# Умножение обыкновенных дробей

> Умножение дробей — самое короткое правило в теме: числитель на числитель, знаменатель на знаменатель. Сокращаем до умножения, разбираем примеры и тренируемся.

**Математика, 6 класс.** Урок бесплатного онлайн-самоучителя «ШкольныйГид». Обновлено: 2026-09-27.

Страница урока: https://shkolniygid.ru/matematika/6-klass/umnozhenie-drobej/

Ремонт в разгаре: на покраску одного окна уходит $\frac{3}{8}$ литра краски. Хватит ли пол-литровой банки на два окна? Считаем: $\frac{3}{8} \cdot 2 = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$ литра, а это больше половины. Не хватит — бери вторую банку сразу. Заметь: общий знаменатель здесь не понадобился вообще. При умножении складывать доли не нужно — они перемножаются.


### Как умножить дробь на дробь и на число


Правило короче не бывает: числитель умножь на числитель, знаменатель на знаменатель. $\frac{2}{3} \cdot \frac{4}{5} = \frac{8}{15}$. Целое число записывай со знаменателем 1: $3 = \frac{3}{1}$, тогда $\frac{3}{8} \cdot 2 = \frac{6}{8}$. Смешанные числа сначала переводи в неправильные: $1\frac{1}{2} = \frac{3}{2}$, и $\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3} = 1$. Главный лайфхак — сокращай до умножения, крест-накрест: в примере $\frac{4}{9} \cdot \frac{3}{8}$ четвёрка с восьмёркой делятся на 4, тройка с девяткой на 3 — останется $\frac{1}{6}$. **Совет:** сокращай сразу, а не в ответе: числа меньше, ошибки реже.


Откуда берётся правило, если при сложении нужен общий знаменатель? Возьмём $\frac{2}{3} \cdot \frac{4}{5}$. Сначала целое разделили на 3 равные части и взяли две — это две трети. Теперь каждую треть делим ещё на 5 частей: во всём целом получается 3 · 5 = 15 долей, а в наших двух третях — 2 · 5 = 10 таких долей. Отбираем из них четыре из каждых пяти: остаётся 8 долей из 15. Вышло $\frac{8}{15}$ — ровно то, что даёт правило «числитель на числитель, знаменатель на знаменатель». Знаменатели перемножились, потому что целое делили дважды, а числители — потому что доли отбирали дважды.


Умножение дроби на целое число — то же правило, просто у целого знаменатель 1. Рецепт рассчитан на 4 порции, и в каждой порции $\frac{2}{5}$ стакана риса. Сколько риса отмерить на весь обед? Считаем: $\frac{2}{5} \cdot 4 = \frac{8}{5}$, а это $1\frac{3}{5}$ стакана. Проверка в уме: пятая часть стакана — пара столовых ложек, четыре порции — почти полтора стакана. Сходится. Кстати, дроби можно переставлять: $4 \cdot \frac{2}{5}$ даст те же $\frac{8}{5}$, ведь от перестановки множителей произведение не меняется — это свойство работает и для дробей.


| Случай | Как делать | Пример |
| --- | --- | --- |
| дробь на дробь | числитель на числитель, знаменатель на знаменатель | $\frac{2}{3} \cdot \frac{4}{5} = \frac{8}{15}$ |
| дробь на натуральное число | умножь числитель, знаменатель не трогай | $\frac{3}{8} \cdot 2 = \frac{6}{8}$ |
| смешанные числа | сначала переведи в неправильные дроби | $1\frac{1}{2} = \frac{3}{2}$ |
| любой случай | сокращай крест-накрест до умножения | $\frac{4}{9} \cdot \frac{3}{8} = \frac{1}{6}$ |


$$\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}$$

*Умножение дробей: числитель на числитель, знаменатель на знаменатель*


**Решаем по шагам: полтора умножить на две трети**

1. Переводим смешанное число в неправильную дробь: полтора — это три половины. — $$1\frac{1}{2} = \frac{3}{2}$$
2. Умножаем числитель на числитель, знаменатель на знаменатель. — $$\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3} = \frac{6}{6}$$
3. Шестёрки сокращаются — выходит единица: полтора раза по две трети — ровно одна целая. — $$\frac{6}{6} = 1$$


> **Ловушка.** Умножение не «увеличивает». Со времён таблицы умножения мозг уверен: умножил — стало больше. С дробями это ломается: $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$ — четверть меньше каждой из половин. Половина от половины — четверть. Если произведение правильных дробей вышло больше множителей, ищи ошибку.


### Часть от части: главная идея умножения


Пиццу разрезали на 8 кусков, ты съел 3/8, а потом ещё половину остатка. Остаток 5/8, и половина от него — 5/16: считается умножением 5/8 · 1/2 = 5/16. Так «часть от части» работает в каждом рецепте — взять 2/3 от 3/4 стакана муки значит перемножить дроби, а не складывать их.


$$\frac{5}{8} \cdot \frac{1}{2} = \frac{5}{16}$$

*Часть от части считается умножением*


Найти дробь от числа — то же умножение. Нужно найти $\frac{3}{5}$ от 400 рублей? Умножай: $\frac{3}{5} \cdot 400 = \frac{1200}{5} = 240$ рублей. Раньше ты считал это в два действия: делил 400 на 5 частей — по 80 рублей, потом брал три части. Умножение делает то же самое одной строкой. Проверяй себя так: раздели число на знаменатель и умножь на числитель — значение выйдет то же.


