О: Её боковая развёртка не прямоугольник: рёбра косые. Боковую поверхность считают через перпендикулярное сечение: его периметр умножают на боковое ребро.

#### Правильная пирамида: апофема и площадь поверхности — геометрия 10 класс

URL: https://shkolniygid.ru/geometriya/10-klass/piramidy/
Тренажёр: https://shkolniygid.ru/geometriya/10-klass/piramidy/trenazher/
Обновлено: 2026-09-27

Правильная пирамида: апофема через теорему Пифагора, площадь боковой поверхности как половина периметра на апофему — на примере раскроя шатра.

Вопросы и ответы:
- В: Что такое апофема пирамиды?
  О: Высота боковой грани правильной пирамиды: отрезок от вершины пирамиды до середины стороны основания. Не путай её с боковым ребром — ребро идёт к углу и всегда длиннее.
- В: Как найти площадь боковой поверхности правильной пирамиды?
  О: Умножь периметр основания на апофему и раздели пополам. Это сумма площадей n равных треугольных граней, у каждой площадь — половина произведения стороны основания и апофемы.
- В: Чем апофема отличается от бокового ребра?
  О: Апофема идёт к середине стороны и служит высотой грани, боковое ребро — к вершине угла основания. В правильной пирамиде ребро всегда длиннее апофемы.

#### Правильные многогранники — геометрия 10 класс: пять платоновых тел

URL: https://shkolniygid.ru/geometriya/10-klass/pravilnye-mnogogranniki/
Тренажёр: https://shkolniygid.ru/geometriya/10-klass/pravilnye-mnogogranniki/trenazher/
Обновлено: 2026-09-27

Пять платоновых тел и теорема Эйлера: почему правильных многогранников ровно пять и как считать вершины, рёбра и грани без пересчитывания.

Вопросы и ответы:
- В: Почему правильных многогранников только пять?
  О: В каждой вершине сходится минимум три грани, и сумма их углов должна быть меньше 360°. Треугольники сходятся по 3, 4 и 5, квадраты и пятиугольники — только по 3, шестиугольники уже не сходятся. Выходит пять тел.
- В: Что такое платоновы тела?
  О: То же, что правильные многогранники: пять выпуклых тел из равных правильных многоугольников. Название идёт от Платона, связывавшего их со строением мироздания.
- В: Как применить теорему Эйлера?
  О: Зная любые два числа из тройки «вершины, рёбра, грани», найди третье из В − Р + Г = 2. Формула верна для любого выпуклого многогранника.

#### Сечения многогранников 10 класс: как строить

URL: https://shkolniygid.ru/geometriya/10-klass/secheniya-mnogogrannikov-10/
Тренажёр: https://shkolniygid.ru/geometriya/10-klass/secheniya-mnogogrannikov-10/trenazher/
Обновлено: 2026-09-29

Плоскость режет куб наискось — и на срезе внезапно шестиугольник: строим сечения многогранников методом следов, без ошибочных отрезков между чужими гранями.

Вопросы и ответы:
- В: Как построить сечение куба через три точки на рёбрах?
  О: Найди пару точек, лежащих в одной грани, и соедини их отрезком. Повтори для остальных пар и продолжай следы до рёбер, если точки лежат не на рёбрах одной вершины. Замкни контур и сверь число сторон с числом пересечённых граней.
- В: Почему сечение куба не может быть семиугольником?
  О: Каждая сторона сечения лежит на отдельной грани куба, а граней у него всего шесть. Значит, сторон не может быть больше шести, и предел — шестиугольник через все грани.
- В: Какие фигуры получаются при сечении параллелепипеда?
  О: Плоскость, параллельная основанию, даёт прямоугольник, равный основанию, а диагональное сечение прямого параллелепипеда — прямоугольник из бокового ребра и диагонали грани. Косые разрезы дают параллелограммы и трапеции, потому что параллельность граней сохраняется.

#### Правильные многогранники. Тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр

URL: https://shkolniygid.ru/geometriya/10-klass/pravilnye-mnogogranniki-10/
Тренажёр: https://shkolniygid.ru/geometriya/10-klass/pravilnye-mnogogranniki-10/trenazher/
Обновлено: 2026-09-27

От кристалла соли до геодезического купола: пять правильных многогранников, таблица их граней и вершин, теорема Эйлера и задачи на рёбра, диагонали и развёртки.

Вопросы и ответы:
- В: Почему правильных многогранников только пять?
  О: В каждой вершине сходится не меньше трёх граней, а сумма их углов должна быть меньше 360°, иначе поверхность не согнётся в выпуклое тело. Из треугольников, квадратов и пятиугольников набирается ровно пять комбинаций. Шестиугольники не проходят: три угла по 120° дают ровно 360°, и вершина распрямляется.
- В: Как связаны куб и октаэдр?
  О: Они двойственны: центры граней куба образуют октаэдр, а центры граней октаэдра — куб. Поэтому у куба 8 вершин и 6 граней, а у октаэдра ровно наоборот. Тетраэдр при этом двойственен сам себе.
- В: Как найти диагональ куба через его ребро?
  О: Сначала найди диагональ грани по теореме Пифагора: она равна ребру, умноженному на корень из двух. Затем примени теорему Пифагора к треугольнику из ребра, диагонали грани и диагонали куба: получится ребро, умноженное на корень из трёх. Для ребра 3 см диагональ куба равна $3\sqrt{3}$ — примерно 5,2 см.

### 11 класс

Уроков: 12. Страница класса: https://shkolniygid.ru/geometriya/11-klass/

#### Тела вращения: цилиндр, конус, шар

URL: https://shkolniygid.ru/geometriya/11-klass/tela-vrasheniya/
Тренажёр: https://shkolniygid.ru/geometriya/11-klass/tela-vrasheniya/trenazher/
Обновлено: 2026-09-27

Цилиндр, конус и шар как тела вращения: откуда они берутся, чем различаются и как считать их объём — с формулами и жизненными примерами.

Вопросы и ответы:
- В: Зачем в жизни нужны тела вращения?
  О: Баки и цистерны — цилиндры, рожок мороженого и ворончих — конусы, мячи и капли — шары. Чтобы посчитать их вместимость, нужны формулы объёма.
- В: Почему конус и цилиндр с одинаковым основанием имеют разные объёмы?
  О: У конуса слои от основания к вершине сжимаются, и объём выходит ровно втрое меньше. Поэтому в формуле конуса стоит множитель 1/3.
- В: Чем шар отличается от сферы?
  О: Сфера — только поверхность, как оболочка мяча. Шар — всё тело вместе с внутренностью.

#### Объёмы тел

URL: https://shkolniygid.ru/geometriya/11-klass/obyomy-tel/
Тренажёр: https://shkolniygid.ru/geometriya/11-klass/obyomy-tel/trenazher/
Обновлено: 2026-09-27

Считаем объём цилиндра, конуса и шара на бочках, рожках мороженого и цистернах: формулы, перевод в литры и типичные ошибки.

Вопросы и ответы:
- В: Как посчитать объём бака в литрах?
  О: Найди объём в кубических метрах или дециметрах и переведи: 1 м³ = 1000 л, 1 дм³ = 1 л. Радиус и высоту бери в одинаковых единицах.
- В: Почему в формуле объёма конуса есть 1/3?
  О: Конус составлен как бы из сжимающихся к вершине слоёв, и их суммарный объём равен трети цилиндра с теми же основанием и высотой. Это проверяется опытом с водой.
- В: Как перевести кубические метры в литры?
  О: Умножь на 1000: 1 м³ = 1000 литров. Обратно — дели на 1000.

#### Векторы в пространстве. Скалярное произведение

URL: https://shkolniygid.ru/geometriya/11-klass/vektory-prostranstvo/
Тренажёр: https://shkolniygid.ru/geometriya/11-klass/vektory-prostranstvo/trenazher/
Обновлено: 2026-09-27

Векторы в пространстве: координаты, длина и скалярное произведение — учимся находить углы и проверять перпендикулярность.

Вопросы и ответы:
- В: Чем вектор в пространстве отличается от вектора на плоскости?
  О: Числом координат: в пространстве их три, на плоскости две. Правила сложения и скалярного произведения переносятся напрямую.
- В: Почему скалярное произведение называют скалярным?
  О: Потому что результат — скаляр, то есть обычное число, а не вектор с направлением. Сам термин идёт от латинского scalaris — «ступенчатый», и подчёркивает именно числовую природу ответа.
- В: Как проверить, что векторы перпендикулярны?
  О: Посчитай скалярное произведение по координатам. Если оно равно нулю, а векторы ненулевые, угол между ними 90°.

#### Метод координат: расстояния и углы

URL: https://shkolniygid.ru/geometriya/11-klass/metod-koordinat-11/
Тренажёр: https://shkolniygid.ru/geometriya/11-klass/metod-koordinat-11/trenazher/
Обновлено: 2026-09-27

Метод координат: расстояние между точками, середина отрезка и угол между векторами — три формулы, которые решают большинство задач.

Вопросы и ответы:
- В: Как найти расстояние между двумя точками в пространстве?
  О: Вычти координаты попарно, возведи разности в квадрат, сложи и извлеки корень. Это формула $\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}$.
- В: Зачем метод координат, если можно решить по чертежу?
  О: Чертёж обманывает глаз и требует доказательств, а координаты дают прямое вычисление. В сложных стереометрических задачах это часто короче.
- В: Как GPS связан с координатами?
  О: Навигатор знает координаты спутников и своей точки и считает расстояния по формуле расстояния между точками. Из трёх-четырёх расстояний находится положение на Земле.

#### Площади поверхностей цилиндра, конуса и шара — геометрия 11 класс

URL: https://shkolniygid.ru/geometriya/11-klass/cilyndr-konus-shar-11/
Тренажёр: https://shkolniygid.ru/geometriya/11-klass/cilyndr-konus-shar-11/trenazher/
Обновлено: 2026-09-27

Площади поверхностей цилиндра, конуса и сферы через развёртки, образующая вместо высоты и все осевые сечения — на примере покраски садового бака.

Вопросы и ответы:
- В: Как найти площадь поверхности цилиндра?
  О: Сложи боковую поверхность 2πrh и два круга по πr² — получится 2πr(r + h). Это как развёртка: прямоугольник плюс два круга.
- В: Почему в формуле конуса образующая, а не высота?
  О: Развёртка боковой поверхности конуса — сектор радиуса l, поэтому в формулу входит образующая. Она длиннее высоты и находится из l² = r² + h².
- В: Чему равна площадь сферы?
  О: S = 4πr² — как четыре больших круга радиуса r. Не путай с объёмом шара (4/3)πr³: там дробь и куб радиуса.

#### Скалярное произведение векторов в пространстве — 11 класс

URL: https://shkolniygid.ru/geometriya/11-klass/skalyarnoe-proizvedenie-11/
Тренажёр: https://shkolniygid.ru/geometriya/11-klass/skalyarnoe-proizvedenie-11/trenazher/
Обновлено: 2026-09-29

Скалярное произведение в пространстве: угол между векторами, координатная формула с тремя слагаемыми, ноль для перпендикулярных и физический смысл — работа силы.

