# Множества и события: операции и диаграммы Эйлера

> Множества как язык событий для 10 класса: элементы и подмножества, объединение, пересечение, разность и дополнение, круги Эйлера, несовместные и противоположные события, перевод союзов «или» и «и», число элементов объединения.

**Вероятность и статистика, 10 класс.** Урок бесплатного онлайн-самоучителя «ШкольныйГид». Обновлено: 2026-10-01.

Страница урока: https://shkolniygid.ru/statistika/10-klass/mnozhestva-i-sobytiya-10/

Перед нами школьная загадка, из-за которой в десятый класс приходит целая математика. В классе двадцать пять человек: четырнадцать поют в хоре, двенадцать играют в волейбол, и пятеро успевают и то и другое. Сколько человек занято хотя бы в одном из кружков? На глаз просятся простые сложения: 14 + 12 = 26 — но в классе всего двадцать пять. Разгадка в том, что пятерых мы посчитали дважды: один раз в хоре, второй — в волейболе. Чтобы такие вопросы решались уверенно, нужна аккуратная система записи: она называется теорией множеств, а её любимая картинка — круги Эйлера. К концу урока мы вернёмся к кружкам и получим точный ответ.


Важная оговорка: в седьмом, восьмом и девятом классах множества отдельно не изучались — до сих пор события и данные описывались словами и таблицами. Так что это новый материал, и начинается он с трёх слов. Множество — это любой набор объектов, рассматриваемый как единое целое: ученики класса, дни недели, исходы броска кубика. Объекты внутри называют элементами множества. Повторов множество не хранит, и порядок элементов ему безразличен: {1, 2, 3} и {3, 1, 2} — одно и то же множество. Если каждый элемент одного множества лежит и в другом, первое называют подмножеством второго. Наконец, в каждой задаче есть универсум U — множество всех элементарных исходов опыта; в опыте с кубиком это {1, 2, 3, 4, 5, 6}.


$$x \in A, \qquad x \notin A, \qquad B \subseteq A, \qquad \varnothing$$

*записи: x лежит в множестве A; x не лежит в A; B — подмножество A (каждый элемент B лежит в A); пустое множество, в котором нет ни одного элемента*


### Событие как множество исходов


Событие в случайном опыте — это просто подмножество универсума: список исходов, которые мы договорились засчитывать. Бросаем кубик: событие «выпало чётное число» — это множество {2, 4, 6}; событие «выпало кратное трём» — {3, 6}. Седьмой класс умел называть события словами и считать их частоту; десятый добавляет главное — с событием можно работать как со множеством: складывать, пересекать, вычитать. Два крайних случая уже знакомы: достоверное событие содержит все исходы и совпадает с универсумом, а невозможное не содержит ни одного — это пустое множество. «На кубике выпало число от одного до шести» — достоверное, «выпала семёрка» — невозможное.


### Четыре операции: объединение, пересечение, разность, дополнение


Объединение множеств A и B — множество элементов, которые лежат хотя бы в одном из них: выписываем всё из A, затем добавляем недостающее из B. Пересечение — множество общих элементов: они должны лежать и в A, и в B. На кубике для A = {2, 4, 6} и B = {3, 6} объединение равно {2, 3, 4, 6} — четыре исхода, а пересечение {6} — одна шестёрка, ведь она и чётная, и кратна трём. Обрати внимание на слова «хотя бы»: они ключевые для объединения — элемент объединения не обязан лежать в обоих множествах, достаточно одного.


$$A \cup B, \qquad A \cap B, \qquad A \setminus B, \qquad A' = U \setminus A$$

*объединение — «A или B»; пересечение — «A и B»; разность — «A без B»; дополнение A со штрихом — всё из универсума, что не лежит в A*


| Операция | Обозначение | Читается | Элемент попадает в результат, если |
| --- | --- | --- | --- |
| Объединение | A ∪ B | A или B | лежит хотя бы в одном из множеств A, B |
| Пересечение | A ∩ B | A и B | лежит и в A, и в B одновременно |
| Разность | A \ B | A без B | лежит в A и не лежит в B |
| Дополнение | A′ | не A | лежит в универсуме U и не лежит в A |
| Пустое множество | ∅ | невозможное событие | никогда — в нём нет элементов |

