# Основное свойство дроби. Сокращение дробей

> Основное свойство дроби простыми словами: почему дробь не меняется при умножении числителя и знаменателя на одно число, и как сократить дробь до несократимой.

**Математика, 6 класс.** Урок бесплатного онлайн-самоучителя «ШкольныйГид». Обновлено: 2026-09-29.

Страница урока: https://shkolniygid.ru/matematika/6-klass/osnovnoe-svojstvo-drobi/

Ты съел два куска пиццы, разрезанной на 8 частей, — то есть 2/8. Друг съел один кусок из четырёх — 1/4. Кто съел больше? Никто: 2/8 и 1/4 — одна и та же часть пиццы, просто нарезка разная. Дробь не меняется, если её числитель и знаменатель одновременно умножить или разделить на одно и то же число. Это **основное свойство дроби** — на нём держится и сокращение дробей, и приведение к общему знаменателю, и сравнение.


### Сокращение: делим верх и низ


Разделим числитель и знаменатель дроби 12/18 на 6: получится 2/3. Дробь стала короче, а величина — та же: $\frac{12}{18} = \frac{2}{3}$. Делить можно на любой общий делитель, но быстрее сразу на наибольший — тогда дробь станет **несократимой** и второй раз работать не придётся. У 12 и 18 НОД равен 6, значит 12/18 — это 2/3, и дальше сократить нельзя. Можно и постепенно: 12/18, потом 6/9, потом 2/3 — ответ тот же, просто дольше. Свойство работает и в обратную сторону: умножив верх и низ дроби 2/3 на 5, получим равную ей 10/15.


| Действие с верхом и низом | Дробь изменится? | Пример |
| --- | --- | --- |
| умножить на одно число | нет | $\frac{2}{3} = \frac{10}{15}$ |
| разделить на одно число | нет | $\frac{12}{18} = \frac{2}{3}$ |
| прибавить к обоим числам | да — равенство исчезает | $\frac{2}{3} \neq \frac{3}{4}$ |
| вычеркнуть одинаковые цифры | да — это ошибка | $\frac{24}{34}$ — это $\frac{12}{17}$, а не $\frac{2}{3}$ |


> **Ловушка.** С числителем и знаменателем делают одно и то же — и только умножение или деление. Прибавлять нельзя: 2/3 не равна 3/4, хотя к обоим числам прибавили по 1. И не вычёркивай одинаковые цифры внутри чисел: дробь 24/34 после сокращения на 2 — это 12/17, а вовсе не 2/3. Дели оба числа целиком на один и тот же делитель.


*[Интерактив: Верю — не верю — доступен на странице урока]*


*[Интерактив: Равные дроби — доступен на странице урока]*


Где применяется: дроби на весах и в рецептах. Полкило — это 500 граммов, а ещё 0,5 кг и 1/2 кг: одна величина, три записи. Рецепт требует 3/4 стакана, а стакан отмерен насечками по 1/8 — значит, нужно 6 таких частей. Основное свойство дроби пересчитывает нарезку: умножил верх и низ на 2 — получил ту же величину в более мелких долях. И наоборот: 6/8 частей превращаются в 3/4 без изменения количества.


Сокращай по признакам делимости — быстрее, чем искать НОД наугад. Дробь 84/126: оба чётные — сокращай на 2, выйдет 42/63. Сумма цифр 42 — это 6, сумма 63 — это 9, оба делятся на 3: сокращай на 3, выйдет 14/21. Ещё раз на 7 — 2/3. Три маленьких шага по признакам вместо одного длинного разложения. Ответ тот же, что и через НОД = 42, но считать легче и ошибок меньше.


### Сокращение на практике: цены, время и вес


Скидка в магазине: куртка стоила 4 000 рублей, на распродаже скинули 1 500. Какая часть цены ушла? Получается дробь 1500/4000, и оба числа делятся на 500 — сокращаем: 1500/4000 = 3/8. Покупатель заплатил 5/8 цены. Сокращённая дробь сразу показывает суть скидки, а несокращённая — просто столбик цифр, за которым мысли не видно. По сокращённому виду к тому же легче прикидывать деньги в уме.


Время тоже любит сокращение. Занятие шло 40 минут: какая это часть часа и часть сдвоенного урока в 80 минут? 40/60 = 2/3 часа, а 40/80 = 1/2 учебного блока. Одна и та же величина, разные знаменатели — и сокращение переводит её в удобный вид. Вес считается так же: 250 граммов от килограмма — это 250/1000 = 1/4 кг. Каждый раз делим верх и низ на общий делитель, и дробь становится читаемой.


