Калькулятор тонкой линзы

Очки, лупа, проектор и человеческий глаз делают одно и то же: строят изображение с помощью линзы. Но очки у близоруких «уменьшают» мир, лупа увеличивает буквы, а проектор разворачивает крошечный кадр плёнки в двухметровую картину на экране. Разница не в стекле как таковом, а в том, какой у линзы знак и где относительно фокуса стоит предмет. Калькулятор выше принимает фокусное расстояние и расстояние до предмета, вычисляет, где и какое получится изображение, увеличение и оптическую силу в диоптриях, а ниже разберём формулу тонкой линзы, правило знаков и три классических случая для собирающей линзы. Подставь числа из своей задачи — и увидишь сразу и положение изображения, и его характер, и подсказку, где проходит граница.

Формула тонкой линзы и правило знаков

Линза — прозрачное тело, ограниченное сферическими поверхностями; тонкой её называют, когда толщина мала по сравнению с радиусами этих поверхностей. У каждой линзы есть фокус — точка, где пересекаются лучи, идущие параллельно главной оптической оси; расстояние до неё — фокусное расстояние F. У собирающей линзы фокус настоящий: параллельный пучок после стекла сходится в точку, и F берут положительным. У рассеивающей лучи после линзы расходятся, и пересекаются только их мысленные продолжения — фокус мнимый, F отрицательное. Связывает все величины формула тонкой линзы: $\frac{1}{F}=\frac{1}{d}+\frac{1}{f}$, где d — расстояние от предмета до линзы, f — от линзы до изображения; отсюда $f=\frac{dF}{d-F}$.

Изображение бывает действительным или мнимым. Действительное строят сами лучи: они реально пересекаются за линзой, картинку можно поймать на экране, она перевёрнута и лежит по другую сторону линзы. Мнимое — точка пересечения не лучей, а их продолжений: глаз разворачивает расходящийся пучок назад, и предмет «виден» сквозь линзу прямым, с той же стороны, что и сам предмет. Знак f в формуле всё рассказывает: положительный f — изображение действительное, отрицательный — мнимое. У рассеивающей линзы f выходит отрицательным при любом d: она всегда даёт мнимое, прямое и уменьшенное изображение, поэтому в очках близоруких предметы кажутся чуть мельче.

Изображение удобно строить тремя стандартными лучами. Первый идёт параллельно главной оптической оси и после линзы проходит через фокус; второй проходит через оптический центр и не преломляется вовсе; третий идёт через передний фокус и выходит параллельно оси. Любые два из трёх пересекаются в точке изображения — этого достаточно, чтобы начертить картинку и проверить формулу. Пересекаются сами лучи — изображение действительное; пересекаются только их продолжения — мнимое. Такой чертёж стоит сделать от руки хотя бы раз: после него формула тонкой линзы перестаёт быть абстракцией, а знак f читается прямо по рисунку.

Три случая собирающей линзы: глаз, проектор, лупа

Для собирающей линзы всё определяется положением предмета относительно фокуса и двойного фокуса. Если предмет дальше двойного фокуса (d больше 2F), изображение действительное, перевёрнутое и уменьшенное — так работают глаз и фотоаппарат: огромный мир укладывается на крошечную сетчатку или матрицу. Если предмет между фокусом и двойным фокусом, изображение действительное, перевёрнутое и увеличенное — так работают проектор и кинопроектор: маленький кадр становится большим экраном. Если предмет ближе фокуса, изображение мнимое, прямое и увеличенное — это лупа: букву рассматривают сквозь стекло, и она кажется крупной, оставаясь на месте. На границе, при d = 2F, изображение получается в натуральную величину — удобная контрольная точка при настройке. Заметь: действительное изображение превращается в мнимое не постепенно, а скачком при переходе предмета через фокус — самая коварная граница в задачах.

Увеличение — это отношение размера изображения к размеру предмета, и в тонкой линзе оно равно отношению расстояний: $\Gamma =\frac{|f|}{d}$. Пример проектора: кадр плёнки поставили на d = 12 см от объектива с F = 10 см. Тогда $f=\frac{12\cdot 10}{12-10}=60$ см — изображение построилось в шести дециметрах за объективом, а увеличение $\Gamma =\frac{60}{12}=5$: слайд высотой 3 см даст картинку 15 см. Хочешь больше — придвигай кадр ближе к фокусу, но помни: чем больше увеличение, тем тусклее картинка, потому что тот же свет растягивается на большую площадь экрана.

Числовой пример для рассеивающей линзы: предмет стоит в d = 30 см от очкового стекла с F = −20 см. Формула даёт $f=\frac{30\cdot (-20)}{30-(-20)}=-12$ см: изображение мнимое, в 12 сантиметрах перед линзой, а увеличение $\Gamma =\frac{12}{30}=0,4$ — предмет виден прямым, но на 60 процентов меньше. Именно так работают минусовые очки: глаз получает ослабленный расходящийся пучок и уже сам фокусирует его точно на сетчатке.

Диоптрии: оптическая сила линзы

Офтальмолог и оптик измеряют линзы не в сантиметрах фокуса, а в диоптриях. Оптическая сила — обратное фокусное расстояние, выраженное в метрах: $D=\frac{1}{F}$; единица измерения — дптр. Стекло с D = +2 дптр имеет фокус $F=0,5$ м, а D = −4 дптр означает рассеивающую линзу с фокусом −25 см: знак диоптрий повторяет знак линзы. Переводить просто: F = 1/D, поэтому очки «плюс полдптрии» — это фокус два метра, а «минус один» — минус один метр. Чем сильнее линза, тем меньше фокус и больше диоптрий: у лупы с фокусом 5 см оптическая сила +20 дптр — в десять раз больше, чем у стекла в +2. Полезное следствие: стёкла, прижатые вплотную, складывают оптические силы — линза +2 дптр рядом с −0,5 дптр работает как одна на +1,5 дптр.

Аккомодация — умение глаза менять оптическую силу: ресничные мышцы меняют кривизну хрусталика, и глаз настраивается от дальних предметов к ближним. При близорукости лучи сводятся перед сетчаткой — глаз слишком «сильный» или длинный, нужны рассеивающие очки с минусовыми диоптриями. При дальнозоркости, наоборот, изображение собирается за сетчаткой, близкие предметы расплываются, и помогают собирающие «плюсовые» стёкла. Тот же принцип в технике: объектив фотоаппарата строит уменьшенное действительное изображение на матрице, микроскоп увеличивает предмет дважды — объективом и окуляром, телескоп собирает свет далёких звёзд. Все эти приборы рассчитываются одной формулой тонкой линзы, которую проверяет калькулятор выше. Сверь любой из них со своим чертежом: совпадение знака f и характера изображения — самая честная проверка понимания.