*Пять главных записей темы: они переводят слова «или», «и», «без» и «не» на язык множеств*


Разность A \ B забирает из A только то, что в B не попало, — поэтому она несимметрична: разности A \ B и B \ A обычно разные множества. Для кубика A \ B = {2, 4} — чётные, кроме шестёрки, а B \ A = {3} — тройка без шестёрки. Дополнение A′ — частный случай разности: A′ = U \ A, всё, что осталось от универсума. На словах дополнение — это «не A»: событие не произошло. Операции связаны жёсткими правилами: пересекая множество с его дополнением, получаем пустое множество — исход не может лежать и в A, и не в A одновременно; объединяя их — получаем весь универсум.


| Что считаем | Результат | Сколько элементов |
| --- | --- | --- |
| A ∪ B | 1, 2, 3, 4, 5, 6 | 6 |
| A ∩ B | 2, 4 | 2 |
| A \ B | 1, 3, 5 | 3 |
| B \ A | 6 | 1 |
| A′ | 6, 7, 8 | 3 |
| B′ | 1, 3, 5, 7, 8 | 5 |

*Универсум U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {2, 4, 6}; проверь каждую строку перечислением*


*[Интерактив: Посчитай объединение — доступен на странице урока]*


### Диаграммы Эйлера


Круги Эйлера — способ увидеть операции. Универсум рисуем прямоугольником, множества — кругами внутри него. Пересечение — линза, общая часть кругов; на диаграмме сразу видно, пустая она или нет: непересекающиеся круги — это несовместные события. Разность A \ B — серп круга A без линзы. Дополнение — всё, что лежит в прямоугольнике, но вне круга A. Диаграмма не заменяет перечисление: она подсказывает структуру — где что лежит, какая часть посчитана дважды, на сколько областей распалась задача. Пусть круги войдут в привычку: рисунок в две минуты экономит десять минут путаницы.


*[Интерактив: Как схема стала наукой — доступен на странице урока]*


Противоположное событие — это дополнение. Событие «не A» происходит ровно тогда, когда A не произошло, то есть его множество — U \ A: на кубике противоположное к «чётному» {2, 4, 6} — это «нечётное» {1, 3, 5}. Ещё в восьмом классе появилось правило P(A) + P(не A) = 1 — теперь у него честная картинка: круг и всё вокруг него в сумме покрывают весь прямоугольник. Противоположное событие удобно, когда прямой подсчёт утомителен: вместо «хотя бы одна шестёрка в пяти бросках» проще посчитать противоположное «ни одной шестёрки».


$$(A')' = A, \qquad A \cup A' = U, \qquad A \cap A' = \varnothing$$

*дополнение дополнения возвращает само множество; множество вместе со своим дополнением покрывает весь универсум, а пересечение их пусто*


Несовместные события на языке множеств — это события с пустым пересечением: A ∩ B = ∅. Орёл и решка одного броска несовместны: множества {орёл} и {решка} не имеют общих исходов. «Выпало чётное» и «выпала пятёрка» тоже несовместны: {2, 4, 6} ∩ {5} = ∅ — пятёрка нечётна. А вот «чётное» и «кратное трём» совместны: линза не пуста, в ней лежит шестёрка. Отсюда точное определение вместо интуиции: два события несовместны тогда и только тогда, когда у них нет ни одного общего исхода. Пересекая непересекающиеся множества, мы получаем пустое множество — и это не ошибка, а честный ответ: событие невозможно.


*[Интерактив: Или или и — доступен на странице урока]*


### Перевод текста на язык множеств


Главный навык темы — переводить русские фразы в операции. Бросаем кубик: пусть A — «чётное» {2, 4, 6}, B — «кратное трём» {3, 6}. Фраза «выпало чётное или кратное трём» — это A ∪ B = {2, 3, 4, 6}. Фраза «выпало чётное и кратное трём» — A ∩ B = {6}. Фраза «выпало чётное, но не кратное трём» — разность A \ B = {2, 4}. Фраза «выпало нечётное» — дополнение A′ = {1, 3, 5}. Каждому союзу соответствует своя операция: «или» — объединение, «и» — пересечение, «но не», «без», «кроме» — разность, «не» — дополнение. Ошибка в переводе стоит дорого: дальше по этому множеству будет считаться вероятность.