Проверяй сокращение прикидкой: числитель и знаменатель должны уменьшиться одинаково. Если после деления дробь «похудела» только наполовину — значит, делил не оба числа. Для самопроверки умножай обратно: 3/8 при умножении на 500 возвращает 1500/4000. Обратный ход занимает секунды и мгновенно показывает, на месте ли знаменатель. А ещё сокращённая дробь — экономия в следующих действиях: с 3/8 работать приятнее, чем с 1500/4000.


### Числовой прогон: от 1080/1440 до 3/4


Возьмём дробь 1080/1440 — так выглядит доля страниц, которые ты прочитал в толстой книге. Идём по признакам делимости: оба числа чётные, делим на 2 — 540/720. Снова чётные, ещё на 2 — 270/360. Ещё раз на 2 — 135/180. Теперь суммы цифр: у 135 это 9, у 180 тоже 9 — оба делятся на 9, делим и получаем 15/20. Оба числа оканчиваются на 5 и на 0 — последнее деление на 5 даёт 3/4.


Три шага по двойке, один по девятке, один по пятёрке — пять сокращений, и дробь несократимая: 3 и 4 взаимно простые. Можно было сразу найти НОД(1080, 1440) = 360 и разделить оба числа на 360 — вышло бы то же 3/4 одним ходом. Оба пути честные, ответ одинаковый; выбирай тот, где меньше шансов ошибиться в арифметике. На контрольной удобнее постепенный: каждая строка проверяется признаком делимости, и описку видно сразу.


Закрепи метод на родственной дроби 1080/1600. Оба числа чётные: делим на 2 три раза подряд — 540/800, 270/400, 135/200, дальше на 2 уже не делится. Суммы цифр: у 135 это 9, у 200 это 2 — общего девятки нет, на 9 не сокращаем. А вот пятёрка общая: 135/200 = 27/40. Числа 27 и 40 взаимно простые — дробь несократимая, финиш. Два прогона подряд — и метод сидит в руке сам.


> **Совет.** Несократимость проверяется мгновенно: если числитель и знаменатель взаимно простые — всё, дальше некуда. 3/4, 2/7, 5/9 — готовые ответы. Видишь чётный верх и чётный низ — сокращай на 2 без раздумий; оба оканчиваются на 5 или 0 — сокращай на 5.


- Умножить верх и низ на одно число — можно
- Разделить верх и низ на одно число — можно
- Прибавить одно число к верху и низу — нельзя
- Вычеркнуть одинаковые цифры внутри чисел — нельзя


$$\frac{12}{18} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$$

*Сокращать можно постепенно — результат тот же*


*[Интерактив: Карточки: сокращение дробей — доступен на странице урока]*


### Разбор типовой задачи


**Какую часть часа составляют 48 минут? Сократи дробь до несократимой.**

1. Час — это 60 минут, поэтому 48 минут составляют дробь 48/60. — $$\frac{48}{60}$$
2. Оба числа чётные: делим верх и низ на 2, выходит 24/30. — $$\frac{48}{60} = \frac{24}{30}$$
3. Снова чётные: ещё одно деление на 2 — выходит 12/15. — $$\frac{24}{30} = \frac{12}{15}$$
4. Сумма цифр 12 равна 3, сумма цифр 15 равна 6 — оба делятся на 3. Делим: 4/5. — $$\frac{12}{15} = \frac{4}{5}$$
5. Проверяем несократимость: у 4 и 5 нет общих делителей, кроме 1, — дробь 4/5 несократимая.
6. Ответ: 48 минут — это 4/5 часа. До целого часа не хватает ровно пятой части, то есть 12 минут.


Здесь работает и трюк с НОД: наибольший общий делитель чисел 48 и 60 равен 12, и одно деление обоих чисел на 12 сразу даёт 4/5. Постепенное сокращение по признакам и сокращение через НОД — два пути к одному ответу. На контрольной выбирай тот, что меньше пугает, — результат обязан совпасть. Если не совпал, ищи потерянный шаг: чаще всего сокращают только числитель, а знаменатель остаётся прежним.


### Словарь урока


**Основное свойство дроби** — умножение или деление числителя и знаменателя на одно и то же число не меняет дробь
**Сокращение** — деление числителя и знаменателя на их общий делитель
**Несократимая дробь** — дробь, у которой числитель и знаменатель взаимно простые
**Равные дроби** — разные записи одной величины: 2/8 и 1/4
**Общий делитель** — число, на которое делятся и числитель, и знаменатель
**Дополнительный множитель** — число, на которое умножают верх и низ, чтобы получить новый знаменатель


### Как это спрашивают на контрольной


- Сократи дробь 36/48
- Представь дробь 3/5 в виде дроби со знаменателем 45
- Какую часть суток составляют 9 часов?
- Найди несократимую дробь, равную 84/126
- Объясни, почему дроби 5/7 и 10/14 равны


В задании «сократи» почти всегда ждут несократимый результат — доводи до конца: сократив 84/126 до 42/63, работу не закончишь. В задании «представь в виде» работает основное свойство в обратную сторону — умножай верх и низ на нужное число. А в вопросе «какую часть» сначала составляй дробь: часть делить на целое, и только потом сокращай. Про сутки помни: в них 24 часа, поэтому 9 часов — это ровно три восьмых. И если в задании есть слово «объясни», пиши словами, а не только цифрами: одна фраза про основное свойство обычно и есть полный ответ.


