# Проценты: сложные задачи через пропорцию

> Скидка на скидку — это не 35 процентов. Разбираем три типа задач на проценты через одну пропорцию и ловим главную ошибку с базой.

**Математика, 6 класс.** Урок бесплатного онлайн-самоучителя «ШкольныйГид». Обновлено: 2026-09-27.

Страница урока: https://shkolniygid.ru/matematika/6-klass/procenty-6/

Куртка стоила 4800 рублей. На кассе объявляют скидку 25%, а по карте магазина — ещё 10% сверху. Продавец быстро считает: «25 плюс 10 — минус 35 процентов, с вас 3120». Удобно, но так ли складываются скидки? Через пропорцию ты посчитаешь честно за минуту — и увидишь, куда на самом деле уходит разница.


### Пропорция решает любой процент


Любая задача на проценты — это пропорция: всё число принимаем за 100%, дальше крест-накрест. Сколько составляют 25% от 4800 рублей? Составляем: $x=\frac{4800\cdot 25}{100}=1200$ рублей. А сколько процентов составляют 18 рублей от 60? Та же схема, только неизвестно число процентов: $x=\frac{18\cdot 100}{60}=30\%$. Третий тип — найти число по его проценту: 15% от зарплаты составили 900 рублей, ищем всю зарплату: $x=\frac{900\cdot 100}{15}=6000$ рублей. Один шаблон — три типа задач, меняется только место неизвестного.


| Тип задачи | Что дано | Как решать |
| --- | --- | --- |
| найти процент от числа | всё число S и проценты p | $4800 : 100 \cdot 25 = 1200$ |
| сколько процентов составляет часть | часть и всё число | $18 \cdot 100 : 60 = 30\%$ |
| найти число по его проценту | часть m и её проценты p | $900 \cdot 100 : 15 = 6000$ |


$$x = \frac{S \cdot p}{100}$$

*Найти p % от числа S*


**Скидка на скидку: сколько платим на самом деле**

1. Первая скидка 25%: составляем пропорцию и считаем крест-накрест. — $$x=\frac{4800\cdot 25}{100}=1200$$
2. После первой скидки цена 3600 рублей — теперь это новая база. — $$4800-1200=3600$$
3. Вторая скидка 10% берётся уже от 3600. — $$x=\frac{3600\cdot 10}{100}=360$$
4. Итого на кассе 3240 рублей. Общая скидка — 1560 рублей, то есть 32,5%, а не 35%. — $$3600-360=3240$$


$$S_2 = S \cdot \left(1 - \frac{p_1}{100}\right) \cdot \left(1 - \frac{p_2}{100}\right)$$

*Скидка на скидку — цепочка множителей*


> **Ловушка.** Проценты от разных баз складывать нельзя. Вторая скидка считается от цены после первой, а она меньше. Реально: 4800 − 1200 = 3600, потом минус 360 — платишь 3240. Продавец в этом примере ошибся в твою пользу, но в других задачах такая «быстрая арифметика» стоит и денег, и баллов на контрольной.


В банке кофе осталось 40%, и ты тратишь по 5% содержимого на заварку, дважды в день. За неделю уйдёт 5 · 2 · 7 = 70% — не хватит, закончится ещё в середине недели. Держи в голове опоры: 10% — десятая часть, 25% — четверть, 50% — половина, и половина калькуляторных расчётов исчезает из жизни.


> **Совет.** Чтобы найти процент от числа, дели его на 100 и умножай на число процентов: 7% от 300 — это 300 : 100 · 7 = 21. А если процент некруглый, например 17,5%, считай так же: умножь число на 17,5 и раздели на 100 — пропорция работает с любыми числами.


$$S = \frac{m \cdot 100}{p}$$

*Находим всё число по его части m и проценту p*


### Проценты в чеке и на ценнике


Достань последний чек из магазина — проценты прячутся в каждой его строке. Наушники стоили 3400 рублей, на кассе сняли 25%: экономия 3400 · 25 : 100 = 850, к оплате 2550. На эту покупку начислили кэшбэк 5% — это возврат от уже уплаченной суммы: 2550 · 5 : 100 = 127,5, банк округлит до 128 рублей. Три строки чека — три разные базы: старая цена для скидки, новая цена для кэшбэка. Кто путает базы, тот и деньги теряет.


