# Геометрическая вероятность: площадь вместо подсчёта

> Геометрическая вероятность: дротик в мишень, точка в квадрате с кругом и ожидание автобуса. Считаем шанс как отношение площадей и длин.

**Вероятность и статистика, 8 класс.** Урок бесплатного онлайн-самоучителя «ШкольныйГид». Обновлено: 2026-10-01.

Страница урока: https://shkolniygid.ru/statistika/8-klass/geometricheskaya-veroyatnost-8/

Тир перед закрытием: остался последний дротик, а на кону приз за попадание в яблочко. Ты примеряешься и бросаешь — дротик втыкается в какую-то точку круга. Каким был шанс попасть точно в центр? Классическая формула m/n спотыкается на первом шаге: точек в круге бесконечно много, их не пересчитать и не разложить по клеткам таблицы. Тот же вопрос стоит про каплю краски, упавшую на паркет, про пассажира, пришедшего на остановку в случайный момент, про стрелку волчка. Для таких опытов вероятность меряют не количеством исходов, а размером фигур.


Разберёмся, почему старая схема не работает. Исходом опыта «дротик и мишень» считается точка попадания, а точек в круге несчётное множество: между любыми двумя найдётся третья. Формула P = m/n требовала конечного списка равновозможных исходов — значит, нужен новый способ сравнивать шансы. Идея простая: если точка падает наудачу, у большей фигуры больше возможностей её поймать. Шанс должен быть пропорционален не количеству точек, а мере фигуры — длине на отрезке или площади на плоскости.


### Меряем не количество, а площадь


Начни с клетчатой бумаги — там всё видно. Квадрат 4 на 4 разбит на 16 одинаковых клеток, и брошенная наудачу точка попадает в каждую с равными правами. Закрашено 4 клетки: шанс попасть в закрашенную часть равен 4/16 = 1/4 — ровно как в классической схеме, только вместо счёта исходов мы сравнили площади. Теперь сотри сетку — и ничего не изменится: закрашенная фигура занимает четверть квадрата, значит, и шанс равен четверти. Вероятность перешла от подсчёта клеток к измерению.


$$P(A) = \frac{S(A)}{S}$$

*S — площадь всей фигуры, S(A) — площадь благоприятной части*


Формула требует двух условий. Первое: точка падает наудачу, без любимых мест — дротик, прилипающий к краю, схему ломает. Второе: благоприятная фигура лежит внутри всей, чтобы площади сравнивались честно. Если фигура вылезает за рамку, считай только общую часть или выбирай рамку побольше. Оба условия в школьных задачах выполняются почти всегда, но проверка занимает секунду и спасает от путаницы.


| Опыт | Вся фигура | Благоприятная часть | Вероятность |
| --- | --- | --- | --- |
| точка в квадрате 4 на 4, закрашено 4 клетки | 16 клеток | 4 клетки | 4/16 = 1/4 |
| точка в квадрате 10 на 10, внутри квадрат 5 на 5 | 100 | 25 | 25/100 = 1/4 |
| капля на балконе 2 м на 3 м, коврик 1 м на 2 м | 6 м² | 2 м² | 2/6 = 1/3 |
| точка на нити длиной 20 см, участок 5 см | 20 см | 5 см | 5/20 = 1/4 |


### Дротик и мишень: круги, кольца и квадраты радиусов


Круглая мишень радиуса 20 см, яблочко — круг радиуса 4 см в центре. Площади: вся мишень 400π см², яблочко 16π см². Вероятность 16π/400π = 16/400 = 0,04 — четыре процента. Заметь: π появилось и сверху, и снизу, поэтому сократилось. Отношение площадей кругов равно отношению квадратов радиусов — именно квадратов: (4/20)² = 1/25. Так что для кругов достаточно поделить радиусы и возвести дробь в квадрат, рисовать ничего не обязательно.


**Разбор: попадание в кольцо**

1. Мишень радиуса 20 см; кольцо между окружностями радиусов 4 см и 10 см. Событие: дротик попал в это кольцо.
2. Площадь внешнего круга: π · 10² = 100π. Площадь яблочка: π · 4² = 16π.
3. Площадь кольца — разность: 100π − 16π = 84π.
4. Делю площадь кольца на площадь мишени. — $$P = \frac{84\pi}{400\pi} = \frac{84}{400} = 0{,}21$$
5. Двадцать один процент: кольцо занимает чуть больше пятой части мишени.


Квадраты радиусов — главный лайфхак круговых задач. Попадание в круг половинного радиуса даёт (1/2)² = 1/4 площади, а не половину. Увеличишь радиус яблочка втрое — шанс вырастет в девять раз. Поэтому нарисованная от руки мишень обманывает глаз: маленький центр выглядит крошечным, а его доля по площади может оказаться ощутимой. Всегда доводи расчёт до отношения площадей, а не радиусов.


