Самоучитель · 7–11 классы
Геометрия: самоучитель с интерактивом
Треугольники, окружности, площади и стереометрия — каждый чертёж можно покрутить и потрогать.
62тем с уроками и квизами
192интерактивных лабораторий
468вопросов в квизах
7–11классы программы
Мини-квиз: проверьте себя прямо сейчас
Клавиши 1–9 выбирают вариант, Enter — «Проверить»
1 Сумма углов треугольника равна...
2 Диагонали ромба...
Геометрия — 7 класс
Каждая тема — урок с интерактивом, квизом и отдельным тренажёром с бесконечными вариантами.
- Второй и третий признаки равенства треугольниковДва оставшихся признака равенства: по стороне с двумя прилежащими углами и по трём сторонам — и объяснение, почему треугольники такие жёсткие.Открыть урок
- Задачи на построение циркулем и линейкойТранспортира нет, линейки с делениями тоже: циркуль и кромка против середины отрезка, перпендикуляра и биссектрисы.Открыть урок
- Неравенство треугольника и соотношения сторон и угловПочему наискосок всегда короче ломаной: против большей стороны — больший угол, и ни одна сторона не дотянется до суммы двух других.Открыть урок
- Неравенство треугольника. Соотношения между сторонами и угламиПроверь, сложится ли треугольник из трёх отрезков, и научись без единого измерения находить самую длинную сторону и самый большой угол: теоремы о соотношениях плюс неравенство треугольника.Открыть урок
- Параллельные прямые. Углы при секущейРельсы никогда не встретятся, а секущая позволяет по одному углу вычислить все остальные. Признаки параллельности и углы при секущей.Открыть урок
- Первый признак равенства треугольниковДве равные стороны и равный угол между ними гарантируют равные треугольники. Разбираем, как правильно оформить доказательство.Открыть урок
- Построение треугольника по трём элементам. Расстояние от точки до прямойТри числа в чертеже козырька задают треугольник целиком: строим по трём сторонам, по двум сторонам и углу, по стороне и двум углам — и доказываем, что построили именно то, что задано.Открыть урок
- Прямоугольные треугольники: свойства и признакиПрямой угол упрощает всё: острые углы дают 90°, катет против 30° — половина гипотенузы, а признаков равенства становится четыре.Открыть урок
- Равнобедренный треугольник 7 класс: свойстваКрыша, циркуль и флюгер: равнобедренный треугольник узнаём по двум равным сторонам, доказываем равенство углов при основании и решаем задачи на углы и периметр.Открыть урок
- Равнобедренный треугольник: медианы, биссектрисы и высотыТри важных отрезка треугольника — медиана, биссектриса и высота — и волшебное свойство равнобедренного треугольника, где они совпадают.Открыть урок
- Расстояние от точки до прямой. Перпендикуляр и наклоннаяКратчайший путь от колодца до дороги — перпендикуляр: сравним перпендикуляр и наклонные, выведем расстояние между параллельными прямыми и построим перпендикуляр одним циркулем.Открыть урок
- Смежные и вертикальные углыСмежные углы в сумме дают 180°, вертикальные равны. Учимся находить любой угол при пересечении двух прямых, зная всего один.Открыть урок
- Сумма углов треугольника. Внешний уголВ любом треугольнике три угла дают 180° — от расчерченного на бумаге до крыши дома. Внешний угол оказывается даже полезнее внутреннего.Открыть урок
- Точка, прямая, отрезок, луч и уголРазбираемся, из каких «кирпичей» строится вся геометрия: точка, прямая, отрезок, луч и угол — и учимся обозначать и измерять их без ошибок.Открыть урок
Геометрия — 8 класс
Каждая тема — урок с интерактивом, квизом и отдельным тренажёром с бесконечными вариантами.