Вопросы и ответы:
- В: Как найти угол между векторами в пространстве?
  О: Считай скалярное произведение по координатам и дели его на произведение длин — получится косинус угла. Затем возьми арккосинус. Для ненулевых векторов угол всегда лежит от 0° до 180°.
- В: Почему для перпендикулярных векторов скалярное произведение равно нулю?
  О: В определении стоит косинус угла, а косинус 90° равен нулю. Поэтому произведение длин на ноль даёт ноль — независимо от длин векторов.
- В: Что показывает знак скалярного произведения?
  О: Плюс говорит об остром угле, минус — о тупом, ноль — о прямом. Это самый быстрый способ понять взаимное расположение векторов без чертежа.

#### Движения в пространстве — 11 класс: симметрии и перенос

URL: https://shkolniygid.ru/geometriya/11-klass/dvizheniya-v-prostranstve-11/
Тренажёр: https://shkolniygid.ru/geometriya/11-klass/dvizheniya-v-prostranstve-11/trenazher/
Обновлено: 2026-09-29

Движение сохраняет расстояния: центральная, осевая и зеркальная симметрии, параллельный перенос и их композиции — с проверкой на координатах и правилом удвоения.

Вопросы и ответы:
- В: Что называется движением пространства?
  О: Это отображение пространства на себя, при котором расстояния между точками сохраняются. Благодаря этому прямые переходят в прямые, плоскости в плоскости, а фигуры — в равные фигуры.
- В: Чем осевая симметрия в пространстве отличается от осевой на плоскости?
  О: В пространстве осевая симметрия — поворот на 180° вокруг прямой, поэтому ориентацию она сохраняет. На плоскости та же симметрия работает как отражение и меняет ориентацию на противоположную.
- В: Сколько осей и плоскостей симметрии у куба?
  О: У куба девять плоскостей симметрии и девять осей. Три оси идут через центры противоположных граней, четыре — через противоположные вершины, две — через середины противоположных рёбер.

#### Теорема о трёх перпендикулярах — 11 класс: формулировка и применение

URL: https://shkolniygid.ru/geometriya/11-klass/trehperpendikulyary-11/
Тренажёр: https://shkolniygid.ru/geometriya/11-klass/trehperpendikulyary-11/trenazher/
Обновлено: 2026-09-29

Теорема о трёх перпендикулярах: наклонная, проекция и перпендикуляр в одном прямоугольном треугольнике, прямая и обратная формулировки, расстояние от точки до прямой.

Вопросы и ответы:
- В: Что такое наклонная в стереометрии?
  О: Это отрезок, соединяющий точку вне плоскости с точкой самой плоскости и не перпендикулярный ей. Точка на плоскости называется основанием наклонной. Вместе с перпендикуляром наклонная образует прямоугольный треугольник.
- В: Как найти расстояние от точки до прямой в пространстве?
  О: Спроецируй точку на плоскость, в которой лежит прямая. Затем найди расстояние от проекции до прямой в этой плоскости и дострой прямоугольный треугольник. Гипотенуза будет искомым расстоянием по теореме о трёх перпендикулярах.
- В: В чём формулируется теорема о трёх перпендикулярах?
  О: Если прямая в плоскости перпендикулярна проекции наклонной, то она перпендикулярна и самой наклонной. Верно и обратное: перпендикулярность наклонной влечёт перпендикулярность проекции.

#### Угол между прямой и плоскостью — 11 класс: формулы и задачи

URL: https://shkolniygid.ru/geometriya/11-klass/ugly-mezhdu-pryamymi-ploskostyami-11/
Тренажёр: https://shkolniygid.ru/geometriya/11-klass/ugly-mezhdu-pryamymi-ploskostyami-11/trenazher/
Обновлено: 2026-09-29

Углы в стереометрии: скрещивающиеся прямые через параллельный перенос, угол прямой с плоскостью по проекции, двугранный угол и его линейный угол.

Вопросы и ответы:
- В: Как найти угол между скрещивающимися прямыми?
  О: Замени одну из прямых параллельной ей прямой, пересекающей вторую. Угол между пересекающимися прямыми и будет искомым. В кубе и призме удобно переносить вдоль параллельных рёбер.
- В: Что называют углом между прямой и плоскостью?
  О: Это угол между прямой и её проекцией на плоскость. Для перпендикулярной прямой он равен 90°, для параллельной — 0°. Косинус угла равен отношению длины проекции к длине наклонной.
- В: Что такое двугранный угол?
  О: Это фигура из двух полуплоскостей с общей граничной прямой. Мерой служит линейный угол — угол в сечении плоскостью, перпендикулярной ребру. Все линейные углы одного двугранного угла равны.

#### Расстояние от точки до плоскости — 11 класс: методы и задачи

URL: https://shkolniygid.ru/geometriya/11-klass/rasstoyaniya-v-prostranstve-11/
Тренажёр: https://shkolniygid.ru/geometriya/11-klass/rasstoyaniya-v-prostranstve-11/trenazher/
Обновлено: 2026-09-29

Все расстояния стереометрии: точка и плоскость, точка и прямая, параллельные плоскости, скрещивающиеся прямые через общий перпендикуляр и метод объёмов.

Вопросы и ответы:
- В: Как найти расстояние от точки до плоскости?
  О: Проведи из точки перпендикуляр к плоскости — его длина и есть расстояние. Если перпендикуляр трудно построить, дострой пирамиду и посчитай объём двумя способами. Такой приём называют методом объёмов.
- В: Что такое общий перпендикуляр скрещивающихся прямых?
  О: Это отрезок, концы которого лежат на прямых, а сам он перпендикулярен обеим. Его длина и называется расстоянием между скрещивающимися прямыми. В кубе это часто просто ребро.
- В: Как искать расстояние между скрещивающимися прямыми без общего перпендикуляра?
  О: Построй плоскость через одну из прямых, параллельную второй. Затем найди расстояние от любой точки второй прямой до этой плоскости. Оно и равно расстоянию между прямыми.

#### Вписанная и описанная сферы — 11 класс: куб, конус, пирамида

URL: https://shkolniygid.ru/geometriya/11-klass/vpisannye-opisannye-sfery-11/
Тренажёр: https://shkolniygid.ru/geometriya/11-klass/vpisannye-opisannye-sfery-11/trenazher/
Обновлено: 2026-09-29

Комбинации со сферами: описанная сфера вокруг куба и призмы, вписанная сфера конуса и пирамиды, центр на высоте, метод осевого сечения и главные радиусы.

Вопросы и ответы:
- В: Какая сфера называется вписанной в многогранник?
  О: Сфера, которая касается всех граней многогранника. Центр такой сферы лежит внутри, а расстояние от центра до любой грани равно радиусу. Сам многогранник при этом называют описанным вокруг сферы.
- В: Где центр описанной сферы вокруг куба?
  О: В точке пересечения диагоналей куба. Диагональ куба служит диаметром сферы, поэтому радиус равен половине диагонали. Для ребра a это a√3/2.
- В: Как найти радиус сферы, вписанной в конус?
  О: Проведи осевое сечение — получится равнобедренный треугольник с вписанной окружностью. Радиус равен произведению высоты на радиус основания, делённому на сумму образующей и радиуса основания.

#### Движения в пространстве. Симметрии и параллельный перенос

URL: https://shkolniygid.ru/geometriya/11-klass/dvizheniya-prostranstve-11/
Тренажёр: https://shkolniygid.ru/geometriya/11-klass/dvizheniya-prostranstve-11/trenazher/
Обновлено: 2026-09-29

От правой и левой перчатки до кристаллов и паркетов: движение в пространстве сохраняет расстояния, а симметрии и перенос задаются точкой, прямой, плоскостью и вектором.

Вопросы и ответы:
- В: Какое преобразование называется движением в пространстве?
  О: Отображение пространства на себя, при котором сохраняются расстояния между точками. Отрезок при этом переходит в равный отрезок, а фигура — в равную фигуру.
- В: Каким движением правая перчатка превращается в левую?
  О: Зеркальной симметрией — отражением в плоскости, как в настоящем зеркале. Осевая симметрия в пространстве не подходит: это поворот на 180° вокруг прямой, он правое и левое не меняет.
- В: Как найти образ точки при параллельном переносе?
  О: Прибавь координаты вектора переноса к одноимённым координатам точки: абсциссу к абсциссе, ординату к ординате, аппликату к аппликате. Для точки (2; 0; 5) и вектора (1; 3; −4) образ — точка (3; 3; 1).

