# Деревья вероятностей: сложные опыты по веточкам

> Сложный опыт рисуем как дерево: ветки шагов, произведение вероятностей вдоль пути, сложение путей и шары без возвращения.

**Вероятность и статистика, 8 класс.** Урок бесплатного онлайн-самоучителя «ШкольныйГид». Обновлено: 2026-09-30.

Страница урока: https://shkolniygid.ru/statistika/8-klass/derevya-veroyatnostey-8/

Финал турнира по настольной игре: кто ходит первым, решает монета, а затем каждый ход открывается броском кубика. Один шаг случайности тут считается легко, но опыт идёт двумя шагами, и пальцев для перебора уже не хватает. Выручает картинка: рисуем точку старта, из неё — ветки всех вариантов первого шага, из конца каждой ветки — ветки второго. Получается дерево, по которому любой вопрос «какова вероятность?» решается умножением и сложением.


Дерево опыта — родственник таблицы исходов из прошлого урока: та же идея «перечисли всё», только развёрнутая вглубь. Листья дерева — исходы опыта, ветки — варианты каждого шага. Когда на ветках появляются вероятности, два простых правила пробивают дорогу через любой сложный опыт — от пары монет до мешка с шарами, из которого тянут не возвращая.


### Рисуем дерево опыта


Строится дерево слева направо. Корень — старт опыта. Из корня выходят ветки первого шага: у монеты две, у кубика шесть. Из конца каждой ветки растут ветки следующего шага. Последние точки, из которых уже ничего не растёт, — листья: каждый лист — один исход опыта. Число листьев пересчитывается умножением: 2 ветки монеты на 6 граней кубика дают 12 листьев, и ни один исход не потеряется. Ветви удобно подписывать прямо на рисунке: у монеты — «орёл» и «решка», у кубика — цифры от 1 до 6. Пока дерево на бумаге, память отдыхает: считай глазами, водя пальцем по путям.


- две монеты: 2 · 2 = 4 исхода — орёл-орёл, орёл-решка, решка-орёл, решка-решка
- монета и кубик: 2 · 6 = 12 исходов
- кубик и волчок с 4 секторами: 6 · 4 = 24 исхода
- три броска монеты: 2 · 2 · 2 = 8 исходов


| Опыт | Ветки первого шага | Ветки второго | Листьев |
| --- | --- | --- | --- |
| две монеты | 2 | 2 | 4 |
| монета и кубик | 2 | 6 | 12 |
| кубик и волчок на 4 сектора | 6 | 4 | 24 |
| два кубика | 6 | 6 | 36 |


### Вероятность пути: перемножаем ветки


Выбери любой путь от корня до листа — например, «орёл на монете и шестёрка на кубике». Вероятность пути равна произведению вероятностей его веток: 1/2 · 1/6 = 1/12. Это работает потому, что шаги независимы: монета не помнит, что показал кубик, и её шансы не меняются. Проверка по листьям даёт то же самое: лист «орёл и 6» — один из двенадцати равноправных. Если произведения веток и листовый подсчёт вдруг разошлись — дерево нарисовано с ошибкой, и это хороший повод её найти.


$$P(A \text{ и } B) = P(A) \cdot P(B)$$

*Вероятность совместного наступления независимых событий A и B*


Независимые события — те, где первый шаг не влияет на второй: броски разных предметов, вытягивание карты с возвращением в колоду. Но если шар из мешка не возвращают, второй тянется из изменившегося мешка — события зависимые, и вероятности на ветках второго шага пересчитываются заново. Дерево честно показывает разницу: под каждым узлом пишешь те доли, которые верны именно в этом узле. Простой ориентир: увидел в задаче слова «без возвращения» или «первый шаг изменил условия» — готовься пересчитывать ветки.


**Разбор: орёл и чётное число**

1. Опыт: монета и кубик. Событие: орёл на монете И чётное число на кубике.
2. Строю путь: ветка «орёл» с вероятностью 1/2, затем ветка «чётное» с вероятностью 3/6 = 1/2.
3. Перемножаю вероятности веток. — $$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$$
4. Проверяю по листьям: благоприятных листов 3 из 12 — тоже 1/4. Два способа сошлись.