Сокращённая дробь пригодится и в десятичной записи: раздели числитель на знаменатель столбиком — и дробь превратится в десятичную, а у некоторых дробей цифры после запятой начинают повторяться: это период. Проверить себя или найти период у дроби посложнее можно в калькуляторе периодической дроби /calc/periodic-drob/: он делит в столбик до повторения остатка и показывает непериодическую часть и период, а ещё переводит периодическую запись обратно в обыкновенную дробь.


## Частые вопросы

### Почему нельзя прибавлять одно и то же число к числителю и знаменателю?

Дробь — это деление: 2/3 означает «2 разделить на 3». Если к делимому и делителю прибавить по 1, частное меняется: 3/4 уже не равно 2/3. А умножение делимого и делителя на одно число частное не меняет.


### Что такое несократимая дробь?

Это дробь, у которой числитель и знаменатель не имеют общих делителей, кроме 1. Например, 3/4. Чтобы сразу получить такую, сокращай на НОД.


### Зачем сокращать дроби?

С ними проще считать и сравнивать: 2/3 видно сразу, а 216/324 надо ещё разобрать. В ответах учебников дроби принято оставлять несократимыми.


### Обязательно ли сокращать дробь в ответе?

Величина от этого не меняется, но ответ без сокращения на контрольной считается незаконченным. Кроме того, с маленькими числами проще работать в следующих действиях. Сокращай всегда, когда видишь общий делитель, — и доводи до несократимой.


## Проверь себя (вопросы и ответы)

#### Вопрос 1: Сократи дробь $\frac{12}{18}$ и впиши числитель результата.
**Ответ:** 2

*Пояснение: НОД(12, 18) = 6. Делим верх и низ на 6: 12 : 6 = 2, 18 : 6 = 3.*


#### Вопрос 2: Какая дробь равна $\frac{3}{4}$?
- ✅ $\frac{6}{8}$
- ☐ $\frac{4}{5}$
- ☐ $\frac{3}{8}$
- ☐ $\frac{9}{16}$

*Пояснение: 6/8 — это 3/4, умноженная на 2. Остальные — несократимые дроби с другими значениями.*


#### Вопрос 3: Если числитель и знаменатель дроби умножить на 5, значение дроби не изменится.
- ✅ Правда
- ☐ Неправда

*Пояснение: Это и есть основное свойство дроби.*


#### Вопрос 4: На какое наибольшее число можно сократить дробь $\frac{30}{42}$?
**Ответ:** 6

*Пояснение: Наибольшее число — это НОД(30, 42) = 6. После деления получим 5/7.*


#### Вопрос 5: Выбери все дроби, равные $\frac{1}{2}$.
- ✅ $\frac{4}{8}$
- ☐ $\frac{5}{12}$
- ✅ $\frac{7}{14}$
- ☐ $\frac{6}{16}$

*Пояснение: 4/8 и 7/14 сокращаются к 1/2. А 5/12 и 6/16 (это 3/8) — другие числа.*


#### Вопрос 6: Соедини равные дроби.
- 1/3 — 5/15
- 3/5 — 12/20
- 2/7 — 6/21
- 4/9 — 8/18

*Пояснение: Каждая пара — одна дробь до и после умножения или деления числителя и знаменателя на одно число.*


#### Вопрос 7: Сократимая или нет?
- **Сократимая:** 4/6, 8/12, 9/15
- **Несократимая:** 3/7, 2/9, 5/8

*Пояснение: Смотри на общие делители: 4 и 6 делятся на 2, 8 и 12 — на 4, 9 и 15 — на 3. Остальные пары взаимно простые — несократимые.*


#### Вопрос 8: Дополни сокращение.
Дробь 12/18 сократи на **6**, получится 2/3. Эта дробь несократимая: у 2 и 3 нет общих делителей, кроме **1**.

*Пояснение: НОД(12, 18) = 6, а взаимно простые числа отличаются только делителем 1.*


## Тренажёр

На [странице тренажёра](https://shkolniygid.ru/matematika/6-klass/osnovnoe-svojstvo-drobi/trenazher/) — 3 типов задач с бесконечными вариантами чисел, проверкой ответа и разбором каждого шага.