## Разборы заданий ЕГЭ и ОГЭ

### ЕГЭ

#### ЕГЭ, matematika-baza — 21 заданий

- [ЕГЭ, задание 1: Дроби и вычисления по действиям](https://shkolniygid.ru/ege/matematika-baza/zadanie-1-baza-drobnye-vychisleniya/): Первое задание базового ЕГЭ — обычная арифметика: сложение и деление дробей, порядок действий, перевод десятичных дробей в обыкновенные и обратно. Вычисления здесь простые, но балл теряют именно на невнимательности. Привычка считать по шагам и проверять последний шаг приносит гарантированный балл. Материал подготовлен по демоверсиям КИМ и открытым банкам заданий ФИПИ.
- [ЕГЭ, задание 2: Степени и корни: свойства и вычисления](https://shkolniygid.ru/ege/matematika-baza/zadanie-2-baza-stepeni-i-korni/): Второе задание проверяет свойства степеней и арифметических корней. Формул всего пять, и если их видеть в выражении, а не выдумывать на ходу, задание решается за минуту. Разбираем на числах, которые реально встречаются в вариантах. Материал подготовлен по демоверсиям КИМ и открытым банкам заданий ФИПИ.
- [ЕГЭ, задание 3: Проценты: скидки и налоги](https://shkolniygid.ru/ege/matematika-baza/zadanie-3-baza-procenty/): Третье задание — проценты: скидки в магазине, подорожание билетов, налог с зарплаты. Достаточно понять одну идею — процент это сотая часть числа, — и любая задача сводится к умножению на коэффициент. Самое жизненное задание экзамена: мимо него не пройдёшь ни в одном чеке. Материал подготовлен по демоверсиям КИМ и открытым банкам заданий ФИПИ.
- [ЕГЭ, задание 4: Формулы и таблицы: подстановка чисел](https://shkolniygid.ru/ege/matematika-baza/zadanie-4-baza-formuly-i-tablicy/): Четвёртое задание — подстановка чисел в формулу и чтение таблиц: тарифы такси, показания счётчиков, прайс-листы. Сложной теории здесь нет, задание проверяет аккуратность. Почти все ошибки механические: взял цену не из той колонки или потерял фиксированную часть тарифа. Материал подготовлен по демоверсиям КИМ и открытым банкам заданий ФИПИ.
- [ЕГЭ, задание 5: Практические задачи по графикам](https://shkolniygid.ru/ege/matematika-baza/zadanie-5-baza-grafiki-praktika/): Пятое задание — чтение графиков: температура за сутки, расход топлива, плата по тарифу. Нужно найти точку на оси, посчитать разницу или проследить, как величина менялась со временем. Ошибки здесь не в математике, а во внимании: перепутал оси или снял показание не с той точки. Материал подготовлен по демоверсиям КИМ и открытым банкам заданий ФИПИ.
- [ЕГЭ, задание 6: Планиметрия: площади фигур и Пифагор](https://shkolniygid.ru/ege/matematika-baza/zadanie-6-baza-planimetriya/): Шестое задание — планиметрия: площади прямоугольника, треугольника и трапеции, теорема Пифагора. Формулы короткие, но их надо помнить наизусть. Нарисуй фигуру и подпиши размеры прямо на ней — половина решения появится сама. Материал подготовлен по демоверсиям КИМ и открытым банкам заданий ФИПИ.
- [ЕГЭ, задание 7: Неравенства и выбор вариантов](https://shkolniygid.ru/ege/matematika-baza/zadanie-7-baza-neravenstva/): Небольшое задание с большим коварством: здесь сравнивают числа и проверяют утверждения про них. Дано условие вроде «a > b > 0» или пара дробей — и четыре утверждения, из которых верны только некоторые. Спасает один приём: подставь конкретные числа и проверь каждое утверждение по очереди. Материал подготовлен по демоверсиям КИМ и открытым банкам заданий ФИПИ.
- [ЕГЭ, задание 8: Анализ утверждений и логика](https://shkolniygid.ru/ege/matematika-baza/zadanie-8-baza-analiz-utverzhdenij/): Здесь нет вычислений на полстраницы — зато есть текст, который нужно читать медленно. Дана житейская ситуация: кружки, туристы, лифты — и несколько утверждений о ней. Твоя задача — понять, какие из них верны обязательно, а какие лишь могут быть. Помогают два приёма: принцип Дирихле для пересечения групп и проверка утверждения конкретным примером. Материал подготовлен по демоверсиям КИМ и открытым банкам заданий ФИПИ.
- [ЕГЭ, задание 9: Вероятность событий: разбор задания 9](https://shkolniygid.ru/ege/matematika-baza/zadanie-9-baza-veroyatnost/): Достаточно одной формулы: вероятность равна отношению удачных исходов ко всем. Вся хитрость — правильно посчитать те и другие в житейской истории: билет с вопросом о грибах, лампочка в люстре, чайник на гарантии. И следи за формулировкой: «прослужит больше года» и «прослужит меньше года» — не всё пространство событий. Материал подготовлен по демоверсиям КИМ и открытым банкам заданий ФИПИ.
- [ЕГЭ, задание 10: Углы и выбор величин](https://shkolniygid.ru/ege/matematika-baza/zadanie-10-baza-ugly-vybor/): Тут не нужны ни синусы, ни доказательства — только сумма углов треугольника и умение вычитать. Дают один-два угла в градусах и просят найти третий, внешний угол или оставшийся острый в прямоугольном треугольнике. Держи в голове два числа: 180 и 90 — они решают почти всё задание. Материал подготовлен по демоверсиям КИМ и открытым банкам заданий ФИПИ.
- [ЕГЭ, задание 11: Уравнения и системы: разбор задания 11](https://shkolniygid.ru/ege/matematika-baza/zadanie-11-baza-sistem-i-uravneniya/): Задание на технику: линейное, квадратное или показательное уравнение — и всё. Иногда предлагают систему из двух уравнений. Секрет скорости — привести всё к простому виду и не потерять знак при переносе. Ответ обычно красивый: если вышло 3,7 — где-то описка, перепроверь. Материал подготовлен по демоверсиям КИМ и открытым банкам заданий ФИПИ.
- [ЕГЭ, задание 12: Практическая арифметика: билеты, тарифы, смеси](https://shkolniygid.ru/ege/matematika-baza/zadanie-12-baza-prakticheskie-zadachi/): Сплошная житейская арифметика: билеты в театр, тарифы мобильной связи, рассол и маринад. Ошибки здесь не математические, а невнимательные: не заметить включённый объём трафика, перепутать взрослый билет с детским, посчитать скидку в обратную сторону. Читай условие медленно и выписывай цены в столбик. Материал подготовлен по демоверсиям КИМ и открытым банкам заданий ФИПИ.
- [ЕГЭ, задание 13: Планиметрия: площади и углы](https://shkolniygid.ru/ege/matematika-baza/zadanie-13-planimetriya-baza/): Задание 13 базового ЕГЭ — планиметрия: площади треугольника, трапеции и круга, периметры, углы треугольника. Вычисления короткие, но опираются на формулы, которые нужно помнить наизусть. Балл чаще всего теряют на рисунке: вместо высоты подставляют боковую сторону или путают радиус с диаметром. Материал подготовлен по демоверсиям КИМ и открытым банкам заданий ФИПИ.
- [ЕГЭ, задание 14: Стереометрия: объёмы](https://shkolniygid.ru/ege/matematika-baza/zadanie-14-stereometriya-baza/): Задание 14 базового ЕГЭ — стереометрия: объёмы куба, параллелепипеда, цилиндра и конуса. Теории почти нет: работает формула плюс аккуратная подстановка. Типичная потеря балла — потерянный квадрат радиуса в цилиндре или забытая треть в объёме конуса. Материал подготовлен по демоверсиям КИМ и открытым банкам заданий ФИПИ.
- [ЕГЭ, задание 15: Начала теории вероятностей](https://shkolniygid.ru/ege/matematika-baza/zadanie-15-veroyatnost-baza/): Задание 15 базового ЕГЭ — начала теории вероятностей: благоприятные исходы делим на все. Вычисления здесь самые простые на экзамене, вся сложность — в подсчёте исходов. Балл теряют, когда забывают про противоположное событие или пишут в бланк проценты вместо десятичной дроби. Материал подготовлен по демоверсиям КИМ и открытым банкам заданий ФИПИ.
- [ЕГЭ, задание 16: Простейшие уравнения](https://shkolniygid.ru/ege/matematika-baza/zadanie-16-uravneniya-baza/): Задание 16 базового ЕГЭ — простейшие уравнения: линейные, квадратные, показательные в одну ступеньку. Алгоритм короткий: упростить, перенести, сосчитать. Балл обычно теряют на знаке при переносе слагаемого через знак равенства. Материал подготовлен по демоверсиям КИМ и открытым банкам заданий ФИПИ.
- [ЕГЭ, задание 17: Вычисления и преобразования](https://shkolniygid.ru/ege/matematika-baza/zadanie-17-preobrazovaniya-baza/): Задание 17 базового ЕГЭ — вычисления и преобразования: степени, корни, формулы сокращённого умножения. Задание проверяет, видишь ли ты структуру выражения, а не умеешь ли перемножать большие числа. Теряют балл на раскрытии квадрата суммы без удвоенного произведения. Материал подготовлен по демоверсиям КИМ и открытым банкам заданий ФИПИ.
- [ЕГЭ, задание 18: Текстовые задачи на смекалку](https://shkolniygid.ru/ege/matematika-baza/zadanie-18-smesi-baza/): Задание 18 базового ЕГЭ — задачи на смекалку: смешивают растворы и сплавы, гоняют лодки по реке с течением. Формул мало, но условие каждый раз закручено по-новому, поэтому шаблон тут не спасает — спасает аккуратный перевод слов в числа. Балл чаще всего теряют на процентах: складывают концентрации двух растворов вместо того, чтобы считать массу чистого вещества. Материал подготовлен по демоверсиям КИМ и открытым банкам заданий ФИПИ.
- [ЕГЭ, задание 19: Графики функций: разбор задания 19](https://shkolniygid.ru/ege/matematika-baza/zadanie-19-grafiki-funkcij-baza/): Задание 19 базового ЕГЭ — графики функций, но картинку придётся достроить в голове по словесному описанию: «прямая проходит через точки», «парабола с вершиной в точке». Спрашивают обычно коэффициент: k, b или свободный член. Теряют балл, когда путают, что именно ищут: точка с нулевой абсциссой даёт сразу b, а вершина параболы задаёт сразу два условия. Материал подготовлен по демоверсиям КИМ и открытым банкам заданий ФИПИ.
- [ЕГЭ, задание 20: Текстовая задача: разбор задания 20](https://shkolniygid.ru/ege/matematika-baza/zadanie-20-tekstovye-zadachi-baza/): Задание 20 базового ЕГЭ — полноценная текстовая задача: движение навстречу и вдогонку, совместная работа, проценты с повышением и скидками. Здесь решает не формула, а раскладка условия: кто, откуда, с какой скоростью, что уже сделано. Балл теряют на вопросе: спрашивают время — пишут путь, спрашивают цену после скидки — пишут размер скидки. Материал подготовлен по демоверсиям КИМ и открытым банкам заданий ФИПИ.
- [ЕГЭ, задание 21: Числа и последовательности](https://shkolniygid.ru/ege/matematika-baza/zadanie-21-posledovatelnosti-baza/): Задание 21 базового ЕГЭ — числа и последовательности: арифметическая прогрессия, суммы подряд идущих чисел, деление с остатком. Задание проверяет не вычислительную мощь, а умение увидеть закономерность. Теряют балл на номере члена: двадцать пятый член отличается от первого на 24 разности, а не на 25. Материал подготовлен по демоверсиям КИМ и открытым банкам заданий ФИПИ.