### Ветки с разными вероятностями


Настоящая сила дерева видна, когда шаги зависимы. Мешок: 2 белых и 1 чёрный шар, тянем два раза без возвращения. Первый шаг: белый с вероятностью 2/3, чёрный с 1/3. Если первым вышел белый, в мешке остались белый и чёрный — второй шаг идёт с шансами 1/2 и 1/2. Если первым вышел чёрный, остались два белых, и второй шаг белый с вероятностью 1. Пути получились такие: белый-белый 2/3 · 1/2 = 1/3, белый-чёрный 2/3 · 1/2 = 1/3, чёрный-белый 1/3 · 1 = 1/3. Три листа — по 1/3, и сумма сходится. Обрати внимание: пути «чёрный-чёрный» у дерева нет — второго чёрного шара в мешке не осталось, и такая ветка честно обрывается.


Два контрольных правила проверяют любое дерево. Из каждого узла сумма вероятностей выходящих веток равна 1 — иначе один вариант потерян или посчитан дважды. Сумма вероятностей всех листьев тоже равна 1 — весь опыт обязан куда-то привести. Если обе проверки сходятся, дереву можно верить, и ответ по нему считается уверенно. Проверка листьев особенно полезна без возвращения: там легко потерять вариант, когда состав мешка уже изменился.


**Дерево опыта** — схема опыта: точка старта, ветки-варианты шагов, листья-исходы
**Ветка** — один вариант одного шага с его вероятностью
**Путь** — цепочка веток от старта до листа; его вероятность — произведение веток
**Узел** — точка, из которой растут ветки следующего шага
**Независимые события** — второй шаг не зависит от первого: вероятности на ветках не пересчитываются
**Зависимые события** — первый шаг меняет условия второго: шансы на ветках пересчитывают


> **Ловушка.** Союз «и» означает умножение вдоль одного пути, союз «или» — сложение вероятностей разных путей. Складывать можно только пути, которые не пересекаются: пути «орёл-орёл» и «орёл-решка» несовместны, а события «на кубике чётное» и «на кубике больше трёх» пересекаются на четвёрке — их вероятности напрямую складывать нельзя, сумма получится завышенной.


*[Интерактив: Правила дерева — доступен на странице урока]*


### Сложные события: хотя бы один


Вопрос «хотя бы один» пугает длинным списком путей, но на дереве решается через противоположное событие. Бросили две монеты, ждём хотя бы одного орла. Единственный путь без орлов — «решка и решка» с вероятностью 1/2 · 1/2 = 1/4. Значит, шанс хотя бы одного орла — 1 − 1/4 = 3/4: три листа из четырёх, и дерево подтверждает это без всякого пересчёта. Тот же приём работает для «хотя бы одна шестёрка на двух кубиках» и для «хотя бы один белый шар»: ищи единственный неудобный путь и вычитай его из единицы.


**Разбор: два белых шара**

1. Опыт: из мешка с 3 белыми и 2 синими шарами тянем два шара без возвращения. Событие: оба шара белые.
2. Ветви первого шага: белый 3/5, синий 2/5.
3. После белого осталось 2 белых из 4 шаров — ветка 2/4. После синего — 3 белых из 4 — ветка 3/4.
4. Путь «белый и белый» перемножаю. — $$\frac{3}{5} \cdot \frac{2}{4} = \frac{3}{10}$$
5. Событию «оба белых» соответствует единственный путь, ответ 3/10.


| Путь | Ветки | Вероятность пути |
| --- | --- | --- |
| белый, белый | 3/5 и 2/4 | 6/20 = 3/10 |
| белый, синий | 3/5 и 2/4 | 6/20 = 3/10 |
| синий, белый | 2/5 и 3/4 | 6/20 = 3/10 |
| синий, синий | 2/5 и 1/4 | 2/20 = 1/10 |
| проверка: сумма всех листьев |  | 20/20 = 1 |


*[Интерактив: Собери пары — доступен на странице урока]*


> **Совет.** Рисуй дерево даже для простого опыта: две проверки — суммы в узлах и сумма листьев — ловят почти все ошибки за десять секунд. Если в задаче звучит «без возвращения», сразу помечай, как меняются числа в мешке после первого шага. А для «хотя бы один» ищи путь-противоположность: обычно он один, и вычитание короче суммы.