Так считаются вложенные части. Дачный участок занимает 6 соток, под огород отвели $\frac{2}{3}$ участка, а половину огорода засадили картошкой. Сколько соток под картошкой? Перемножаем доли: $\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ участка — то есть 2 сотки. Половина от двух третей оказалась одной третью. Каждый раз, когда одна доля сидит внутри другой, ответ даёт одно умножение — без промежуточных пересчётов. Этот приём экономит силы в задачах про скидки, рецепты и ремонт.


Перед вычислением прикинь ответ. Произведение двух правильных дробей меньше каждого множителя: половина от трети — меньше трети. Если второй множитель целое число, а первый — правильная дробь, произведение меньше целого: $\frac{3}{8} \cdot 2$ меньше двух, ведь взяли три восьмых от каждого из двух литров, а не литры целиком. Прикидка мгновенно ловит потерянное сокращение или лишний ноль: если в ответе на $\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4}$ вдруг вышло число больше единицы — ищи ошибку.


Есть два особых множителя. Умножил на 1 — дробь не изменилась: числитель вырос в единицу, знаменатель тоже. Умножил на 0 — получил 0, как и с любым числом. А вот умножение на перевёрнутую дробь даёт 1: $\frac{3}{4} \cdot \frac{4}{3} = 1$. Такие пары называют взаимно обратными числами — в теме деления дробей они станут главным инструментом. Держи все три случая в голове: они выручают на контрольных при быстрой проверке рассуждений.


| Произведение | Ответ | Что это значит |
| --- | --- | --- |
| $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$ | $\frac{1}{4}$ | половина от половины — четверть |
| $\frac{3}{4} \cdot 8$ | 6 | дробь от числа: три четверти от восьми |
| $\frac{5}{6} \cdot \frac{6}{5}$ | 1 | перевёрнутые дроби дают единицу |
| $2\frac{1}{2} \cdot 2$ | 5 | смешанное число сперва переводим в неправильную дробь |


> **Совет.** Сокращай до умножения, а не в готовом ответе: числа будут меньше, а проверка проще. Сокращать можно только числитель со знаменателем — в том числе крест-накрест, между двумя дробями. В примере $\frac{4}{9} \cdot \frac{3}{8}$ четвёрка с восьмёркой делятся на 4, тройка с девяткой на 3 — выходит $\frac{1}{6}$. А вот числители между собой или знаменатели между собой «сокращать» нельзя: общий множитель ищется у числителя со знаменателем.


$$\frac{4}{9} \cdot \frac{3}{8} = \frac{1 \cdot 1}{3 \cdot 2} = \frac{1}{6}$$

*Сокращай крест-накрест до умножения*


Сокращение — это деление числителя и знаменателя на общий делитель, и при умножении оно особенно выгодно. Возьмём $\frac{8}{9} \cdot \frac{3}{10}$. Сразу видно: 8 и 10 делятся на 2, а 3 и 9 — на 3. После сокращения остаётся $\frac{4 \cdot 1}{3 \cdot 5} = \frac{4}{15}$ вместо громоздких $\frac{24}{90}$. Оба ответа верные, но с маленькими числами проще жить: их легче перемножать, проверять и переводить в смешанные. Сокращать можно и внутри одной дроби: у $\frac{4}{8}$ числитель со знаменателем делятся на 4 — та же честная экономия до всякого умножения.


### Умножение смешанных чисел


Со смешанными числами порядок жёсткий: сначала переводим в неправильные дроби, потом умножаем, в конце выделяем целую часть. Кастрюля вмещает $2\frac{1}{2}$ литра, ты наполнил её на $\frac{3}{4}$ — сколько литров в ней? Переводим: $2\frac{1}{2} = \frac{5}{2}$. Умножаем: $\frac{5}{2} \cdot \frac{3}{4} = \frac{15}{8}$. Выделяем целую часть: $1\frac{7}{8}$ литра — почти полная кастрюля. Ответ в виде $\frac{15}{8}$ считается незаконченным: и в тетради, и в чертежах возвращаются к смешанному виду.


Умножать можно и три дроби, и больше: правило не меняется, просто числители и знаменатели собираются со всех множителей. Пример из жизни: шанс выбросить на кубике именно четвёрку равен $\frac{1}{6}$, а шанс сделать это три раза подряд — $\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{216}$. Дробь вышла крошечной: каждый новый множитель снова делит результат. Множителей можно ставить в любом порядке, поэтому сокращай по ходу дела: увидел общий делитель у числителя одной дроби и знаменателя другой — дели сразу, не дожидаясь финальной дроби.