#### ЕГЭ, matematika-profil — 19 заданий

- [ЕГЭ, задание 1: Простейшие текстовые задачи (проценты, части)](https://shkolniygid.ru/ege/matematika-profil/zadanie-1-prosteyshie-tekstovye-zadachi/): Проверяет, как ты работаешь с процентами, долями и пропорциями в житейских ситуациях: скидки в магазине, подорожание услуг, состав класса, расход топлива. Это самое быстрое задание экзамена, но и терять его обиднее всего — балл здесь стоит как за стереометрию. Материал подготовлен по демоверсиям КИМ и открытым банкам заданий ФИПИ.
- [ЕГЭ, задание 2: Чтение графиков и диаграмм](https://shkolniygid.ru/ege/matematika-profil/zadanie-2-grafiki-i-diagrammy/): Проверяет, умеешь ли ты снимать данные с графиков, диаграмм и таблиц и доводить расчёт до числа: разница температур, доля расходов в рублях, скорость по графику движения. Балл здесь теряют не на математике, а на невнимательном чтении осей и подписей. Материал подготовлен по демоверсиям КИМ и открытым банкам заданий ФИПИ.
- [ЕГЭ, задание 3: Планиметрия: площади фигур на клетчатой бумаге](https://shkolniygid.ru/ege/matematika-profil/zadanie-3-ploschadi-figur-ege/): Проверяет знание формул площадей и умение снять размеры с клетчатой картинки: треугольник, параллелограмм, ромб, трапеция на бумаге с клеткой 1×1. Вся геометрия здесь сводится к аккуратному счёту клеток и одной формуле. Материал подготовлен по демоверсиям КИМ и открытым банкам заданий ФИПИ.
- [ЕГЭ, задание 4: Начала теории вероятностей](https://shkolniygid.ru/ege/matematika-profil/zadanie-4-teoriya-veroyatnostej-ege/): Проверяет классическую вероятность: отношение благоприятных исходов к общему числу, противоположные события, простые опыты с билетами, монетами и кубиками. Тут побеждает аккуратный подсчёт, а не знание теорем. Материал подготовлен по демоверсиям КИМ и открытым банкам заданий ФИПИ.
- [ЕГЭ, задание 5: Простейшие уравнения (линейные, квадратные, показательные)](https://shkolniygid.ru/ege/matematika-profil/zadanie-5-uravneniya-prostye/): Проверяет технику решения простейших уравнений: линейных, квадратных и показательных. Здесь важен не выбор метода, а аккуратность: не потерять знак, не потерять корень и записать в бланк именно тот, который просят. Материал подготовлен по демоверсиям КИМ и открытым банкам заданий ФИПИ.
- [ЕГЭ, задание 6: Вычисления и преобразования (степени, корни, логарифмы)](https://shkolniygid.ru/ege/matematika-profil/zadanie-6-vychisleniya-i-preobrazovaniya/): Здесь нужно довести выражение из степеней, корней или логарифмов до числа за одну-две строки. Никаких сюжетов и рисунков — только свойства действий и аккуратный счёт. Типичный ход: свернуть произведение степеней в одну, убрать логарифм степени, вынести множитель из-под корня. Материал подготовлен по демоверсиям КИМ и открытым банкам заданий ФИПИ.
- [ЕГЭ, задание 7: Производная: график функции и производной](https://shkolniygid.ru/ege/matematika-profil/zadanie-7-proizvodnaya-ege/): Тебе дают график функции или её производной и спрашивают: где производная равна нулю, сколько точек экстремума, чему равен угловой коэффициент касательной. Главный навык — чтение графика: значение производной в точке показывает наклон графика функции в этой точке. Формул почти не нужно, нужна внимательность к подписи на рисунке. Материал подготовлен по демоверсиям КИМ и открытым банкам заданий ФИПИ.
- [ЕГЭ, задание 8: Задачи с прикладным содержанием (движение, работа, проценты)](https://shkolniygid.ru/ege/matematika-profil/zadanie-8-tekstovye-zadachi-ege-prakticheskie/): Формулировка про таксиста, батарейки, подорожавший товар или две трубы. Твоя работа — перевести текст в одно арифметическое действие или короткую цепочку из двух-трёх шагов. Задание решается в одну-две строки, и терять здесь балл обиднее всего. Материал подготовлен по демоверсиям КИМ и открытым банкам заданий ФИПИ.
- [ЕГЭ, задание 9: Задачи с графиками: размерности и физический смысл](https://shkolniygid.ru/ege/matematika-profil/zadanie-9-razmernosti-i-grafiki/): На рисунке график зависимости: температура от времени, расход воды от минуты, путь от часа. Спрашивают значение в точке, скорость изменения или длительность периода. Половина задачи — правильно снять числа с осей и не перепутать, что на какой оси и в каких единицах. Материал подготовлен по демоверсиям КИМ и открытым банкам заданий ФИПИ.
- [ЕГЭ, задание 10: Вероятности сложных событий](https://shkolniygid.ru/ege/matematika-profil/zadanie-10-teoriya-veroyatnostej-slozhnaya/): Событие состоит из нескольких шагов: два выстрела, две лампочки, два звонка продавцу. Правил немного: независимые события умножай, «хотя бы одно» считай через противоположное, «ровно один» собирай из двух вариантов. Дальше — аккуратная арифметика с десятичными дробями. Материал подготовлен по демоверсиям КИМ и открытым банкам заданий ФИПИ.
- [ЕГЭ, задание 11: Функции: анализ графиков](https://shkolniygid.ru/ege/matematika-profil/zadanie-11-funkcii-i-grafiki-ege/): Тебе показывают график — прямой, гиперболы или параболы — и просят коэффициент. Всё решают две точные точки: подставил, составил уравнение, выразил нужное. Ошибаются здесь не в математике, а в невнимательном чтении клеток. Материал подготовлен по демоверсиям КИМ и открытым банкам заданий ФИПИ.
- [ЕГЭ, задание 12: Планиметрия: вписанные и описанные фигуры](https://shkolniygid.ru/ege/matematika-profil/zadanie-12-planimetriya-zadacha-12/): Круг и многоугольник связаны жёсткими правилами: вписанная окружность касается всех сторон изнутри, описанная проходит через все вершины. Задание сводится к одной формуле и одному действию. Первое дело — понять, о какой окружности речь. Материал подготовлен по демоверсиям КИМ и открытым банкам заданий ФИПИ.
- [ЕГЭ, задание 13: Стереометрия: объёмы и сечения](https://shkolniygid.ru/ege/matematika-profil/zadanie-13-stereometriya-zadacha-13/): Куб, цилиндр, конус и шар меняют объём по-разному: высота влияет линейно, радиус основания — квадратично, у шара радиус вообще в кубе. Тяжёлых вычислений тут нет, но есть ловушка в словах «увеличили в» и «уменьшили в». Выписывай формулу и следи за степенью. Материал подготовлен по демоверсиям КИМ и открытым банкам заданий ФИПИ.
- [ЕГЭ, задание 14: Неравенства (краткий ответ)](https://shkolniygid.ru/ege/matematika-profil/zadanie-14-neravenstva-zadacha-14/): Неравенство первой части решается методом интервалов и одной табличной ловушкой — основанием меньше единицы. В ответе почти всегда просят конкретное число: наибольшее или наименьшее целое решение либо их количество. Перечитай вопрос перед записью ответа. Материал подготовлен по демоверсиям КИМ и открытым банкам заданий ФИПИ.
- [ЕГЭ, задание 15: Финансовая математика: вклады и кредиты](https://shkolniygid.ru/ege/matematika-profil/zadanie-15-finansovaya-matematika/): Самая «денежная» задача второй части: вклад с капитализацией, кредит с равными (аннуитетными) платежами или долг, который гасят по годовой схеме. Даётся 1 первичный балл, поэтому решение должно быть коротким: таблица по годам и коэффициент роста вместо длинных выкладок. Материал подготовлен по демоверсиям КИМ и открытым банкам заданий ФИПИ.
- [ЕГЭ, задание 16: Планиметрия с доказательством](https://shkolniygid.ru/ege/matematika-profil/zadanie-16-planimetriya-dokazatelstva/): Геометрия на два балла: в пункте а) доказывают (подобие, равенство углов, свойство касательной или медианы), в пункте б) находят длину, площадь или отношение. Баллы снимают за пропущенные обоснования, поэтому каждый шаг нужно подпитывать названием факта. Материал подготовлен по демоверсиям КИМ и открытым банкам заданий ФИПИ.
- [ЕГЭ, задание 17: Задача с параметром (уравнения и неравенства)](https://shkolniygid.ru/ege/matematika-profil/zadanie-17-parametr-zadacha/): Уравнение или неравенство, где кроме x есть параметр a. Стандартный формат: а) решить при конкретном значении параметра, б) найти все a, при которых выполнено свойство — например, ровно один корень. Здесь баллы дают не за вычисления, а за полный перебор случаев. Материал подготовлен по демоверсиям КИМ и открытым банкам заданий ФИПИ.
- [ЕГЭ, задание 18: Числа и их свойства (делимость и прогрессии)](https://shkolniygid.ru/ege/matematika-profil/zadanie-18-chisla-i-ih-svojstva/): Олимпиадная арифметика: деление с остатком, делимость, прогрессии, уравнения в натуральных числах. Типовой сценарий: а) привести пример, б) найти все варианты или доказать утверждение. Перебор «наугад» здесь не работает — работает система: разложение на множители, остатки, симметричные обозначения. Материал подготовлен по демоверсиям КИМ и открытым банкам заданий ФИПИ.
- [ЕГЭ, задание 19: Задача на смекалку (числа и последовательности)](https://shkolniygid.ru/ege/matematika-profil/zadanie-19-smyslennaya-zadacha/): Финальная задача на логику: а) построить пример, б) доказать оценку — что лучше, чем найденное, быть не может, и указать, когда максимум достигается. Формул почти нет, зато есть чёткая структура ответа: пример с проверкой, оценка, достижение. Материал подготовлен по демоверсиям КИМ и открытым банкам заданий ФИПИ.