**Как перевести условие на язык множеств**

1. Выпиши универсум: все элементарные исходы опыта, даже те, что ни в какое событие не попали.
2. Каждому простому событию поставь в соответствие множество исходов — по возможности выпиши его перечислением.
3. Замени каждый союз «или» объединением, каждый союз «и» — пересечением, каждое «не» — дополнением.
4. Фразы «но не», «без», «кроме» переводятся разностью или пересечением с дополнением.
5. Выпиши итоговое множество и проверь его размер перечислением исходов — на кубике это секунды.


*[Интерактив: Верно или нет? — доступен на странице урока]*


> **Ловушка.** Три промаха темы. Первый — забывать, что пересечение непересекающихся множеств пусто: в задаче «чётное и пятёрка» пересечение равно ∅ не потому, что вы ошиблись, а потому, что таков честный ответ — событие невозможно. Второй — терять дополнение: (A′)′ = A, двойное «не» снимается, и если в цепочке преобразований вы дважды перешли к «не», смело убирайте оба. Третий — переставлять аргументы разности: A \ B и B \ A — разные множества, у кубика {2, 4} против {3}; порядок в разности важен так же, как в вычитании чисел 5 − 3 и 3 − 5.


*[Интерактив: Собери пары — доступен на странице урока]*


*[Интерактив: Собери определения — доступен на странице урока]*


$$|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|$$

*формула включений-исключений: общие элементы лежат в обеих суммах и потому посчитаны дважды, лишний раз они и вычитаются; у несовместных событий пересечение пусто и остаётся чистое сложение*


Посчитаем по формуле. Для кубика |A| = 3, |B| = 3, |A ∩ B| = 1, значит |A ∪ B| = 3 + 3 − 1 = 5 — и правда, {2, 3, 4, 6}. В таблице выше: 5 + 3 − 2 = 6. Теперь обещанный ответ про кружки: хор — множество из 14 человек, волейбол — из 12, пересечение — 5 человек. Занято хотя бы в одном кружке: 14 + 12 − 5 = 21. Из двадцати пяти свободны от кружков 25 − 21 = 4 — это дополнение объединения. Заметь типичную ошибку, которую формула исправляет: сложение 14 + 12 даёт 26, потому что пятерых общих людей мы посчитали дважды.


> **Совет.** Проверяйте себя перечислением: на кубике, монете или списке из восьми чисел каждое множество выписывается руками, и любая ошибка в операции видна сразу. При подсчёте элементов объединения не забывайте вычитать общую часть; если сомневаетесь — посчитайте количество в каждой области диаграммы Эйлера: линза, серпы и внешность складываются в размер универсума. И переводите фразу в множество до того, как считать что-либо ещё: половина ошибок в вероятностных задачах — это ошибки перевода «или» и «и», а не арифметики.


**Множество** — набор объектов без повторов и без порядка; объекты называют элементами
**Событие** — подмножество универсума: множество исходов, которые засчитываются
**Объединение A ∪ B** — элементы хотя бы в одном из множеств; событие «A или B»
**Пересечение A ∩ B** — общие элементы; событие «A и B»; пустое пересечение — несовместность
**Разность A \ B и дополнение A′** — в A без B; «не A» — противоположное событие
**Формула включений-исключений** — |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B| — число элементов объединения


Зачем всё это дальше: следующая остановка — вероятности операций. У событий появятся числовые шансы, и круги Эйлера превратятся в формулы сложения: вероятность объединения P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) — точный родственник формулы включений-исключений, а у несовместных событий слагаемое с пересечением исчезает. Тот же словарь работает и вне вероятности: поисковые запросы с «И» и «ИЛИ», фильтры в каталогах и базы данных собирают результаты ровно через пересечения и объединения. Вынеси из урока три вещи: событие — это множество исходов; союз определяет операцию; диаграмма Эйлера показывает структуру раньше, чем подсчёт.


## Частые вопросы

### Что такое множество и элемент множества?

Множество — набор объектов, рассматриваемый как единое целое, а сами объекты — его элементы. Повторов множество не хранит и порядок элементов не учитывает: {1, 2, 3} и {3, 1, 2} — одно и то же множество. Если каждый элемент B лежит в A, то B — подмножество A.