А теперь налог. В России НДС составляет 20%, и он уже сидит внутри ценника: товар за 1200 рублей содержит 200 рублей налога. Почему всего 200, а не 240? Потому что продавец считал 20% не от 1200, а от своей цены без налога — 1000 рублей, и добавил налог сверху: 1000 + 200 = 1200. База снова другая — и это нормально, главное понимать, от чего именно считают проценты.


| Строка в чеке | База для расчёта | Пример |
| --- | --- | --- |
| скидка 25% | старая цена | 3400 − 850 = 2550 |
| кэшбэк 5% | сумма после оплаты | 2550 · 5 : 100 ≈ 128 |
| НДС 20% | цена без налога | в цене 1200 спрятано 200 |


### Дороже и дешевле: считаем изменение цены


Молоко стоило 80 рублей, а стало 92: разница 12 рублей, и это 12 · 100 : 80 = 15% подорожания. Летом цена вернулась к 80: разница те же 12 рублей, но база теперь 92, поэтому удешевление равно 12 · 100 : 92 ≈ 13%. Заметь: вверх на 15%, а вниз только на 13% — хотя рубли одни и те же. Проценты считают от той цены, с которой началось изменение, поэтому равные рубли дают неравные проценты.


Прогоним ещё раз на соке: стоил 120, подорожал до 150, потом снова 120. Вверх: 30 рублей от 120 — это 25%. Вниз: 30 рублей от 150 — это 20%. Цена вернулась, а проценты по пути получились разными. На контрольной такой вопрос звучит как «цена выросла на 25%, а потом упала на 20% — изменилась ли она?» Правильный ответ: вернулась к исходной, но проверить это можно только по шагам, через базу.


А если цена выросла дважды — сначала на 5%, потом на 7%? Общий рост не 12%. От 2000 рублей получаем 2100, затем 2100 · 7 : 100 = 147, итого 2247. Рост составил 247 рублей, а это 247 · 100 : 2000 = 12,35%. Каждый процент садится на свою базу, поэтому итоговая цена всегда чуть больше, чем обещает сложение процентов.


### Опорные проценты: считай в уме


Половина процентов решается без пропорции, если помнить опоры. 10% — деление на 10: от 450 это 45. 20% — пятая часть: от 150 это 30. 25% — четверть: от 84 это 21. 5% — половина от 10%: от 600 это 30. 75% — три четверти: от 400 это 300. 12,5% — восьмая часть: от 800 это 100. Любой сложный процент собирается из опорных: 35% — это 25% плюс 10%, от 2000 выходит 500 + 200 = 700.


- 50% — половина числа: дели на 2
- 25% — четверть: дели на 4
- 10% — десятая часть: дели на 10
- 5% — половина от десятой части
- 20% — пятая часть: дели на 5


Перед записью пропорции прикинь ответ грубо: 18% от 60 должно получиться заметно меньше 60 — это примерно пятая часть. Если в ответе вышло 1080, где-то потерялась запятая у деления на 100. Прикидка занимает три секунды и отлавливает ошибки ещё до того, как ты перепишешь ответ в чистовик.


### Разбор типовой задачи


Задача из контрольной: кроссовки стоили 3200 рублей. Цену сначала повысили на 10%, а во время распродажи снизили на 10%. Сколько стоят кроссовки теперь и на сколько процентов изменилась первоначальная цена?


**Повышение и скидка по 10%**

1. Повышение на 10% считаем от 3200 — это база первого шага. — $$3200 \cdot 10 : 100 = 320$$
2. После подорожания цена стала 3520 рублей — теперь база новая. — $$3200 + 320 = 3520$$
3. Скидка 10% берётся уже от 3520. — $$3520 \cdot 10 : 100 = 352$$
4. После распродажи кроссовки стоят 3168 рублей. — $$3520 - 352 = 3168$$
5. Сравниваем с исходной ценой: переплата 32 рубля. — $$3200 - 3168 = 32$$
6. Переводим в проценты от первоначальной цены: ровно 1%. — $$32 \cdot 100 : 3200 = 1$$


Ответ: 3168 рублей, дороже на 1%. Два равных процента в разные стороны не гасят друг друга, потому что второй процент считается от выросшей цены. Запомни приём «каждый шаг от текущей цены» — он же работает для скидки на скидку из начала урока.