**Решаем по шагам: краска на три рамы**

1. На одну раму уходит $\frac{5}{6}$ литра краски. Считаем три рамы умножением. — $$\frac{5}{6} \cdot 3$$
2. Тройку записываем со знаменателем 1 и сокращаем с шестёркой на 3. — $$\frac{5}{6} \cdot \frac{3}{1} = \frac{5}{2}$$
3. Выделяем целую часть: на три рамы нужно два с половиной литра. — $$\frac{5}{2} = 2\frac{1}{2}$$


- рецепты: пересчитать количество продуктов под другое число порций
- ремонт: расход краски на несколько одинаковых окон или дверей
- деньги: премия $\frac{1}{4}$ от оклада, скидка $\frac{2}{5}$ от цены
- рукоделие: отрезать $\frac{3}{8}$ метра ленты три раза для трёх бантиков


**Произведение дробей** — результат умножения: числитель на числитель, знаменатель на знаменатель
**Сокращение крест-накрест** — деление числителя одной дроби и знаменателя другой на общий делитель
**Неправильная дробь** — дробь, у которой числитель больше знаменателя или равен ему
**Часть от части** — доля, взятая от другой доли; считается одним умножением


*[Интерактив: Часть от части — доступен на странице урока]*


*[Интерактив: Верно или нет? — доступен на странице урока]*


*[Интерактив: Карточки: умножение дробей — доступен на странице урока]*


## Частые вопросы

### Почему при умножении дробей не нужен общий знаменатель?

Общий знаменатель нужен, чтобы складывать одинаковые доли. При умножении мы берём часть от части: $\frac{2}{3}$ от $\frac{1}{5}$ — это $\frac{2}{15}$, доли просто перемножаются.


### Как умножить дробь на целое число?

Умножь числитель на это число, знаменатель не трогай: $\frac{3}{8} \cdot 2 = \frac{6}{8}$. Если число делится на знаменатель — сокращай сразу.


### Можно ли сокращать до умножения?

Нужно. Сокращай крест-накрест числитель одной дроби со знаменателем другой: числа получаются меньше, а ответ не меняется.


### Что больше: половина от половины или треть от трети?

Половина от половины — это $\frac{1}{4}$, а треть от трети — $\frac{1}{9}$. Четверть больше девятой: чем на большее число частей делили целое, тем меньше каждая доля. Оба результата считаются одним умножением.


## Проверь себя (вопросы и ответы)

#### Вопрос 1: Вычисли: $\frac{3}{4} \cdot 8$.
**Ответ:** 6

*Пояснение: Сокращаем 4 и 8: остаётся 3 · 2 = 6.*


#### Вопрос 2: Вычисли: $2\frac{1}{2} \cdot 2$.
**Ответ:** 5

*Пояснение: $2\frac{1}{2} = \frac{5}{2}$, значит $\frac{5}{2} \cdot 2 = 5$.*


#### Вопрос 3: Чтобы перемножить две дроби, нужно…
- ☐ привести их к общему знаменателю
- ✅ перемножить числители и знаменатели
- ☐ сложить числители и перемножить знаменатели

*Пояснение: Общий знаменатель нужен только при сложении и вычитании. При умножении — числитель на числитель, знаменатель на знаменатель.*


#### Вопрос 4: Половина от половины — это четверть.
- ✅ Правда
- ☐ Неправда

*Пояснение: $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$: часть от части становится меньше.*


#### Вопрос 5: Сопоставь произведение и его результат.
- $\frac{1}{4} \cdot 2$ — 1/2
- $\frac{2}{3} \cdot 3$ — 2
- $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$ — 1/4
- $\frac{3}{5} \cdot 5$ — 3

*Пояснение: Числитель на числитель, знаменатель на знаменатель — и сокращаем.*


#### Вопрос 6: Какие выражения равны 1?
- ✅ $\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}$
- ☐ $\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4}$
- ✅ $1\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3}$
- ✅ $\frac{5}{7} \cdot \frac{7}{5}$

*Пояснение: Перевёрнутые дроби в произведении дают 1: $\frac{2}{3}$ и $\frac{3}{2}$, $\frac{3}{2}$ и $\frac{2}{3}$, $\frac{5}{7}$ и $\frac{7}{5}$. А $\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{16}$.*


#### Вопрос 7: Разложи произведения по категориям: что получится в ответе?
- **Меньше 1:** 1/2 · 1/2, 5/6 · 1/5
- **Равно 1 или больше:** 3/4 · 8, 2/3 · 3/2

*Пояснение: Часть от части уменьшается: 1/2 · 1/2 = 1/4 и 5/6 · 1/5 = 1/6. А 3/4 · 8 = 6 и 2/3 · 3/2 = 1 — здесь целые множители или перевёрнутая пара.*


#### Вопрос 8: Дополни правило умножения дробей.
Чтобы перемножить две дроби, перемножь их **числители** и **знаменатели**. Общий знаменатель при этом искать не нужно.

*Пояснение: Числитель на числитель, знаменатель на знаменатель: 2/3 · 4/5 = 8/15. Общий знаменатель нужен только при сложении и вычитании.*


## Тренажёр

На [странице тренажёра](https://shkolniygid.ru/matematika/6-klass/umnozhenie-drobej/trenazher/) — 3 типов задач с бесконечными вариантами чисел, проверкой ответа и разбором каждого шага.