- Вписанная и описанная окружности. Замечательные точкиКруг в треугольнике и треугольник в круге: биссектрисы, серединные перпендикуляры и четыре знаменитые точки.Открыть урок
- Замечательные точки треугольника. Вписанная и описанная окружностиКолодец, равноудалённый от трёх домов, и круглый фонтан в треугольной клумбе: биссектрисы, медианы, высоты и серединные перпендикуляры сходятся в четырёх замечательных точках — построим каждую.Открыть урок
- Касательная к окружности 8 класс: свойстваКолесо, гайка и кольцо на пальце: касательная прижимается к окружности в одной точке, а два её свойства — перпендикуляр к радиусу и равные отрезки — решают половину задач.Открыть урок
- Окружность: касательная, хорды и вписанные углыКолесо, торцевой ключ и циферблат: касательная, хорда и вписанный угол — три инструмента для работы с окружностью.Открыть урок
- Параллелограмм и трапецияШарнирный параллелограмм поднимает ворота гаража, трапеция держит крышу. Свойства четырёхугольников и их средние линии — по шагам.Открыть урок
- Площади: прямоугольник, треугольник, параллелограмм, трапецияСколько краски уйдёт на стену с фронтоном? Четыре формулы площадей и умение видеть в сложной фигуре набор простых.Открыть урок
- Подобные треугольникиДерево на карте и на местности различаются во много раз, но форма та же. Подобие и коэффициент k — математика масштаба.Открыть урок
- Прямоугольник, ромб и квадратТри родные фигуры параллелограмма: прямоугольник с равными диагоналями, ромб с перпендикулярными и квадрат, объединивший всё.Открыть урок
- Синус, косинус и тангенс острого углаЛестница под углом 60° и таблица из шести чисел: синус, косинус и тангенс переводят угол в отношения сторон.Открыть урок
- Синус, косинус, тангенс острого угла прямоугольного треугольникаТрос у столба, тень от флагштока, пандус у школы: синус, косинус и тангенс переводят угол в отношение сторон и позволяют вычислить треугольник целиком.Открыть урок
- Средняя линия треугольника. Применение подобияОтрезки между серединами сторон вдвое короче параллельных им сторон: теорема о средней линии, средняя линия трапеции и задачи ОГЭ на подобие.Открыть урок
- Теорема ПифагораКвадраты на сторонах прямоугольного треугольника: формула Пифагора, обратная теорема и тройки чисел, которые стоит запомнить.Открыть урок
- Теорема Фалеса 8 класс: формулировка и задачиРовные пролёты забора и деления шкалы: параллельные прямые переносят равные отрезки с одной секущей на другую, а циркуль с линейкой делят отрезок на сколько угодно равных частей.Открыть урок
- Центральные и вписанные углы 8 класс: задачиСтрелки часов и колесо обозрения: центральный угол меряет дугу целиком, вписанный — половину, и от этого правила зависят все задачи про углы на окружности.Открыть урок
Геометрия — 9 класс
Каждая тема — урок с интерактивом, квизом и отдельным тренажёром с бесконечными вариантами.
- Аксиомы планиметрииШнур между двумя колышками и правила игры планиметрии: какие бывают аксиомы, почему их не доказывают и как из аксиомы параллельных вырастает сумма углов треугольника.Открыть урок
- Векторы на плоскости. Метод координатЛодка против течения, ветер и курс самолёта: векторы складываются по правилу треугольника, а длина вектора считается как гипотенуза.Открыть урок
- Движения и преобразованияКак из одной фигуры собирается орнамент: осевая и центральная симметрия, параллельный перенос и поворот — четыре движения, сохраняющие расстояния.Открыть урок
- Длина окружности и площадь кругаКолесо, циферблат и кусок пиццы: как связаны длина окружности и площадь круга, зачем дуге градусная мера и где путают 2πr с πr².Открыть урок
- Задачи на геометрические преобразованияЗеркало, река и луч света: метод симметрии превращает ломаный маршрут в отрезок, параллельный перенос и поворот решают задачи на построение, а площади при движениях не меняются.Открыть урок
- Начальные сведения из стереометрииКоробка, аквариум и банка: из плоской планиметрии переходим в объёмное пространство — многогранники, тела вращения, развёртки и формула Эйлера.Открыть урок
- Правильные многоугольникиПочему соты шестиугольные и паркет обходится без пятиугольников: углы правильного многоугольника, вписанная и описанная окружности, сторона и площадь.Открыть урок
- Решение треугольников 9 класс: синусы и косинусыТри программы решения треугольника: по двум сторонам и углу между ними, по стороне и двум углам, по трём сторонам — и правило выбора между теоремами синусов и косинусов.Открыть урок
- Скалярное произведение векторовЧемодан на колёсиках и работа силы: как скалярное произведение превращает два вектора в число, когда оно равно нулю и что знак говорит про угол.Открыть урок
- Теоремы синусов и косинусов. Правильные многоугольники и кругИзмеряем недостижимое: теоремы синусов и косинусов решают треугольник по неполным данным, а правильные многоугольники упорядочивают круг.Открыть урок
- Уравнение окружности и прямойЗона Wi-Fi и радар: как уравнение окружности описывает круг на координатной плоскости, что говорит уравнение прямой и когда прямая с окружностью касаются.Открыть урок
- Уравнение прямой на плоскостиТариф такси и уклон пандуса: как уравнение прямой с угловым коэффициентом описывает линию, когда прямые параллельны и перпендикулярны, как найти расстояние от точки до прямой и точку пересечения.Открыть урок
Геометрия — 10 класс
Каждая тема — урок с интерактивом, квизом и отдельным тренажёром с бесконечными вариантами.