*[Интерактив: Верно или нет? — доступен на странице урока]*


Дерево вероятностей — главный инструмент девятого класса, где появится условная вероятность, и любимая картинка экзаменационных задач про шары и карандаши. Умей нарисовать его для двух шагов и пересчитать ветки после слов «без возвращения» — половина сложных задач курса разваливается на два умножения и одно вычитание. Прогони тренажёр, а потом проверь себя на настоящих монетах: десять пар бросков, и листья дерева оживут прямо на столе.


## Частые вопросы

### Чем дерево вероятностей лучше таблицы исходов?

Таблица удобна для двух одинаковых шагов, а дерево рисуется для любого опыта: шаги могут быть разными и зависимыми. К тому же на дереве сразу видно, какие пути дают нужное событие.


### Почему вдоль пути вероятности умножают, а между путями складывают?

Путь — это последовательность «и»: орёл И шестёрка, поэтому доли перемножаются. Разные пути — это «или»: событие происходит на одном из них, и несовместные шансы складываются.


### Что делать, если шар не возвращают в мешок?

Пересчитать ветки второго шага: в мешке стало на один шар меньше, и доли изменились. На дереве это видно автоматически — под каждым узлом пишутся вероятности именно этого узла.


### Как проверить, что дерево построено правильно?

Двумя суммами: из каждого узла вероятности выходящих веток дают 1, а все листья дерева в сумме тоже дают 1. Если хоть одна сумма расходится — потерян или продублирован вариант.


## Проверь себя (вопросы и ответы)

#### Вопрос 1: Монету бросили, а затем бросили кубик. Сколько листьев у дерева этого опыта?
- ☐ 6
- ☐ 8
- ✅ 12
- ☐ 36

*Пояснение: У монеты 2 ветки, у кубика 6: 2 · 6 = 12 листьев.*


#### Вопрос 2: Сумма вероятностей всех веток, выходящих из одного узла дерева, равна 1.
- ✅ Правда
- ☐ Неправда

*Пояснение: Из узла опыт двигается ровно в один вариант, поэтому доли веток собираются в единицу.*


#### Вопрос 3: Монету бросают дважды. Найди вероятность события «оба раза выпадет орёл». Ответ запиши десятичной дробью.
**Ответ:** 0,25

*Пояснение: Путь «орёл-орёл»: 1/2 · 1/2 = 1/4 = 0,25.*


#### Вопрос 4: Какие пары событий независимы?
- ✅ два броска монеты
- ☐ два шара из мешка без возвращения
- ✅ бросок кубика и бросок монеты
- ☐ две карты подряд из колоды без возвращения

*Пояснение: Без возвращения состав мешка меняется, и второй шаг зависит от первого; броски разных предметов друг о друга ничего не знают.*


#### Вопрос 5: Расставь шаги построения дерева опыта.
**Правильный порядок:** нарисуй корень и ветки первого шага → дострой ветки второго шага из каждого узла → подпиши вероятности веток → перемножь вероятности вдоль нужного пути

*Пояснение: Сначала каркас: корень и первый шаг, затем второй шаг, потом вероятности, и лишь в конце — умножение вдоль пути.*


#### Вопрос 6: Соедини ситуацию с её вероятностью.
- два орла подряд — 1/4
- орёл и шестёрка — 1/12
- сумма вероятностей всех листьев дерева — 1
- два белых шара из 3 белых и 2 синих без возвращения — 3/10

*Пояснение: Пути перемножаются: 1/2 · 1/2 и 1/2 · 1/6; полный сбор листьев даёт единицу, а 3/5 · 2/4 = 3/10.*


#### Вопрос 7: Разложи опыты по типам шагов.
- **Независимые:** два броска монеты, бросок кубика и бросок монеты, вторая вытяжка шара, если первый вернули в мешок, бросок кубика и вытягивание билета
- **Зависимые:** два шара без возвращения, два выстрела, после первого прицел сдвинули

*Пояснение: Если первый шаг ничего не меняет для второго — события независимы; без возвращения и со сдвигом прицела условия второго шага меняются.*


## Тренажёр

На [странице тренажёра](https://shkolniygid.ru/statistika/8-klass/derevya-veroyatnostey-8/trenazher/) — 4 типов задач с бесконечными вариантами чисел, проверкой ответа и разбором каждого шага.