### Какой союз какому действию соответствует: «или» и «и»?

Союз «или» задаёт объединение: событие происходит, если выпало хотя бы одно из перечисленного. Союз «и» задаёт пересечение: должны выполниться оба условия сразу. «Не» переводится дополнением, а «без» и «кроме» — разностью множеств.


### Что такое несовместные события на языке множеств?

Это события с пустым пересечением: A ∩ B = ∅, у них нет ни одного общего исхода. Например, «выпало чётное» и «выпала пятёрка». Пересечение несовместных событий — невозможное событие, и это честный пустой результат, а не ошибка.


### Зачем теория множеств нужна в вероятности?

События — это множества исходов, поэтому операции над ними дают операции над вероятностями: дальше появится формула P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) — формула сложения вероятностей, точный родственник формулы включений-исключений |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|.


## Проверь себя (вопросы и ответы)

#### Вопрос 1: На кубике событие A — «выпало чётное число», событие B — «выпало число, кратное трём». Что такое A ∩ B?
- ☐ {2, 4, 6}
- ☐ {3, 6}
- ✅ {6}
- ☐ {2, 3, 4, 6}

*Пояснение: Пересечение собирает общие исходы: чётных три, кратных трём два, общая только шестёрка — она и чётная, и кратна трём. Значит, A ∩ B = {6}.*


#### Вопрос 2: Какие равенства верны для любого множества A внутри универсума U?
- ✅ A ∪ A′ = U
- ✅ A ∩ A′ = ∅
- ☐ A \ B = B \ A
- ✅ (A′)′ = A

*Пояснение: Множество и его дополнение вместе покрывают весь универсум, а пересекаются пусто; двойное «не» снимается. Разность же несимметрична: A \ B не равна B \ A.*


#### Вопрос 3: В студенческой группе 16 человек поют в хоре, 11 занимаются в театральной студии, 4 — и там, и там. Сколько человек занимается хотя бы в одном из кружков?
**Ответ:** 23

*Пояснение: По формуле включений-исключений: 16 + 11 − 4 = 23. Четырёх общих участников вычитаем, потому что в простой сумме они посчитаны дважды.*


#### Вопрос 4: Если события A и B несовместны, то их пересечение — пустое множество.
- ✅ Правда
- ☐ Неправда

*Пояснение: Несовместность по определению означает отсутствие общих исходов: A ∩ B = ∅. Так что пересечение несовместных событий — невозможное событие.*


#### Вопрос 5: Расставь множества по возрастанию числа элементов (кубик: A — «чётное», B — «кратное трём»).
**Правильный порядок:** A ∩ B → B → A → A ∪ B

*Пояснение: Число элементов: A ∩ B = {6} — один, B = {3, 6} — два, A = {2, 4, 6} — три, A ∪ B = {2, 3, 4, 6} — четыре. Порядок от одного к четырём.*


#### Вопрос 6: Соедини операцию с её смыслом.
- объединение — происходит хотя бы одно из событий
- пересечение — оба события происходят одновременно
- дополнение — событие не происходит
- разность A \ B — происходит A, но не B

*Пояснение: Объединение — «или», пересечение — «и», дополнение — «не», разность — «без»: четыре операции покрывают весь словарь условий.*


#### Вопрос 7: Разложи фразы по операциям.
- **Объединение: союз «или»:** на кубике выпало 1 или 6, в поход идут Аня или Борис, выиграет команда дома или в гостях
- **Пересечение: союз «и»:** на кубике выпало чётное и больше трёх, в поход идут Аня и Борис, монета упала орлом и решкой одновременно

*Пояснение: Союз «или» объединяет исходы хотя бы одного события, союз «и» требует оба сразу. Фраза про орла и решку одновременно — пересечение несовместных событий: оно пусто, событие невозможно.*


## Тренажёр

На [странице тренажёра](https://shkolniygid.ru/statistika/10-klass/mnozhestva-i-sobytiya-10/trenazher/) — 4 типов задач с бесконечными вариантами чисел, проверкой ответа и разбором каждого шага.