# Описательные статистики: среднее, медиана, размах

> Три вопроса к любому набору данных: что в среднем, что посередине и насколько разбросано. Считаем среднее, медиану и размах на просмотрах канала, оценках класса и зарплатах бригады.

**Вероятность и статистика, 7 класс.** Урок бесплатного онлайн-самоучителя «ШкольныйГид». Обновлено: 2026-09-30.

Страница урока: https://shkolniygid.ru/statistika/7-klass/opisatelnye-statistiki-7/

Ты ведёшь канал и за месяц выложил десять роликов. Девять собрали привычные просмотры: 118, 120, 125, 126, 128, 130, 132, 134 и 140. Десятому повезло — его подхватила рекомендательная лента, и он улетел на 2400. Складываем всё: девять роликов дали вместе 1153 просмотра, плюс 2400 — итого 3553. Делим на десять: средний ролик собирает 355,3 просмотра. Но открой глаза на собственный список: девять роликов из десяти живут в диапазоне от 118 до 140, и «средний» ролик в 355 просмотров просто не существует. Одно вирусное видео утянуло среднее далеко от типичной картины. Статистика на этот случай держит не одно число, а три: среднее, медиану и размах — и учит выбирать, какое из них честнее отвечает на твой вопрос.


К любому набору данных стоят три вопроса. Первый: «сколько выходит в среднем?» — про баланс, когда все значения делят общую сумму поровну. Второй: «что находится ровно посередине?» — про середину упорядоченного набора. Третий: «насколько сильно данные разбросаны?» — про расстояние между краями. Ответы называются **описательными статистиками**: каждая сжимает сотни чисел в одно, и каждая говорит только свою часть правды. Считаются они за минуту, а вот выбирать между ними — уже навык, и на нём мы здесь и сосредоточимся.


### Среднее арифметическое: баланс данных


**Среднее арифметическое** — сумма всех значений, делённая на их количество. Представь, что каждое число набора — это монетка в общий котёл: среднее показывает, сколько достанется каждому, если котёл разделить поровну. Возьмём сводку контрольной по статистике у 25 учеников: двойки получили 3 человека, тройки — 2, четвёрки — 11, пятёрки — 9. Сумма баллов равна $2\cdot3+3\cdot2+4\cdot11+5\cdot9=6+6+44+45=101$, а средний балл класса — $101:25=4{,}04$. Столбец частот позволил обойтись без двадцати пяти сложений: умножил балл на число получивших и сложил.


$$A = \frac{a_1 + a_2 + \cdots + a_n}{n}$$

*Среднее арифметическое: сумма всех n значений, делённая на их количество*


У среднего есть два свойства, которые стоит держать в голове. Оно учитывает каждое значение: любое число набора, даже появившееся один раз, толкает сумму и сдвигает результат. И оно всегда живёт внутри набора: среднее не бывает больше наибольшего и меньше наименьшего значения — если вышло иначе, где-то ошибка в счёте. Проверка на быструю руку: умножь среднее на количество — должна вернуться исходная сумма, здесь $4{,}04\cdot25=101$. Сошлось — значит, деление не съело ничего лишнего.


### Медиана: середина упорядоченного набора


**Медиана** — число ровно посередине упорядоченного набора: слева от него столько же значений, сколько справа. Секрет в двух словах: сначала упорядочить, потом искать середину. Разберём нечётный набор — пять результатов утренней пробежки в минутах: 12, 15, 11, 14, 9.


**Медиана нечётного набора**

1. Упорядочиваем набор по возрастанию — без этого шага середина окажется не там. — $$9,\ 11,\ 12,\ 14,\ 15$$
2. Считаем числа: их пять, значит середина — третий по счёту элемент. — $$(5+1):2=3$$
3. Выписываем третий элемент упорядоченного набора — это и есть медиана. — $$Me = 12$$
4. Проверяем: слева от 12 стоят два числа, справа тоже два. Половина меньше, половина больше.


Чётный набор устроен иначе: середина попадает на стык двух чисел, и медианой считают их **полусумму** — среднее арифметическое двух соседей. Пусть билеты на фильм стоили 250, 400, 300 и 320 рублей. Упорядочиваем: 250, 300, 320, 400. Два средних — 300 и 320, и медиана равна $(300+320):2=310$. Обрати внимание: 310 в наборе не встречается, и это не ошибка. Медиана обязана делить данные пополам, а не совпадать с одним из значений.


