# Сложение и вычитание десятичных дробей

> Складываем и вычитаем десятичные дроби на настоящем чеке из магазина: запятая под запятой, разряды, сдача и ловушки, из-за которых расчёты идут вразнос.

**Математика, 5 класс.** Урок бесплатного онлайн-самоучителя «ШкольныйГид». Обновлено: 2026-09-27.

Страница урока: https://shkolniygid.ru/matematika/5-klass/des-drobi-slogenie/

Вот чек из магазина у дома: молоко — 84,90 р., батон — 32,50 р., сыр — 215,40 р. Кассир назвал сумму 332,80 р. Проверить это в уме трудно, а на бумаге — минута дела, если умеешь складывать десятичные дроби. Вычитание там же: дал кассиру 500 р. — сколько сдачи ждать? Этому и научимся: столбиком, быстро и без калькулятора.


Десятичная дробь — запись долей через запятую: $\frac{5}{10} = 0{,}5$, $\frac{3}{100} = 0{,}03$. Правило сложения короткое: запиши числа **запятая под запятой**, допиши нули до одинаковой длины и складывай как натуральные числа. Молоко и батон: $84{,}90 + 32{,}50 = 117{,}40$ р. По сути ты складываешь 8490 и 3250, а запятая стоит на месте — между рублями и копейками. Вычитание то же самое, только наоборот.


| Шаг | Что делаем | Пример |
| --- | --- | --- |
| первый | запиши числа запятая под запятой | для $2{,}8 + 0{,}64$ запятая ставится строго друг под другом |
| второй | уравняй знаки после запятой — допиши нули справа | $2{,}8$ превращается в $2{,}80$ |
| третий | складывай или вычитай как натуральные числа | $280 + 64 = 344$ |
| четвёртый | поставь запятую на прежнее место в ответе | получится $3{,}44$ |


**Считаем сдачу со 100 р.**

1. Покупка стоила 47,85 р. Представляем 100 р. как 100,00 р. — нули в конце не меняют число. — $$100{,}00 - 47{,}85$$
2. Вычитаем как натуральные числа. Из нулей вычитать нечего — занимаем у старших разрядов. — $$10000 - 4785 = 5215$$
3. Ставим запятую на прежнее место: сдача — 52,15 р. Кассир не обсчитал. — $$100 - 47{,}85 = 52{,}15$$


> **Ловушка.** Самая частая ошибка — записать числа столбиком «по правому краю», как целые. Если сложить 2,8 и 0,64 так, выйдет 0,92 — а правильно 3,44. Запятая строго под запятой: 2,80 + 0,64. И не теряй её в ответе: 7 − 0,3 = 6,7, а не 67.


*[Интерактив: Дроби прячутся в единицах — доступен на странице урока]*


*[Интерактив: Верно или нет? — доступен на странице урока]*


Копейки — тоже десятичные доли: рубль — это 100 копеек, значит 50 копеек — 0,5 рубля, а 5 копеек — 0,05. Чек читается как таблица разрядов: 332,80 — это 332 рубля 80 копеек, а 9,99 — девять рублей 99 копеек, а не «девять целых девяносто девять». Прикидка перед вычислением: молоко около 85, батон около 33, сыр около 215 — сумма около 333, и точный ответ 332,80 рядом. Если прикидка и точный расчёт разошлись вдвое — где-то потерялась запятая.


Где ещё понадобится: чеки, счётчики воды и электричества, время спортсменов. Водосчётчик показывает 12,450 кубометра — платишь за 12,45. Бегун пробежал стометровку за 13,8 секунды — десятичная дробь прямо на табло. Каждый раз та же идея: целая часть до запятой, доли после неё.


Про нули на конце: 84,90 и 84,9 — одно и то же число, ноль справа ничего не меняет. А вот 84,09 и 84,9 — разные: первый — 84 рубля 9 копеек, второй — 84 рубля 90 копеек. Разница в 81 копейку выросла из одного нуля. Поэтому в чеках и квитанциях нули после запятой не отбрасывают: 332,80 пишут именно так, чтобы разряды копеек были видны.


> **Совет.** Проверяй вычитание сложением: сдача 52,15 плюс покупка 47,85 — ровно 100,00. Такой взаимопроверкой ловятся заёмы — главные виновники ошибок в столбике. И прикидка: покупка около 50 рублей — сдача около 50. Значит, 52,15 похоже на правду, а 5,215 — нет.


- Три шага столбика с запятой: запиши запятая под запятой
- Уравняй знаки после запятой: допиши нули справа
- Считай как обычные числа, запятую не двигай
- Проверь прикидкой до сотен и сложением после


$$84{,}90 + 32{,}50 = 117{,}40$$

*Запятая под запятой: разряды совпадают*


*[Интерактив: Прикинь чек — доступен на странице урока]*


Сложение десятичных дробей живёт и в спорте. Фигуристка получила 4,8 балла за технику и 4,65 за артистизм — судейская сумма 9,45. Плита весит 3,2 кг, а кастрюля 2,75 кг — вместе 5,95 кг. Складывай разряды: рубли с рублями, копейки с копейками, десятые с десятыми. Если в одном числе меньше знаков, допиши ноль — и столбик встанет ровно.