### ОГЭ

#### ОГЭ, matematika — 25 заданий

- [ОГЭ, задание 1: Числа и вычисления: дроби, степени, проценты](https://shkolniygid.ru/oge/matematika/zadanie-1-oge-math-chisla-i-vychisleniya/): Первый блок ОГЭ по математике — числа и вычисления: обыкновенные и десятичные дроби, степени, проценты, порядок действий. Формат — краткий ответ: считаешь и вписываешь число. Дроби и проценты встречаются почти в каждом варианте, поэтому именно на них стоит набить руку до автоматизма. Материал подготовлен по демоверсиям КИМ и открытым банкам заданий ФИПИ.
- [ОГЭ, задание 2: Числовые неравенства, координатная прямая](https://shkolniygid.ru/oge/matematika/zadanie-2-oge-math-chislovye-neravenstva/): Здесь проверяют умение сравнивать числа и оценивать их положение на прямой: между какими целыми лежит корень, сколько целых чисел в промежутке, как ведёт себя неравенство при умножении. Задания короткие, но требуют привычки: оценить, прикинуть, проверить граничные точки. Материал подготовлен по демоверсиям КИМ и открытым банкам заданий ФИПИ.
- [ОГЭ, задание 3: Уравнения и неравенства](https://shkolniygid.ru/oge/matematika/zadanie-3-oge-math-uravneniya-i-neravenstva/): Классика ОГЭ: линейные и квадратные уравнения, простые неравенства. От тебя ждут корень (или корни) в виде краткого ответа. Здесь работает алгоритм, а не везение: перенос слагаемых, упрощение, дискриминант — и обязательная проверка подстановкой. Материал подготовлен по демоверсиям КИМ и открытым банкам заданий ФИПИ.
- [ОГЭ, задание 4: Графики функций: прямая, парабола, гипербола](https://shkolniygid.ru/oge/matematika/zadanie-4-oge-math-grafiki-funkcij/): Задание про графики: тебе покажут картинки прямых, парабол и гипербол и попросят сопоставить их с формулами или ответить на вопрос по графику. Вся логика сводится к трём видам функций и знакам коэффициентов: k наклоняет прямую, a открывает параболу вверх или вниз, знак k гиперболы решает, в каких четвертях живут её ветви. Материал подготовлен по демоверсиям КИМ и открытым банкам заданий ФИПИ.
- [ОГЭ, задание 5: Текстовые задачи: движение и работа](https://shkolniygid.ru/oge/matematika/zadanie-5-oge-math-tekstovye-zadachi/): Задание 5 — это короткая практическая задача: движение навстречу или вдогонку, движение по реке, совместная работа. Всё решается в одно-два действия по базовым формулам пути и работы. Балл теряют не из-за сложности, а из-за невнимательного чтения: кто с кем сближается, куда течёт река и что именно спрашивают. Материал подготовлен по демоверсиям КИМ и открытым банкам заданий ФИПИ.
- [ОГЭ, задание 6: Последовательности и прогрессии](https://shkolniygid.ru/oge/matematika/zadanie-6-oge-math-progressii/): Задание 6 проверяет работу с последовательностями: чаще всего это арифметическая или геометрическая прогрессия, заданная несколькими членами или формулой n-го члена. Нужно найти следующий член, разность, знаменатель или член с данным номером. Решение почти всегда занимает одно-два действия. Материал подготовлен по демоверсиям КИМ и открытым банкам заданий ФИПИ.
- [ОГЭ, задание 7: Алгебраические преобразования](https://shkolniygid.ru/oge/matematika/zadanie-7-oge-math-preobrazovaniya/): В задании 7 нужно упростить выражение и вычислить его значение: работают формулы сокращённого умножения, свойства степеней и арифметических корней. Обычно после верного упрощения всё громоздкое сокращается и остаётся простое число. Главная ловушка — начать подставлять числа до упрощения. Материал подготовлен по демоверсиям КИМ и открытым банкам заданий ФИПИ.
- [ОГЭ, задание 8: Неравенства и выбор утверждений](https://shkolniygid.ru/oge/matematika/zadanie-8-oge-math-neravenstva-vybor/): Задание 8 проверяет умение решать неравенства и оценивать утверждения о числах: сравнивать, отмечать промежутки на прямой, выбирать верное высказывание из списка. Часто достаточно подставить удобные числа и проверить каждое утверждение по очереди. Ответом может быть число — например, наибольшее целое решение. Материал подготовлен по демоверсиям КИМ и открытым банкам заданий ФИПИ.
- [ОГЭ, задание 9: Геометрия: треугольники](https://shkolniygid.ru/oge/matematika/zadanie-9-oge-math-treugolniki-vychisleniya/): Задание 9 открывает геометрический блок: треугольники, их углы, стороны, площади и средние линии. Всё решается в одно-два действия по базовым формулам — сумма углов, теорема Пифагора, площадь через основание и высоту. Внимательно определи, какие элементы даны: от этого зависит выбор формулы. Материал подготовлен по демоверсиям КИМ и открытым банкам заданий ФИПИ.
- [ОГЭ, задание 10: Вероятность и статистика](https://shkolniygid.ru/oge/matematika/zadanie-10-oge-math-veroyatnost/): Задание 10 — это классическая вероятность и элементы статистики: отношение благоприятных исходов ко всем исходам, среднее арифметическое, мода и размах. Вычисления простые, а ошибки почти всегда в подсчёте исходов. Внимательно выдели из текста, что считать благоприятным, а что — общим числом вариантов. Материал подготовлен по демоверсиям КИМ и открытым банкам заданий ФИПИ.
- [ОГЭ, задание 11: Практические расчёты: тарифы, скидки, обмен](https://shkolniygid.ru/oge/matematika/zadanie-11-oge-math-raschety-bytovye/): Задание 11 — прикладная арифметика: тарифы сотовых операторов, скидки в магазине, курсы обмена валюты, расценки двух мастеров. Нужно посчитать стоимость каждого варианта по условию и выбрать выгодный. Балл чаще всего теряют на процентах: считают их не от той суммы или путают, прибавлять их или вычитать. Материал подготовлен по демоверсиям КИМ и открытым банкам заданий ФИПИ.
- [ОГЭ, задание 12: Графики: температура, путь, скорость](https://shkolniygid.ru/oge/matematika/zadanie-12-oge-math-grafiki-temperatura/): Задание 12 — чтение графика: температура за сутки, путь и скорость, зависимость расхода от времени. Ответ почти всегда одно число: наибольшее значение, наименьшее, разность или момент времени. Балл теряют на цене деления: между двумя подписями на оси может прятаться не одна клетка, а две или пять. Материал подготовлен по демоверсиям КИМ и открытым банкам заданий ФИПИ.
- [ОГЭ, задание 13: Последовательности: формулы и прогрессии](https://shkolniygid.ru/oge/matematika/zadanie-13-oge-math-progressii-formuly/): Задание 13 — числовые последовательности: арифметическая прогрессия с формулой aₙ = a₁ + d(n − 1), геометрическая с формулой bₙ = b₁·q^(n−1), иногда последовательность задана готовой формулой вроде aₙ = 3n − 2. Нужно найти конкретный член, разность или знаменатель. Балл теряют на шагах: от первого члена до пятого — четыре шага, а не пять. Материал подготовлен по демоверсиям КИМ и открытым банкам заданий ФИПИ.
- [ОГЭ, задание 14: Алгебраические выражения: степени и корни](https://shkolniygid.ru/oge/matematika/zadanie-14-oge-math-algebra-vyrazheniya/): Задание 14 — упрощение выражений: свойства степеней, арифметические корни, раскрытие скобок, приведение подобных. Ответ — число или короткое выражение. Балл теряют на знаках: минус перед скобкой меняет каждое слагаемое внутри, а показатели степеней при умножении складываются, но никак не умножаются. Материал подготовлен по демоверсиям КИМ и открытым банкам заданий ФИПИ.
- [ОГЭ, задание 15: Неравенства: линейные и квадратные](https://shkolniygid.ru/oge/matematika/zadanie-15-oge-math-neravenstva-grafik/): Задание 15 — неравенства: линейные вида 5 − 2x ≤ 11 и квадратные, где на помощь приходит график параболы. Ответ — промежуток или его номер в вариантах. Балл теряют в двух местах: забывают перевернуть знак при делении на отрицательное число и включают корни в ответ там, где неравенство строгое. Материал подготовлен по демоверсиям КИМ и открытым банкам заданий ФИПИ.
- [ОГЭ, задание 16: Треугольники: углы, теорема Пифагора, площади](https://shkolniygid.ru/oge/matematika/zadanie-16-oge-math-treugolniki-raschet/): Задание 16 — первый шаг геометрии в ОГЭ: в треугольнике ищут угол через сумму углов, сторону через теорему Пифагора или площадь через основание и высоту. Схема всегда одна: вспомнить факт, подставить числа, посчитать. Балл чаще всего теряют, когда при вычислении площади забывают поделить пополам или ищут гипотенузу как сумму катетов вместо суммы их квадратов. Материал подготовлен по демоверсиям КИМ и открытым банкам заданий ФИПИ.
- [ОГЭ, задание 17: Окружности: касательные, вписанные углы, длины](https://shkolniygid.ru/oge/matematika/zadanie-17-oge-math-okruzhnosti/): Задание 17 — про окружности: касательная и радиус образуют прямой угол, вписанный угол вдвое меньше центрального, длина окружности и площадь круга считаются через π. Всё решение укладывается в одно-два действия с одной из этих связок. Балл теряют, когда приравнивают вписанный и центральный углы или ищут отрезок касательной «на глаз», не заметив прямоугольный треугольник. Материал подготовлен по демоверсиям КИМ и открытым банкам заданий ФИПИ.
- [ОГЭ, задание 18: Четырёхугольники: параллелограмм, трапеция, площади](https://shkolniygid.ru/oge/matematika/zadanie-18-oge-math-chetyrehugolniki/): Задание 18 — четырёхугольники: площадь параллелограмма и трапеции, периметр ромба, диагональ прямоугольника по теореме Пифагора, углы через сумму 360°. Формулы короткие, но у каждой своя «половина» или своя сумма. Балл чаще всего теряют на трапеции: складывают основания, но забывают поделить на два, или умножают на боковую сторону вместо высоты. Материал подготовлен по демоверсиям КИМ и открытым банкам заданий ФИПИ.
- [ОГЭ, задание 19: Выбор верных утверждений: геометрия](https://shkolniygid.ru/oge/matematika/zadanie-19-oge-math-vybor-utverzhdeniy/): Задание 19 — единственное в геометрическом блоке без вычислений в ответе: даны утверждения, из которых нужно выбрать верное или оценить одно утверждение как верное либо неверное. Работает подстановка конкретных чисел и три опорных факта: сумма углов треугольника, теорема Пифагора, площадь. Балл теряют на слове «любой»: утверждение, верное для одного треугольника, автоматически переносят на все. Материал подготовлен по демоверсиям КИМ и открытым банкам заданий ФИПИ.
- [ОГЭ, задание 20: Уравнение, неравенство или их системы](https://shkolniygid.ru/oge/matematika/zadanie-20-oge-m20-uravneniya-neravenstva/): Задание 20 — развёрнутое решение уравнения, неравенства или системы: чаще всего это дробно-рациональное уравнение либо система из линейного и квадратного уравнения. За полное верное решение дают 2 балла. Типовая потеря балла — посторонний корень, который не проверили по ОДЗ: весь ход решения верный, а ответ в итоге неверный. Материал подготовлен по демоверсиям КИМ и открытым банкам заданий ФИПИ.
- [ОГЭ, задание 21: Текстовая задача на движение, работу и проценты](https://shkolniygid.ru/oge/matematika/zadanie-21-oge-m21-tekstovaya-zadacha/): Задание 21 — текстовая задача на движение, совместную работу или проценты, которая сводится к уравнению с одной переменной, часто квадратному. Нужно не только решить уравнение, но и отбросить корни, не подходящие по смыслу, и ответить ровно на тот вопрос, что задан. Типовая потеря балла — в ответ записывают промежуточную величину вместо искомой или оставляют отрицательную скорость. Материал подготовлен по демоверсиям КИМ и открытым банкам заданий ФИПИ.
- [ОГЭ, задание 22: Построение графика функции](https://shkolniygid.ru/oge/matematika/zadanie-22-oge-m22-grafik-funkcii/): Задание 22 — построение графика функции: парабола с модулем, гипербола или кусочно-заданная функция, а затем вопросы о её свойствах: нули, наибольшее и наименьшее значение, промежутки знакопостоянства. График строится по вычисленным точкам с асимптотами, а не по общим соображениям. Типовая потеря — кривая от руки «на глазок» без контрольных точек: за это снимают балл даже при верных идеях. Материал подготовлен по демоверсиям КИМ и открытым банкам заданий ФИПИ.
- [ОГЭ, задание 23: Геометрическая задача на вычисление](https://shkolniygid.ru/oge/matematika/zadanie-23-oge-m23-geometriya-vychislenie/): Задание 23 — расчётная планиметрия: углы, площади, подобие, Пифагор в одной-двух комбинациях. Решение оформляется с обоснованием каждого шага, а не только числом в бланке. Типовая потеря балла — верный ответ без ссылок на теоремы: эксперт снимает балл, если из записи не видно, откуда взялось каждое равенство. Материал подготовлен по демоверсиям КИМ и открытым банкам заданий ФИПИ.
- [ОГЭ, задание 24: Геометрическая задача на доказательство](https://shkolniygid.ru/oge/matematika/zadanie-24-oge-m24-geometriya-dokazatelstvo/): Задание 24 — чистое доказательство: равенство или подобие треугольников, свойства равнобедренного треугольника, отрезки и углы. Здесь оценивается логическая цепочка, а не вычисления. Типовая потеря балла — пропущенное звено: вертикальные углы или общую сторону считают очевидными и не упоминают, а без них признак равенства применён незаконно. Материал подготовлен по демоверсиям КИМ и открытым банкам заданий ФИПИ.
- [ОГЭ, задание 25: Практическая геометрическая задача](https://shkolniygid.ru/oge/matematika/zadanie-25-oge-m25-geometriya-slozhnaya/): Задание 25 собирает фигуру из нескольких объектов: окружность с касательной или вписанным углом, трапеция с высотой, комбинация треугольника и круга. Почти всегда спасает одно дополнительное построение: радиус в точку касания или высота в трапеции. Типовая потеря балла — забыть, что радиус перпендикулярен касательной, и не заметить прямоугольный треугольник, из которого всё считается. Материал подготовлен по демоверсиям КИМ и открытым банкам заданий ФИПИ.