**Медиана чётного набора**

1. Упорядочиваем набор: 250, 300, 320, 400. — $$n = 4$$
2. Числа чётное количество — берём два средних, третье и четвёртое места. — $$300;\ 320$$
3. Считаем их полусумму. — $$\frac{300+320}{2}=310$$
4. Проверяем баланс: слева от медианы два значения, справа тоже два.


$$Me = \frac{x_{n/2} + x_{n/2+1}}{2}$$

*Медиана набора с чётным количеством чисел n: полусумма двух средних элементов упорядоченного набора*


*[Интерактив: Поставь медиану на прямую — доступен на странице урока]*


Медиана набора 2, 6, 8, 10 и 19 стоит на отметке 8: пять чисел, середина — третье. Почему именно 8? Потому что слева от неё лежат 2 и 6, справа — 10 и 19, и никакое другое место не делит набор пополам. Прямая выше — тренировка глазомера: медиана не обязана сидеть в геометрическом центре отрезка от наименьшего до наибольшего, она зависит от того, как числа легли по возрастанию.


### Размах: насколько разбросаны данные


Среднее и медиана отвечают «где центр», но ничего не говорят о разбросе. Два набора — 20, 21, 22 и 0, 21, 42 — имеют одинаковые среднее и медиану, а живут по-разному. **Размах** — расстояние между краями: из наибольшего значения вычитается наименьшее. Шагомер за неделю показал максимум 12 300 шагов и минимум 6 100 — размах равен 6200 шагов. У экранного времени из первого урока размах 240 минус 95 — 145 минут. Размах считается за пять секунд и первым делом бросается в глаза при чтении любой таблицы: насколько широкая вилка между лучшим и худшим. Слабое место у него то же: он смотрит только на два крайних значения и не замечает, что происходит между ними. Один случайно заскочивший рекорд растягивает размах в несколько раз, хотя весь остальной набор не сдвинулся ни на шаг — поэтому размах хорош как первая прикидка и как ответ на вопрос «каковы границы», но не претендует на описание всего набора целиком.


### Выбросы: когда среднее врёт


Вернёмся к каналу из начала урока. Среднее — 355,3 просмотра, а медиана набора 118, 120, 125, 126, 128, 130, 132, 134, 140, 2400 равна $(128+130):2=129$. Разница — почти в три раза — и причина одна: вирусный ролик-выброс. **Выброс** — значение, резко оторвавшееся от остальных данных. Среднее послушно посчитало его в общий котёл и улетело вместе с ним, медиана осталась стоять среди типичных роликов, как ни в чём не бывало. Это свойство называют устойчивостью: медиана почти не чувствительна к выбросам, среднее — чувствительно всегда. Тот же сюжет — с зарплатами. В бригаде из пяти человек оклады 40, 42, 44, 46 и 180 тысяч рублей (последний — бригадир-совладелец). Сумма 352 тысячи, среднее — 70,4 тысячи, и это число не описывает никого: у четверых зарплаты около 40, у одного 180. Медиана — 44 тысячи: человек посередине списка получает ровно столько. Именно поэтому Росстат публикует медианную зарплату рядом со средней, и медианная примерно на треть ниже: в данных о доходах длинный хвост больших значений тянет среднее вверх. Услышав «средняя зарплата», спрашивай себя: среднее это или медиана, и есть ли в наборе выбросы.


| Набор данных | Среднее | Медиана | Кто честнее |
| --- | --- | --- | --- |
| 10 роликов канала, один вирусный | 355,3 просмотра | 129 просмотров | медиана: типичный ролик без выброса |
| Оценки 25 учеников (сводка) | 4,04 балла | 4 балла | обе: набор ровный, выбросов нет |
| Оклады бригады из 5 человек | 70,4 тыс. р | 44 тыс. р | медиана: один большой оклад тянет среднее |


> **Ловушка.** «Средняя зарплата» — классический пример искажения: единичные большие оклады утаскивают среднее вверх, и большинство получает заметно меньше этого числа. Вторая ловушка — искать медиану в неупорядоченном наборе: в списке 12, 15, 11, 14, 9 третье число 11 кажется серединой, а настоящая медиана — 12. Всегда сначала сортировка, потом середина. Третья: не выдавай размах за характеристику всех данных — он про два крайних значения.


> **Совет.** Прежде чем считать, прикинь ответ. Среднее сидит где-то между наименьшим и наибольшим значением, обычно ближе к густой части набора. Медиану при нечётном количестве чисел можно найти пальцем: положи список по возрастанию и ткни в середину. А в наборах с подозрением на выброс считай обе характеристики сразу: если среднее и медиана сильно разъехались, между ними и сидит правда о данных.