Большие чеки считаются так же. Покупки на 845,60 р., плюс доставка 199,90 р., плюс пакет 3,50 р. — складывай по очереди: 845,60 + 199,90 = 1045,50, да ещё 3,50 — 1049 р. ровно. Проверь прикидкой: 846 + 200 + 4 = 1050. Совпало с точностью до рубля. Никакой разницы с маленькими числами нет — только больше строк в столбике. А если в чеке акция «третий товар бесплатно» — вычитай самую дешёвую позицию: вот зачем сортировать покупки по цене.


### Разбор типовой задачи


Посчитаем чек из начала урока целиком: молоко 84,90 р., батон 32,50 р., сыр 215,40 р. — и сдача с пятисот рублей.


**Чек и сдача по шагам**

1. Складываем копейки: 90 + 50 + 40 = 180 копеек, то есть 1 р. 80 к.
2. Складываем рубли: 84 + 32 + 215 = 331. Прибавляем переносный рубль: 332 р. 80 к.
3. Итого покупка — 332,80 р.: кассир назвал сумму верно.
4. Сдача: представляем 500 р. как 500,00 и вычитаем столбиком. — $$500{,}00-332{,}80=167{,}20$$
5. Сдача — 167 р. 20 к.
6. Проверка сложением: 332,80 + 167,20 = 500 ровно.


### Вычитание из целого: приём нулей


Из целого числа вычитать дробь удобно через нули: 10 − 3,45 превращается в 10,00 − 3,45 = 6,55. Нули справа ничего не меняют, зато разряды выравниваются. Прогоним ещё раз: 7 − 0,8 = 7,0 − 0,8 = 6,2, а 1 − 0,25 = 1,00 − 0,25 = 0,75. В каждом примере занимаем у целой части, как в обычном столбике с натуральными числами.


Особый случай — сдача с крупной купюры: 1000 − 748,50 = 251,50. Дописал два нуля — и вычитай спокойно. Если страшно запутаться в заёмах, считай в два шага: сначала до круглого числа, потом остаток. От 1000 до 750 — это 250, а от 750 до 748,50 — ещё 1,50, вместе 251,50. Оба пути законны, выбирай тот, что понятнее тебе.


### Счётчик воды: считаем расход


На трубе у входа в квартиру висит счётчик воды, и раз в месяц из нового показания вычитают старое. В начале месяца он показывал 4280,125 кубометра, в конце — 4281,340. Расход: 4281,340 − 4280,125 = 1,215 кубометра. Прикидка перед вычитанием: числа почти равны, значит, расход около единицы — всё сходится.


То же вычитание считает топливо и температуру. В баке было 12,5 литра, стало 8,3 — потратили 4,2 литра. Утром было 21,5 градуса, днём 24,8 — потеплело на 3,3 градуса. Каждый раз запятая под запятой, разряд под разрядом. Умение проверить квитанцию и показания приборов самому — это не «взрослый» навык издалека, а обычный столбик из этого урока.


### Складываем длины: сантиметры и метры вместе


Десятичные дроби живут и на рулетке. Шкаф шириной 84,5 см и тумба 32,25 см — поместятся ли рядом на стене длиной 120 см? Складываем: 84,50 + 32,25 = 116,75 см — влезают, остаётся 3,25 см. Нули здесь дописаны не для красоты: без них сантиметры склеились бы с миллиметрами. А если бы тумба была 35,50 см? 84,50 + 35,50 = 120 — впритык, ни сантиметра запаса.


Тот же вопрос — в состязаниях по прыжкам. Один спортсмен прыгнул на 5,72 м, другой на 5,9 м: кто дальше? Десятые решают: у второго девять десятых против семи — дальше второй, хотя запись 5,72 длиннее. Складывая и сравнивая длины, всегда держи разряды на виду — и рулетка, и секундомер расскажут о разнице ровно то, что есть.


### Словарь урока


**Целая часть** — Число слева от запятой: рубли, метры, килограммы.
**Дробная часть** — Цифры справа от запятой: доли единицы — копейки, сантиметры, граммы.
**Разряд** — Позиция цифры после запятой: первый — десятые, второй — сотые.
**Запятая под запятой** — Условие столбика: разряды должны совпадать, нули дописываются справа.
**Прикидка** — Грубый счёт до расчёта: округли цены и сложи — ответ не должен разойтись сильно.
**Сдача** — Разность между купюрой и покупкой: проверяется сложением.