## Калькуляторы

- [Калькулятор объёма](https://shkolniygid.ru/calc/obemy/): Выбираешь тело, вводишь размеры — получаешь объём в кубических сантиметрах и литрах с формулой и подстановкой по шагам.
- [Калькулятор объёма пирамиды и конуса](https://shkolniygid.ru/calc/obyom-piramidy/): Три режима: объём пирамиды с треугольным, квадратным или готовым основанием, объём конуса с образующей и боковой поверхностью, проверка «призма против пирамиды» — одна и та же треть на живых числах. Подстановка по шагам, палатка-шалаш и рожок мороженого, ловушки с высотой и радиусом.
- [Калькулятор окружности и круга](https://shkolniygid.ru/calc/okruzhnost/): Длина окружности и площадь круга по радиусу или диаметру, длина дуги и площадь сектора по центральному углу. Ответ в точной π-форме и в десятичном виде, шаги решения и таблица значений.
- [Калькулятор теоремы Пифагора](https://shkolniygid.ru/calc/pifagor/): Находит гипотенузу по двум катетам или второй катет по гипотенузе: формула с твоими числами, извлечение корня, проверка треугольника и пифагоровы тройки.
- [Калькулятор площади треугольника](https://shkolniygid.ru/calc/ploshad-treugolnika/): Три способа: основание с высотой, формула Герона по трём сторонам и две стороны с углом. Каждый шаг решения с формулой и проверкой неравенства треугольника.
- [Калькулятор теоремы косинусов](https://shkolniygid.ru/calc/teorema-kosinusov/): Вводишь две стороны и угол — получаешь третью сторону, оба оставшихся угла и площадь; вводишь три стороны — получаешь все три угла и площадь по Герону со сверкой и проверкой неравенства треугольника.
- [Калькулятор теоремы синусов](https://shkolniygid.ru/calc/teorema-sinusov/): Вводишь сторону и два угла — получаешь третий угол, обе неизвестные стороны, радиус описанной окружности и площадь; вводишь сторону и её противолежащий угол — получаешь радиус и диаметр описанной окружности за один шаг.
- [Калькулятор синуса, косинуса и тангенса](https://shkolniygid.ru/calc/trigonometriya/): Вводишь угол — получаешь sin, cos и tg со всеми пограничными случаями вроде тангенса 90°, вводишь две стороны — получаешь третью и оба острых угла с проверкой по теореме Пифагора.
- [Калькулятор угла между векторами](https://shkolniygid.ru/calc/ugol-mezhdu-vektorami/): Три режима: угол между векторами в градусах с классификацией, скалярное произведение со смыслом знака и проверка перпендикулярности с коллинеарностью. Длины, косинус и подстановка чисел по шагам.
- [Калькулятор векторов на плоскости](https://shkolniygid.ru/calc/vektory/): Вводишь четыре координаты — получаешь длины векторов, сумму и разность, скалярное произведение, угол в градусах, статус коллинеарности и перпендикулярности плюс график со стрелками и параллелограммом сложения.

## Гайды

- [Как подготовиться к ОГЭ по математике: 3 месяца](https://shkolniygid.ru/guides/kak-podgotovitsya-k-oge-po-matematike/): Три месяца по плану закрывают и алгебру, и геометрию — потому что ОГЭ проверяет повторяющиеся типы задач. Внутри структура экзамена, план по неделям, алгоритм работы и ловушки второй части.
- [Шпаргалка по геометрии за 9 класс: планиметрия к ОГЭ](https://shkolniygid.ru/guides/shpargalka-geometriya-9/): Планиметрия девятого класса на одной странице: теоремы синусов и косинусов, четыре формулы площади треугольника, четырёхугольники, окружность, векторы и метод координат. Таблицы фактов, ловушки ОГЭ и недельный план повторения.
- [Как решать задачи по геометрии: алгоритм для 7-11 классов](https://shkolniygid.ru/guides/kak-reshat-zadachi-po-geometrii/): Универсальный алгоритм решения задач по геометрии для 7-11 классов: чертёж, поиск связующего факта, дополнительные построения и карта типовых ловушек каждого года обучения.
- [Шпаргалка по геометрии за 8 класс: все формулы в таблицах](https://shkolniygid.ru/guides/shpargalka-geometriya-8/): Весь курс геометрии восьмого класса в четырёх таблицах: четырёхугольники и их признаки, площади, пифагоровы тройки, подобие и окружность — с ловушками, на которых теряют баллы.
- [Шпаргалка по математике 7 класс: все формулы алгебры и геометрии](https://shkolniygid.ru/guides/shpargalka-matematika-7/): Вся математика седьмого класса в таблицах: степени и одночлены, формулы сокращённого умножения, уравнения и графики, углы и треугольники. Каждая формула — с колонкой «где ошибаются».
- [Как решать задачи на теорему Пифагора: пошаговый метод](https://shkolniygid.ru/guides/kak-reshat-zadachi-na-teoremu-pifagora/): Один алгоритм для всех задач на Пифагора: найди прямой угол, определи гипотенузу, выбери сложение или вычитание квадратов. Пифагоровы тройки для экономии времени и разборы с числами.
- [Как решать задачи на объёмы: призма, цилиндр, шар](https://shkolniygid.ru/guides/kak-reshat-zadachi-na-objomy/): Пять формул объёма, которые покрывают всю школьную программу, переходы через подобие в кубе и перевод в литры. Два разбора с числами и ловушки на радиусе, высоте и апофеме.
- [Шпаргалка по геометрии за 9 класс: планиметрия ОГЭ](https://shkolniygid.ru/guides/shpargalka-geometriya-9-oge/): Планиметрия девятого класса к ОГЭ в таблицах: площади всех фигур, теоремы синусов и косинусов, вписанные и описанные окружности, векторы с координатами и движения. Формула плюс пояснение, когда её выбирать.
- [Как решать задачи на объём пирамиды: формулы и разборы](https://shkolniygid.ru/guides/kak-reshat-zadachi-na-objom-piramidy/): Один алгоритм для пирамиды и конуса: найди площадь основания, умножь на высоту, возьми треть. Два разбора с числами, таблица формул и ловушки с апофемой, ребром и образующей.
- [Как подготовиться к ЕГЭ по математике: план на год](https://shkolniygid.ru/guides/kak-podgotovitsya-k-ege-po-matematike/): Года хватает, чтобы пройти путь от «решаю первую часть на тройку» до уверенных 80+, если заниматься по плану, а не хаотично. Разбираем, как распределить темы по месяцам и что делать каждую неделю.

## Термины словаря (219)

Определения — на странице словаря: https://shkolniygid.ru/slovar/geometriya/ (ссылки ниже ведут на якорь нужного термина).