> **Ловушка.** Радиусы делят только в квадрате: дробь 4/20 — это не вероятность, вероятность равна (4/20)² = 1/25. Вторая ловушка — граница: у линии и окружности площади нет, поэтому вероятность попасть точно на них считается нулевой, и «попал в круг» даёт ту же дробь, что и «попал строго внутрь». И не смешивай события: кольцо и яблочко не пересекаются, их вероятности складываются — 0,21 + 0,04 = 0,25, ровно доля круга радиуса 10 в мишени.


*[Интерактив: Прикинь шанс — доступен на странице урока]*


Считаем точно. Площадь круга: π · 3² = 9π ≈ 28,27. Площадь квадрата 100. Доля 9π/100 ≈ 0,283 — около 28 процентов. Круг выглядит солидным, но занимает меньше трети квадрата: углы остаются пустыми, и глазомер их не учитывает. Тот же приём работает для любых вложенных фигур — треугольник в прямоугольнике, эллипс в круге: дели площади. Даже диагональ, режущая квадрат на два равных треугольника, мгновенно даёт по 1/2 на каждую половину.


*[Интерактив: Отметь вероятность — доступен на странице урока]*


### Автобусный интервал: вероятность по длине отрезка


Геометрическая вероятность бывает не только плоской. Автобус ходит строго раз в 10 минут, а ты приходишь на остановку в случайный момент. Твоё время ожидания — точка на отрезке от 0 до 10 минут, и все точки равноправны. Благоприятная фигура — кусок отрезка: ждать больше 7 минут означает попасть в последние 3 минуты интервала, шанс 3/10. Площадей нет — сравниваем длины. Эта же схема решает задачи про лифты, очереди и случайные встречи.


| Вопрос про 10-минутный интервал | Подходящая длина | Вероятность |
| --- | --- | --- |
| ждать больше 7 минут | 3 минуты | 3/10 = 0,3 |
| ждать меньше 4 минут | 4 минуты | 4/10 = 0,4 |
| ждать от 2 до 5 минут | 3 минуты | 3/10 = 0,3 |
| ждать ровно 5 минут | 0 минут | 0 |


**Разбор: окно ожидания**

1. Автобус приходит раз в 10 минут; ты пришёл наудачу. Событие: ждать от 2 до 5 минут.
2. Рисую отрезок от 0 до 10: каждая точка — возможное время ожидания.
3. Благоприятный кусок — от 2 до 5, его длина 5 − 2 = 3 минуты.
4. Делю подходящую длину на всю. — $$P = \frac{3}{10} = 0{,}3$$
5. Три шанса из десяти. Если бы интервал был час, доля не изменилась: важно отношение длин.


Обратная задача встречается не реже прямой. Пятно краски упало наудачу на пол 4 м на 5 м; ковёр занимает 6 м². Шанс, что пятно на ковре, — 6/20 = 0,3. А если известно, что шанс попасть в квадратную салфетку на этом полу равен 0,2, то её площадь 4 м², сторона 2 м. Обрати внимание на ход: вероятность переводится в площадь, площадь — в размер фигуры. Так решаются задачи, где по известному шансу спрашивают сторону, длину или радиус.


*[Интерактив: Больше или меньше половины — доступен на странице урока]*


*[Интерактив: Собери пары — доступен на странице урока]*


*[Интерактив: Верно или нет? — доступен на странице урока]*


*[Интерактив: Правило площадей — доступен на странице урока]*


**Геометрическая вероятность** — отношение меры благоприятной фигуры к мере всей: площадей или длин
**Мера** — размер фигуры: длина на отрезке, площадь на плоскости
**Благоприятная фигура** — та часть всей фигуры, попадание в которую засчитывается событию
**Отношение квадратов радиусов** — доля площади одного круга в другом: (r/R)²
**Кольцо** — часть круга между двумя окружностями; площадь — разность площадей кругов


> **Совет.** Порядок действий в любой задаче: нарисуй всю фигуру, заштрихуй благоприятную, найди две меры и раздели. Круги сравнивай квадратами радиусов, отрезки — длинами, клетки — счётом. Ответ проверь на здравый смысл: дробь обязана лежать между 0 и 1, а для симметричных картинок полезно сравнение с половиной на глаз. Прогони тренажёр: он подставляет разные радиусы и интервалы, и деление площадей должно стать рефлексом.