### Словарь урока


**Пропорция** — равенство двух отношений; в процентах всё число относится к 100, как часть к своим процентам
**База** — число, принятое за 100%: обычно цена до скидки или до подорожания
**Крест-накрест** — правило пропорции: произведение крайних членов равно произведению средних
**Скидка** — процент, на который уменьшают текущую цену
**Кэшбэк** — возврат части потраченной суммы — процент, но от уже уплаченного
**Первоначальная цена** — цена до всех изменений; с неё начинают любую цепочку процентов


### Как это спрашивают на контрольной


- «Найди 18% от 60» — тип «процент от числа», одна пропорция
- «Сколько процентов составляет 18 от 60?» — ищем число процентов: часть делим на целое
- «15% зарплаты — это 900 рублей. Какова зарплата?» — ищем всё число по его части
- «Цена выросла на 20%, потом упала на 20%. Изменилась ли она?» — считаем по шагам, база меняется
- «Скидки 25% и 10% подряд» — перемножай множители, а не складывай проценты


Как определить тип задачи: найди, что дано целиком, а что является частью. Целое известно и есть проценты — ищи часть. Часть и целое даны — ищи проценты. Известна только часть и её проценты — восстанавливай целое. В ответе проверяй правдоподобие: скидка не может увеличить цену, а 25% от числа обязаны быть меньше самого числа.


*[Интерактив: Двадцать клеток — сто процентов — доступен на странице урока]*


*[Интерактив: Верно или нет? — доступен на странице урока]*


*[Интерактив: Карточки: проценты — доступен на странице урока]*


## Частые вопросы

### Почему скидки 25% и 10% подряд — это не 35%?

Потому что 10% берутся от цены после первой скидки, а она уже меньше. Для 4800 рублей: сначала минус 1200, потом минус 360 — общая скидка 1560 рублей, это 32,5%.


### Как найти процент от числа без калькулятора?

Считай через 1%: раздели число на 100 и умножь на нужное число процентов. Например, 3% от 700 — это 7 · 3 = 21.


### Что делать, если проценты некруглые, например 17,5%?

Та же пропорция: умножь число на 17,5 и раздели на 100 — или умножь на 0,175. Пропорция работает с любыми числами, не только с круглыми.


### Как посчитать цену с двумя скидками подряд, например 10% и 5%?

Считай скидки по очереди: сначала уменьши цену на 10%, а потом возьми 5% уже от нового числа. Складывать проценты нельзя, потому что база после первой скидки становится меньше.


## Проверь себя (вопросы и ответы)

#### Вопрос 1: Магнитола стоила 3000 рублей, скидка 15%. Сколько рублей она стоит со скидкой?
- ✅ 2550
- ☐ 450
- ☐ 2985
- ☐ 2850

*Пояснение: Скидка: 15% от 3000 — это 450 рублей. Остаток: 3000 − 450 = 2550.*


#### Вопрос 2: Сколько процентов составляет 18 от 60?
**Ответ:** 30

*Пояснение: Пропорция: 60 — это 100%, значит 18 · 100 : 60 = 30%.*


#### Вопрос 3: Вторая скидка в схеме «скидка на скидку» считается от цены уже после первой скидки.
- ✅ Правда
- ☐ Неправда

*Пояснение: Каждая новая скидка берётся от текущей цены, поэтому база каждый раз уменьшается.*


#### Вопрос 4: Цена подписки была 400 рублей, её повысили на 20%. Сколько рублей стоит подписка теперь?
**Ответ:** 480

*Пояснение: 20% от 400 — это 80 рублей. Новая цена: 400 + 80 = 480.*


#### Вопрос 5: Соедини процент с его смыслом.
- 50% — половина числа
- 25% — четверть числа
- 10% — десятая часть числа
- 100% — всё число

*Пояснение: Половина, четверть и десятая часть — опорные проценты, их полезно узнавать мгновенно.*


#### Вопрос 6: Куртка подорожала с 4000 до 5000 рублей. На сколько процентов она подорожала?
- ☐ 10%
- ☐ 20%
- ✅ 25%
- ☐ 50%

*Пояснение: Подорожание — 1000 рублей. Пропорция от старой цены: 1000 · 100 : 4000 = 25%.*


#### Вопрос 7: Разложи проценты по категориям: больше половины или половина и меньше?
- **Больше половины:** 60% голосов, 80% урожая
- **Половина или меньше:** 25% скидка, 50% заряда

*Пояснение: Больше половины — значит больше 50%: это 60% и 80%. А 25% — четверть, и 50% — ровно половина.*


#### Вопрос 8: Дополни правило.
Чтобы найти процент от числа, нужно число разделить на **100** и умножить на число **процентов**.

*Пояснение: Деление на 100 даёт один процент, умножение на число процентов — нужную долю: 7% от 300 = 300 : 100 · 7 = 21.*


## Тренажёр

На [странице тренажёра](https://shkolniygid.ru/matematika/6-klass/procenty-6/trenazher/) — 3 типов задач с бесконечными вариантами чисел, проверкой ответа и разбором каждого шага.