- Стереометрия — https://shkolniygid.ru/slovar/geometriya/#gt-stereometriya
- Аксиома — https://shkolniygid.ru/slovar/geometriya/#gt-aksioma
- Следствие — https://shkolniygid.ru/slovar/geometriya/#gt-sledstvie
- Скрещивающиеся прямые — https://shkolniygid.ru/slovar/geometriya/#gt-skreschivayuschiesya-pryamye
- Линия пересечения — https://shkolniygid.ru/slovar/geometriya/#gt-liniya-peresecheniya
- Признак — https://shkolniygid.ru/slovar/geometriya/#gt-priznak
- Параллельные прямая и плоскость — https://shkolniygid.ru/slovar/geometriya/#gt-parallelnye-pryamaya-i-ploskost
- Признак параллельности — https://shkolniygid.ru/slovar/geometriya/#gt-priznak-parallelnosti
- Средняя линия треугольника — https://shkolniygid.ru/slovar/geometriya/#gt-srednyaya-liniya-treugolnika
- Доказательство от противного — https://shkolniygid.ru/slovar/geometriya/#gt-dokazatelstvo-ot-protivnogo
- Секущая плоскость — https://shkolniygid.ru/slovar/geometriya/#gt-sekuschaya-ploskost
- Перпендикуляр к плоскости — https://shkolniygid.ru/slovar/geometriya/#gt-perpendikulyar-k-ploskosti
- Наклонная — https://shkolniygid.ru/slovar/geometriya/#gt-naklonnaya
- Проекция наклонной — https://shkolniygid.ru/slovar/geometriya/#gt-proekciya-naklonnoy
- Расстояние от точки до плоскости — https://shkolniygid.ru/slovar/geometriya/#gt-rasstoyanie-ot-tochki-do-ploskosti
- Теорема о трёх перпендикулярах — https://shkolniygid.ru/slovar/geometriya/#gt-teorema-o-treh-perpendikulyarah
- Перпендикулярные плоскости — https://shkolniygid.ru/slovar/geometriya/#gt-perpendikulyarnye-ploskosti
- Выпуклый многогранник — https://shkolniygid.ru/slovar/geometriya/#gt-vypuklyy-mnogogrannik
- Правильная пирамида — https://shkolniygid.ru/slovar/geometriya/#gt-pravilnaya-piramida
- Апофема — https://shkolniygid.ru/slovar/geometriya/#gt-apofema
- Развёртка — https://shkolniygid.ru/slovar/geometriya/#gt-razvertka
- Полная поверхность — https://shkolniygid.ru/slovar/geometriya/#gt-polnaya-poverhnost
- Формула Эйлера — https://shkolniygid.ru/slovar/geometriya/#gt-formula-eylera
- Ось вращения — https://shkolniygid.ru/slovar/geometriya/#gt-os-vrascheniya
- Образующая — https://shkolniygid.ru/slovar/geometriya/#gt-obrazuyuschaya
- Осевое сечение — https://shkolniygid.ru/slovar/geometriya/#gt-osevoe-sechenie
- Усечённый конус — https://shkolniygid.ru/slovar/geometriya/#gt-usechennyy-konus
- Большой круг — https://shkolniygid.ru/slovar/geometriya/#gt-bolshoy-krug
- Объём — https://shkolniygid.ru/slovar/geometriya/#gt-obem
- Литр — https://shkolniygid.ru/slovar/geometriya/#gt-litr
- Кубометр — https://shkolniygid.ru/slovar/geometriya/#gt-kubometr
- Плотность — https://shkolniygid.ru/slovar/geometriya/#gt-plotnost
- Подобные тела — https://shkolniygid.ru/slovar/geometriya/#gt-podobnye-tela
- Коэффициент подобия — https://shkolniygid.ru/slovar/geometriya/#gt-koefficient-podobiya
- Координаты вектора — https://shkolniygid.ru/slovar/geometriya/#gt-koordinaty-vektora
- Длина (модуль) вектора — https://shkolniygid.ru/slovar/geometriya/#gt-dlina-modul-vektora
- Коллинеарные векторы — https://shkolniygid.ru/slovar/geometriya/#gt-kollinearnye-vektory
- Скалярное произведение — https://shkolniygid.ru/slovar/geometriya/#gt-skalyarnoe-proizvedenie
- Скалярный квадрат — https://shkolniygid.ru/slovar/geometriya/#gt-skalyarnyy-kvadrat
- Единичный вектор — https://shkolniygid.ru/slovar/geometriya/#gt-edinichnyy-vektor
- Система координат Oxyz — https://shkolniygid.ru/slovar/geometriya/#gt-sistema-koordinat-oxyz
- Начало координат — https://shkolniygid.ru/slovar/geometriya/#gt-nachalo-koordinat
- Аппликата — https://shkolniygid.ru/slovar/geometriya/#gt-applikata
- Направляющий вектор — https://shkolniygid.ru/slovar/geometriya/#gt-napravlyayuschiy-vektor
- Орт — https://shkolniygid.ru/slovar/geometriya/#gt-ort
- Нулевой вектор — https://shkolniygid.ru/slovar/geometriya/#gt-nulevoy-vektor
- Двугранный угол — https://shkolniygid.ru/slovar/geometriya/#gt-dvugrannyy-ugol
- Грань двугранного угла — https://shkolniygid.ru/slovar/geometriya/#gt-gran-dvugrannogo-ugla
- Ребро — https://shkolniygid.ru/slovar/geometriya/#gt-rebro
- Линейный угол — https://shkolniygid.ru/slovar/geometriya/#gt-lineynyy-ugol
- Ортогональная проекция — https://shkolniygid.ru/slovar/geometriya/#gt-ortogonalnaya-proekciya
- Призма — https://shkolniygid.ru/slovar/geometriya/#gt-prizma
- Прямая призма — https://shkolniygid.ru/slovar/geometriya/#gt-pryamaya-prizma
- Наклонная призма — https://shkolniygid.ru/slovar/geometriya/#gt-naklonnaya-prizma
- Правильная призма — https://shkolniygid.ru/slovar/geometriya/#gt-pravilnaya-prizma
- Боковое ребро — https://shkolniygid.ru/slovar/geometriya/#gt-bokovoe-rebro
- Перпендикулярное сечение — https://shkolniygid.ru/slovar/geometriya/#gt-perpendikulyarnoe-sechenie
- Высота пирамиды — https://shkolniygid.ru/slovar/geometriya/#gt-vysota-piramidy
- Двугранный угол при основании — https://shkolniygid.ru/slovar/geometriya/#gt-dvugrannyy-ugol-pri-osnovanii
- Радиус вписанной окружности основания — https://shkolniygid.ru/slovar/geometriya/#gt-radius-vpisannoy-okruzhnosti-osnovaniya
- Тело вращения — https://shkolniygid.ru/slovar/geometriya/#gt-telo-vrascheniya
- Цилиндр — https://shkolniygid.ru/slovar/geometriya/#gt-cilindr
- Конус — https://shkolniygid.ru/slovar/geometriya/#gt-konus
- Сфера и шар — https://shkolniygid.ru/slovar/geometriya/#gt-sfera-i-shar
- Правильный многогранник — https://shkolniygid.ru/slovar/geometriya/#gt-pravilnyy-mnogogrannik
- Платоновы тела — https://shkolniygid.ru/slovar/geometriya/#gt-platonovy-tela
- Тетраэдр — https://shkolniygid.ru/slovar/geometriya/#gt-tetraedr
- Двойственные тела — https://shkolniygid.ru/slovar/geometriya/#gt-dvoystvennye-tela
- Теорема Эйлера — https://shkolniygid.ru/slovar/geometriya/#gt-teorema-eylera
- Выпуклость — https://shkolniygid.ru/slovar/geometriya/#gt-vypuklost
- Сечение — https://shkolniygid.ru/slovar/geometriya/#gt-sechenie
- След плоскости — https://shkolniygid.ru/slovar/geometriya/#gt-sled-ploskosti
- Метод следов — https://shkolniygid.ru/slovar/geometriya/#gt-metod-sledov
- Угол между векторами — https://shkolniygid.ru/slovar/geometriya/#gt-ugol-mezhdu-vektorami
- Сонаправленные векторы — https://shkolniygid.ru/slovar/geometriya/#gt-sonapravlennye-vektory
- Движение — https://shkolniygid.ru/slovar/geometriya/#gt-dvizhenie
- Центральная симметрия — https://shkolniygid.ru/slovar/geometriya/#gt-centralnaya-simmetriya
- Осевая симметрия — https://shkolniygid.ru/slovar/geometriya/#gt-osevaya-simmetriya
- Зеркальная симметрия — https://shkolniygid.ru/slovar/geometriya/#gt-zerkalnaya-simmetriya
- Параллельный перенос — https://shkolniygid.ru/slovar/geometriya/#gt-parallelnyy-perenos
- Основание наклонной — https://shkolniygid.ru/slovar/geometriya/#gt-osnovanie-naklonnoy
- Проекция точки — https://shkolniygid.ru/slovar/geometriya/#gt-proekciya-tochki
- Ребро двугранного угла — https://shkolniygid.ru/slovar/geometriya/#gt-rebro-dvugrannogo-ugla
- Расстояние от точки до прямой — https://shkolniygid.ru/slovar/geometriya/#gt-rasstoyanie-ot-tochki-do-pryamoy
- Расстояние между параллельными плоскостями — https://shkolniygid.ru/slovar/geometriya/#gt-rasstoyanie-mezhdu-parallelnymi-ploskost
- Общий перпендикуляр — https://shkolniygid.ru/slovar/geometriya/#gt-obschiy-perpendikulyar
- Окружность — https://shkolniygid.ru/slovar/geometriya/#gt-okruzhnost
- Круг — https://shkolniygid.ru/slovar/geometriya/#gt-krug
- Дуга — https://shkolniygid.ru/slovar/geometriya/#gt-duga
- Круговой сектор — https://shkolniygid.ru/slovar/geometriya/#gt-krugovoy-sektor
- Хорда — https://shkolniygid.ru/slovar/geometriya/#gt-horda
- Число π — https://shkolniygid.ru/slovar/geometriya/#gt-chislo
- Правильный многоугольник — https://shkolniygid.ru/slovar/geometriya/#gt-pravilnyy-mnogougolnik
- Центральный угол — https://shkolniygid.ru/slovar/geometriya/#gt-centralnyy-ugol
- Описанная окружность — https://shkolniygid.ru/slovar/geometriya/#gt-opisannaya-okruzhnost
- Вписанная окружность — https://shkolniygid.ru/slovar/geometriya/#gt-vpisannaya-okruzhnost
- Полупериметр — https://shkolniygid.ru/slovar/geometriya/#gt-poluperimetr
- Образ — https://shkolniygid.ru/slovar/geometriya/#gt-obraz
- Ось симметрии — https://shkolniygid.ru/slovar/geometriya/#gt-os-simmetrii
- Центр симметрии — https://shkolniygid.ru/slovar/geometriya/#gt-centr-simmetrii
- Вектор переноса — https://shkolniygid.ru/slovar/geometriya/#gt-vektor-perenosa
- Гомотетия — https://shkolniygid.ru/slovar/geometriya/#gt-gomotetiya
- Задача на построение — https://shkolniygid.ru/slovar/geometriya/#gt-zadacha-na-postroenie
- Раствор циркуля — https://shkolniygid.ru/slovar/geometriya/#gt-rastvor-cirkulya
- Засечка — https://shkolniygid.ru/slovar/geometriya/#gt-zasechka
- Серединный перпендикуляр — https://shkolniygid.ru/slovar/geometriya/#gt-seredinnyy-perpendikulyar
- Биссектриса — https://shkolniygid.ru/slovar/geometriya/#gt-bissektrisa
- Перпендикуляр — https://shkolniygid.ru/slovar/geometriya/#gt-perpendikulyar
- Неравенство треугольника — https://shkolniygid.ru/slovar/geometriya/#gt-neravenstvo-treugolnika
- Вырожденный треугольник — https://shkolniygid.ru/slovar/geometriya/#gt-vyrozhdennyy-treugolnik
- Противолежащий угол — https://shkolniygid.ru/slovar/geometriya/#gt-protivolezhaschiy-ugol
- Коридор третьей стороны — https://shkolniygid.ru/slovar/geometriya/#gt-koridor-tretey-storony