Геометрическая вероятность закрывает опыты, где исход нельзя пересчитать: мишень в тире, пятно на паркете, интервал автобуса. Метод один — отношение мер, и он продолжает классическую дробь m/n: количество клеток заменилось площадью, а деление осталось. Дальше по курсу события станут независимыми и зависимыми, а потом появится средний выигрыш — но везде под капотом будет та же идея доли. Попробуй прикинуть на глаз пять-шесть картинок до расчёта: глазомер, подкреплённый формулой, ошибается редко.


## Частые вопросы

### Почему вероятность попасть точно в линию равна нулю?

У линии и окружности площадь равна нулю, а в геометрической схеме шанс равен доле площади. Поэтому событие «попасть точно на границу» не меняет расчёт: дробь для круга и для круга без границы одна и та же.


### Что делать, если благоприятная фигура не помещается целиком в большую?

Считать можно только общую часть: площадь фигуры внутри рамки делят на площадь рамки. Если фигура вылезает за границу, либо обрезай её по рамке, либо выбирай рамку так, чтобы всё уместилось.


### Как посчитать вероятность попадания в кольцо между двумя окружностями?

Найди площадь внешнего круга и площадь внутреннего, вычти меньшую из большей и раздели на площадь всей мишени. Для кругов удобно сокращать π и работать с квадратами радиусов.


### Чем геометрическая вероятность отличается от классической?

Классическая формула m/n требует конечного числа равновозможных исходов. В геометрической схеме исходов бесконечно много, поэтому вместо счёта сравнивают площади фигур или длины отрезков.


## Проверь себя (вопросы и ответы)

#### Вопрос 1: Точку бросают наудачу в квадрат 8 на 8, внутри него лежит квадрат 2 на 2 со сторонами, параллельными сторонам большого. Какова вероятность попасть в маленький квадрат?
- ☐ 1/4
- ☐ 1/8
- ✅ 1/16
- ☐ 1/64

*Пояснение: Площади: 2 · 2 = 4 и 8 · 8 = 64. Доля 4/64 = 1/16.*


#### Вопрос 2: Какие опыты описываются геометрической вероятностью?
- ✅ дротик брошен наудачу в круглую мишень
- ☐ кубик бросили один раз
- ✅ автобус подходит в случайный момент 10-минутного интервала
- ☐ из мешка вытащили один шар

*Пояснение: Геометрическая схема нужна, когда исход — точка в фигуре или на отрезке: мишень и интервал подходят. У кубика и мешка исходов конечное число — это классическая схема.*


#### Вопрос 3: Автобус подходит в случайный момент 10-минутного интервала. Найди вероятность (десятичной дробью) того, что ждать осталось меньше 3 минут.
**Ответ:** 0,3

*Пояснение: Подходящая часть отрезка — первые 3 минуты из 10: доля 3/10 = 0,3.*


#### Вопрос 4: В геометрической схеме вероятность находят делением площади или длины, а не подсчётом исходов.
- ✅ Правда
- ☐ Неправда

*Пояснение: Исходов бесконечно много, поэтому считают долю площади или длины благоприятной фигуры.*


#### Вопрос 5: Расставь события по возрастанию вероятности.
**Правильный порядок:** яблочко радиуса 2 в мишени радиуса 20 → круг радиуса 3 в квадрате 10 на 10 → квадрат 5 на 5 в квадрате 10 на 10 → ждать не дольше 5 минут при 10-минутном интервале

*Пояснение: Шансы: (2/20)² = 0,01; 25/100 = 0,25; 9π/100 ≈ 0,283; 5/10 = 0,5.*


#### Вопрос 6: Соедини ситуацию с её вероятностью.
- круг радиуса 5 в квадрате 10 на 10 — π/4 ≈ 0,79
- квадрат 4 на 4 в квадрате 8 на 8 — 1/4
- ждать больше 6 минут при 10-минутном интервале — 0,6
- яблочко радиуса 4 в мишени радиуса 20 — 0,04

*Пояснение: Делим площади или длины: 25π/100 = π/4 ≈ 0,79; 16/64 = 1/4; 6/10 = 0,6; (4/20)² = 0,04.*


#### Вопрос 7: Разложи ситуации по способу подсчёта.
- **считают по площади:** дротик брошен наудачу в круглую мишень, капля краски упала наудачу на паркет, точка наудачу внутри квадрата
- **считают по длине:** автобус подходит в случайный момент 12-минутного интервала, лифт приходит в случайный момент получаса, муравей остановился в случайной точке нити

*Пояснение: Мишень, паркет и квадрат — площади; интервалы автобуса и лифта и точка на нити — длины.*


## Тренажёр

На [странице тренажёра](https://shkolniygid.ru/statistika/8-klass/geometricheskaya-veroyatnost-8/trenazher/) — 4 типов задач с бесконечными вариантами чисел, проверкой ответа и разбором каждого шага.