*[Интерактив: Прикинь средний балл — доступен на странице урока]*


*[Интерактив: Собери термины — доступен на странице урока]*


*[Интерактив: Верно или нет? — доступен на странице урока]*


*[Интерактив: Собери правило — доступен на странице урока]*


**Описательная статистика** — одно число, сжимающее целый набор данных: среднее, медиана или размах
**Среднее арифметическое** — сумма всех значений, делённая на их количество
**Медиана** — середина упорядоченного набора; при чётном количестве — полусумма двух средних
**Размах** — разность наибольшего и наименьшего значений
**Выброс** — значение, резко оторвавшееся от остальных данных


Открой свою собственную статистику: оценки за четверть, шаги за неделю, чеки из магазина. Посчитай среднее, найди медиану после сортировки и размах между краями. Если среднее и медиана разъехались — ищи выброс и решай, какая характеристика отвечает на твой вопрос. Дальше по курсу эти же наборы мы нарисуем на диаграммах, а потом посмотрим, как ведут себя случайные опыты — там средние и частоты встретятся снова.


## Частые вопросы

### Чем медиана лучше среднего?

Медиана не сдвигается выбросами: в зарплатах и ценах она показывает честную середину, когда среднее утянуто вверх единичными большими значениями. Среднее честнее на ровных наборах без резких скачков.


### Может ли медиана не совпадать ни с одним числом набора?

Да, при чётном количестве чисел медиана — полусумма двух средних. В наборе 1, 3, 5, 7 медиана равна 4, хотя четвёрки в наборе нет.


### Что делать с выбросом в наборе данных?

Сначала понять, ошибка это или реальное значение: ошибку убирают, реальный выброс оставляют. Но описывают такой набор медианой и размахом, а не только средним — иначе одно значение перепишет всю картину.


### Как быстро проверить посчитанное среднее?

Двумя способами: среднее обязано лежать между наименьшим и наибольшим значением, а если умножить его на количество чисел, должна получиться исходная сумма.


## Проверь себя (вопросы и ответы)

#### Вопрос 1: Чему равна медиана набора 3, 5, 7, 9, 16?
- ☐ 5
- ✅ 7
- ☐ 9
- ☐ 8

*Пояснение: Набор упорядочен, чисел пять — нечётное количество, медиана стоит ровно посередине: 7.*


#### Вопрос 2: Найди размах набора 12, 7, 25, 9, 18. Запиши одно число.
**Ответ:** 18

*Пояснение: Наибольшее значение 25, наименьшее 7, размах равен 25 - 7 = 18.*


#### Вопрос 3: Медиану можно искать в неупорядоченном наборе.
- ☐ Правда
- ✅ Неправда

*Пояснение: Медиана определена только для упорядоченного набора: без сортировки середина окажется не там.*


#### Вопрос 4: У каких наборов медиана равна 4? Выбери все подходящие.
- ✅ 2, 4, 9
- ☐ 1, 3, 4, 11
- ✅ 4, 4, 4
- ☐ 1, 2, 5, 6

*Пояснение: В наборе 2, 4, 9 медиана — средний элемент 4; в наборе 4, 4, 4 оба средних числа равны 4. В остальных полусумма средних даёт 3,5.*


#### Вопрос 5: Расставь шаги поиска медианы чётного набора в правильном порядке.
**Правильный порядок:** упорядочить набор по возрастанию → найти два средних числа → посчитать их полусумму

*Пояснение: Сначала сортировка, затем два средних элемента, в конце их полусумма.*


#### Вопрос 6: Соедини характеристику и её смысл.
- среднее арифметическое — сумма, делённая на количество
- медиана — середина упорядоченного набора
- размах — наибольшее минус наименьшее
- выброс — значение, оторвавшееся от остальных

*Пояснение: Среднее — про баланс суммы, медиана — про середину, размах — про ширину вилки, выброс — про оторвавшееся значение.*


#### Вопрос 7: Разложи вопросы по характеристикам.
- **Среднее:** сколько достанется каждому, если всё разделить поровну, какой баланс получится в общем котле
- **Медиана:** какая зарплата ровно посередине списка, какие два числа окружают середину чётного набора
- **Размах:** каков перепад температур за сутки, каково расстояние между рекордом и антирекордом

*Пояснение: Среднее делит сумму поровну, медиана ищет середину списка, размах измеряет расстояние между краями данных.*


## Тренажёр

На [странице тренажёра](https://shkolniygid.ru/statistika/7-klass/opisatelnye-statistiki-7/trenazher/) — 4 типов задач с бесконечными вариантами чисел, проверкой ответа и разбором каждого шага.