- Гипотенуза — https://shkolniygid.ru/slovar/geometriya/#gt-gipotenuza
- Жёсткость треугольника — https://shkolniygid.ru/slovar/geometriya/#gt-zhestkost-treugolnika
- Синус угла — https://shkolniygid.ru/slovar/geometriya/#gt-sinus-ugla
- Косинус угла — https://shkolniygid.ru/slovar/geometriya/#gt-kosinus-ugla
- Тангенс угла — https://shkolniygid.ru/slovar/geometriya/#gt-tangens-ugla
- Прилежащий катет — https://shkolniygid.ru/slovar/geometriya/#gt-prilezhaschiy-katet
- Основное тригонометрическое тождество — https://shkolniygid.ru/slovar/geometriya/#gt-osnovnoe-trigonometricheskoe-tozhdestvo
- Центроид — https://shkolniygid.ru/slovar/geometriya/#gt-centroid
- Ортоцентр — https://shkolniygid.ru/slovar/geometriya/#gt-ortocentr
- Вписанный угол — https://shkolniygid.ru/slovar/geometriya/#gt-vpisannyy-ugol
- Диаметр — https://shkolniygid.ru/slovar/geometriya/#gt-diametr
- Данные элементы — https://shkolniygid.ru/slovar/geometriya/#gt-dannye-elementy
- Исследование — https://shkolniygid.ru/slovar/geometriya/#gt-issledovanie
- Решение треугольника — https://shkolniygid.ru/slovar/geometriya/#gt-reshenie-treugolnika
- Медиана — https://shkolniygid.ru/slovar/geometriya/#gt-mediana
- Третья сторона — https://shkolniygid.ru/slovar/geometriya/#gt-tretya-storona
- Пропорциональные отрезки — https://shkolniygid.ru/slovar/geometriya/#gt-proporcionalnye-otrezki
- Планиметрия — https://shkolniygid.ru/slovar/geometriya/#gt-planimetriya
- Грань — https://shkolniygid.ru/slovar/geometriya/#gt-gran
- Равнобедренный треугольник — https://shkolniygid.ru/slovar/geometriya/#gt-ravnobedrennyy-treugolnik
- Боковые стороны — https://shkolniygid.ru/slovar/geometriya/#gt-bokovye-storony
- Основание — https://shkolniygid.ru/slovar/geometriya/#gt-osnovanie
- Равносторонний треугольник — https://shkolniygid.ru/slovar/geometriya/#gt-ravnostoronniy-treugolnik
- Касательная — https://shkolniygid.ru/slovar/geometriya/#gt-kasatelnaya
- Точка касания — https://shkolniygid.ru/slovar/geometriya/#gt-tochka-kasaniya
- Секущая — https://shkolniygid.ru/slovar/geometriya/#gt-sekuschaya
- Отрезки касательных — https://shkolniygid.ru/slovar/geometriya/#gt-otrezki-kasatelnyh
- Полуокружность — https://shkolniygid.ru/slovar/geometriya/#gt-poluokruzhnost
- Точка — https://shkolniygid.ru/slovar/geometriya/#gt-tochka
- Прямая — https://shkolniygid.ru/slovar/geometriya/#gt-pryamaya
- Отрезок — https://shkolniygid.ru/slovar/geometriya/#gt-otrezok
- Луч — https://shkolniygid.ru/slovar/geometriya/#gt-luch
- Вершина угла — https://shkolniygid.ru/slovar/geometriya/#gt-vershina-ugla
- Градус — https://shkolniygid.ru/slovar/geometriya/#gt-gradus
- Перпендикулярные прямые — https://shkolniygid.ru/slovar/geometriya/#gt-perpendikulyarnye-pryamye
- Параллельные прямые — https://shkolniygid.ru/slovar/geometriya/#gt-parallelnye-pryamye
- Биссектриса угла — https://shkolniygid.ru/slovar/geometriya/#gt-bissektrisa-ugla
- Смежные углы — https://shkolniygid.ru/slovar/geometriya/#gt-smezhnye-ugly
- Вертикальные углы — https://shkolniygid.ru/slovar/geometriya/#gt-vertikalnye-ugly
- Развёрнутый угол — https://shkolniygid.ru/slovar/geometriya/#gt-razvernutyy-ugol
- Теорема — https://shkolniygid.ru/slovar/geometriya/#gt-teorema
- Соответствующие элементы — https://shkolniygid.ru/slovar/geometriya/#gt-sootvetstvuyuschie-elementy
- Угол между сторонами — https://shkolniygid.ru/slovar/geometriya/#gt-ugol-mezhdu-storonami
- Наложение — https://shkolniygid.ru/slovar/geometriya/#gt-nalozhenie
- Периметр — https://shkolniygid.ru/slovar/geometriya/#gt-perimetr
- Порядок записи — https://shkolniygid.ru/slovar/geometriya/#gt-poryadok-zapisi
- Высота — https://shkolniygid.ru/slovar/geometriya/#gt-vysota
- Центр тяжести — https://shkolniygid.ru/slovar/geometriya/#gt-centr-tyazhesti
- Замечательные точки — https://shkolniygid.ru/slovar/geometriya/#gt-zamechatelnye-tochki
- Прилежащие углы — https://shkolniygid.ru/slovar/geometriya/#gt-prilezhaschie-ugly
- Общая сторона — https://shkolniygid.ru/slovar/geometriya/#gt-obschaya-storona
- Ферма — https://shkolniygid.ru/slovar/geometriya/#gt-ferma
- Раскос — https://shkolniygid.ru/slovar/geometriya/#gt-raskos
- Соответствующие углы — https://shkolniygid.ru/slovar/geometriya/#gt-sootvetstvuyuschie-ugly
- Внешний угол — https://shkolniygid.ru/slovar/geometriya/#gt-vneshniy-ugol
- Остроугольный треугольник — https://shkolniygid.ru/slovar/geometriya/#gt-ostrougolnyy-treugolnik
- Тупоугольный треугольник — https://shkolniygid.ru/slovar/geometriya/#gt-tupougolnyy-treugolnik
- Катет — https://shkolniygid.ru/slovar/geometriya/#gt-katet
- Египетский треугольник — https://shkolniygid.ru/slovar/geometriya/#gt-egipetskiy-treugolnik
- Уклон — https://shkolniygid.ru/slovar/geometriya/#gt-uklon
- Равнобедренный прямоугольный треугольник — https://shkolniygid.ru/slovar/geometriya/#gt-ravnobedrennyy-pryamougolnyy-treugolnik
- Признак по гипотенузе и катету — https://shkolniygid.ru/slovar/geometriya/#gt-priznak-po-gipotenuze-i-katetu
- Основание трапеции — https://shkolniygid.ru/slovar/geometriya/#gt-osnovanie-trapecii
- Боковая сторона — https://shkolniygid.ru/slovar/geometriya/#gt-bokovaya-storona
- Средняя линия — https://shkolniygid.ru/slovar/geometriya/#gt-srednyaya-liniya
- Признак фигуры — https://shkolniygid.ru/slovar/geometriya/#gt-priznak-figury
- Ромб — https://shkolniygid.ru/slovar/geometriya/#gt-romb
- Прямоугольник — https://shkolniygid.ru/slovar/geometriya/#gt-pryamougolnik
- Квадрат — https://shkolniygid.ru/slovar/geometriya/#gt-kvadrat
- Равновеликие фигуры — https://shkolniygid.ru/slovar/geometriya/#gt-ravnovelikie-figury
- Равносоставленные фигуры — https://shkolniygid.ru/slovar/geometriya/#gt-ravnosostavlennye-figury
- Сотка — https://shkolniygid.ru/slovar/geometriya/#gt-sotka
- Гектар — https://shkolniygid.ru/slovar/geometriya/#gt-gektar
- Пифагорова тройка — https://shkolniygid.ru/slovar/geometriya/#gt-pifagorova-troyka
- Обратная теорема Пифагора — https://shkolniygid.ru/slovar/geometriya/#gt-obratnaya-teorema-pifagora
- Несоизмеримость — https://shkolniygid.ru/slovar/geometriya/#gt-nesoizmerimost
- Подобные треугольники — https://shkolniygid.ru/slovar/geometriya/#gt-podobnye-treugolniki
- Пропорциональные стороны — https://shkolniygid.ru/slovar/geometriya/#gt-proporcionalnye-storony
- Масштаб — https://shkolniygid.ru/slovar/geometriya/#gt-masshtab
- Радиус — https://shkolniygid.ru/slovar/geometriya/#gt-radius
- Вектор — https://shkolniygid.ru/slovar/geometriya/#gt-vektor
- Модуль вектора — https://shkolniygid.ru/slovar/geometriya/#gt-modul-vektora
- Метод координат — https://shkolniygid.ru/slovar/geometriya/#gt-metod-koordinat
- Теорема косинусов — https://shkolniygid.ru/slovar/geometriya/#gt-teorema-kosinusov
- Теорема синусов — https://shkolniygid.ru/slovar/geometriya/#gt-teorema-sinusov
- Длина окружности — https://shkolniygid.ru/slovar/geometriya/#gt-dlina-okruzhnosti
- Нормаль — https://shkolniygid.ru/slovar/geometriya/#gt-normal
- Перпендикулярность векторов — https://shkolniygid.ru/slovar/geometriya/#gt-perpendikulyarnost-vektorov
- Механическая работа — https://shkolniygid.ru/slovar/geometriya/#gt-mehanicheskaya-rabota
- Уравнение окружности — https://shkolniygid.ru/slovar/geometriya/#gt-uravnenie-okruzhnosti
- Уравнение прямой — https://shkolniygid.ru/slovar/geometriya/#gt-uravnenie-pryamoy
- Точки пересечения — https://shkolniygid.ru/slovar/geometriya/#gt-tochki-peresecheniya
- Взаимное расположение — https://shkolniygid.ru/slovar/geometriya/#gt-vzaimnoe-raspolozhenie
- Определение — https://shkolniygid.ru/slovar/geometriya/#gt-opredelenie
- Аксиоматика — https://shkolniygid.ru/slovar/geometriya/#gt-aksiomatika
- Полуплоскость — https://shkolniygid.ru/slovar/geometriya/#gt-poluploskost
- Общее уравнение прямой — https://shkolniygid.ru/slovar/geometriya/#gt-obschee-uravnenie-pryamoy
- Угловой коэффициент — https://shkolniygid.ru/slovar/geometriya/#gt-uglovoy-koefficient
- Параллельность — https://shkolniygid.ru/slovar/geometriya/#gt-parallelnost
- Перпендикулярность — https://shkolniygid.ru/slovar/geometriya/#gt-perpendikulyarnost
- Точка пересечения — https://shkolniygid.ru/slovar/geometriya/#gt-tochka-peresecheniya
- Метод симметрии — https://shkolniygid.ru/slovar/geometriya/#gt-metod-simmetrii
- Образ точки — https://shkolniygid.ru/slovar/geometriya/#gt-obraz-tochki
- Композиция — https://shkolniygid.ru/slovar/geometriya/#gt-kompoziciya
- Углы падения и отражения — https://shkolniygid.ru/slovar/geometriya/#gt-ugly-padeniya-i-otrazheniya
- Теорема о соотношениях — https://shkolniygid.ru/slovar/geometriya/#gt-teorema-o-sootnosheniyah
- Многогранник — https://shkolniygid.ru/slovar/geometriya/#gt-mnogogrannik

## Смежные разделы

- [Программа по классам](https://shkolniygid.ru/programma/): темы 5–11 класса по всем предметам.
- [Тренажёр ЕГЭ](https://shkolniygid.ru/ege/) и [тренажёр ОГЭ](https://shkolniygid.ru/oge/): разборы всех экзаменационных заданий.
- [Экзамен-таймер](https://shkolniygid.ru/ekzamen/): полный вариант с таймером и разбором ошибок.
- [Все предметные файлы](https://shkolniygid.ru/llms.txt): карта сайта для ИИ-агентов.
- [Общий файл](https://shkolniygid.ru/llms/all.txt): разборы всех экзаменов, гайды, калькуляторы, справочник и словарь.
- [Полный дамп](https://shkolniygid.ru/llms-full.txt): все уроки всех предметов одним файлом (≈2,9 МБ).