### Как это спрашивают на контрольной


- Вычисли 7,8 + 2,35: допиши ноль — 7,80 + 2,35 = 10,15
- Вычисли 12 − 3,07: представь 12 как 12,00 — выйдет 8,93
- Покупка 156,40 р., у тебя 200 р. Сколько сдачи? 43,60 р.
- Сравни суммы, не считая: 5,6 + 3,2 или 5,6 + 3,8 — вторая больше
- Найди ошибку: 0,9 + 0,9 = 0,18 — верно 1,8, запятая не туда


В контрольных часто просят «вычисли удобным способом» или «проверь, верно ли равенство». Удобный способ — группировать целые части отдельно и доли отдельно: 2,7 + 3,3 — сразу видно, что доли дают ровно единицу, и сумма 6. Равенство проверяй вычитанием или прикидкой до целых. Ещё любят задания с нулями: допиши недостающие нули и реши — помни, что 4,5 = 4,50, и столбик от этого только ровнее.


Не всякая десятичная запись конечна: при делении столбиком цифры после запятой иногда начинают повторяться — это период. Найти период у дроби или проверить деление можно в калькуляторе периодической дроби /calc/periodic-drob/: он делит в столбик до повторения остатка и показывает непериодическую часть и период, а ещё переводит периодическую запись обратно в обыкновенную дробь.


## Частые вопросы

### Почему при сложении десятичных дробей нельзя просто писать запятую где удобно?

Запятая размечает разряды: десятые к десятым, сотые к сотым. Если запятые не выровнять, сложатся разные разряды и ответ получится неверным.


### Как вычесть из целого числа десятичную дробь?

Представь целое число с нужным количеством нулей: 10 = 10,00. Дальше обычное вычитание столбиком: 10,00 − 4,35 = 5,65.


### Зачем дописывать нули после запятой?

Нули в конце десятичной дроби не меняют её значения: 3,7 = 3,70. Они нужны, чтобы уравнять количество знаков и не спутать разряды.


### Зачем перед расчётом делать прикидку?

Прикидка ловит потерянную запятую раньше калькулятора: ты заранее знаешь, что ответ около 50, а не около 5. Точный столбик и грубая оценка вместе дают гарантию, что сдачу не посчитают в десять раз меньше.


## Проверь себя (вопросы и ответы)

#### Вопрос 1: Вычисли: 3,7 + 2,5.
**Ответ:** 6,2

*Пояснение: Запятая под запятой: 3,70 + 2,50 = 6,20, то есть 6,2.*


#### Вопрос 2: Вычисли: 10 − 4,35.
**Ответ:** 5,65

*Пояснение: 10 — это 10,00. Вычитаем столбиком: 10,00 − 4,35 = 5,65.*


#### Вопрос 3: Как правильно записать сложение 0,7 + 0,45 столбиком?
- ✅ Запятая под запятой: 0,70 + 0,45
- ☐ Цифры по правому краю, как у целых чисел
- ☐ Сложить 7 и 45, запятую дописать в конце

*Пояснение: Разряды должны совпадать: десятые под десятыми, сотые под сотыми. Поэтому запятая — строго под запятой.*


#### Вопрос 4: Верно ли: 0,8 + 0,02 = 0,82?
- ✅ Правда
- ☐ Неправда

*Пояснение: Да: 0,8 — это 0,80, прибавляем 2 сотых и получаем 0,82.*


#### Вопрос 5: Пакет молока весит 0,9 кг, а батон — 0,2 кг. Какова масса покупки (в кг)?
**Ответ:** 1,1

*Пояснение: 0,9 + 0,2 = 1,1 кг.*


#### Вопрос 6: Покупка — 47,85 р. Сколько сдачи дадут со 100 р.?
- ✅ 52,15 р.
- ☐ 52,25 р.
- ☐ 53,15 р.

*Пояснение: 100,00 − 47,85 = 52,15. Проверка: 47,85 + 52,15 = 100.*


#### Вопрос 7: Куда идёт сумма?
- **Больше 100 р.:** 45,50 + 60,25, 99,99 + 0,02
- **Меньше 100 р.:** 12,30 + 45,60, 30,15 + 22,40

*Пояснение: Считаем: 105,75; 57,90; 100,01; 52,55. Коварен третий: чуть-чуть перевалил за сотню.*


#### Вопрос 8: Дополни приём вычитания из целого.
Чтобы вычесть из целого числа дробь, представь его с нулями после **запятой**. Тогда 10 = 10,00 и 10 − 4,35 = **5,65**.

*Пояснение: Нули уравнивают разряды: 10,00 − 4,35 = 5,65. Проверка сложением: 5,65 + 4,35 = 10.*


## Тренажёр

На [странице тренажёра](https://shkolniygid.ru/matematika/5-klass/des-drobi-slogenie/trenazher/) — 3 типов задач с бесконечными вариантами чисел, проверкой ответа и разбором каждого шага.