- Аксиомы стереометрии. Прямые в пространствеТри аксиомы, с которых начинается стереометрия: как задать плоскость, когда прямые скрещиваются и почему плинтус идёт по линии пересечения. С примерами и тренажёром.Открыть урок
- Двугранный угол и перпендикулярность плоскостейДвугранный угол: грани, ребро и линейный угол, площадь проекции через косинус и признак перпендикулярности плоскостей — на дверях, стенах и скатах крыши.Открыть урок
- Многогранники: призма, параллелепипед, пирамидаПризма, параллелепипед и пирамида: грани, рёбра, объём призмы и объём пирамиды — на коробках при переезде и с тренажёром.Открыть урок
- Параллельность прямых и плоскостейЧто параллельно в пространстве: прямая и плоскость, параллельные плоскости, признаки и доказательства на примерах веток метро и стен комнаты.Открыть урок
- Перпендикулярность прямых и плоскостейПерпендикуляр и наклонная, проекция и расстояние от точки до плоскости: признак перпендикулярности, примеры со столбом и тенью, тренажёр.Открыть урок
- Правильная пирамида: апофема и площадь поверхности — геометрия 10 классПравильная пирамида: апофема через теорему Пифагора, площадь боковой поверхности как половина периметра на апофему — на примере раскроя шатра.Открыть урок
- Правильные многогранники — геометрия 10 класс: пять платоновых телПять платоновых тел и теорема Эйлера: почему правильных многогранников ровно пять и как считать вершины, рёбра и грани без пересчитывания.Открыть урок
- Правильные многогранники. Тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр, икосаэдрОт кристалла соли до геодезического купола: пять правильных многогранников, таблица их граней и вершин, теорема Эйлера и задачи на рёбра, диагонали и развёртки.Открыть урок
- Призма: площадь поверхности призмы — геометрия 10 классПлощадь поверхности призмы через развёртку: боковая P·h, полная с двумя основаниями — считаем стекло аквариума и обёртку коробки без ошибок.Открыть урок
- Сечения многогранников 10 класс: как строитьПлоскость режет куб наискось — и на срезе внезапно шестиугольник: строим сечения многогранников методом следов, без ошибочных отрезков между чужими гранями.Открыть урок
Геометрия — 11 класс
Каждая тема — урок с интерактивом, квизом и отдельным тренажёром с бесконечными вариантами.
- Векторы в пространстве. Скалярное произведениеВекторы в пространстве: координаты, длина и скалярное произведение — учимся находить углы и проверять перпендикулярность.Открыть урок
- Вписанная и описанная сферы — 11 класс: куб, конус, пирамидаКомбинации со сферами: описанная сфера вокруг куба и призмы, вписанная сфера конуса и пирамиды, центр на высоте, метод осевого сечения и главные радиусы.Открыть урок
- Движения в пространстве — 11 класс: симметрии и переносДвижение сохраняет расстояния: центральная, осевая и зеркальная симметрии, параллельный перенос и их композиции — с проверкой на координатах и правилом удвоения.Открыть урок
- Движения в пространстве. Симметрии и параллельный переносОт правой и левой перчатки до кристаллов и паркетов: движение в пространстве сохраняет расстояния, а симметрии и перенос задаются точкой, прямой, плоскостью и вектором.Открыть урок
- Метод координат: расстояния и углыМетод координат: расстояние между точками, середина отрезка и угол между векторами — три формулы, которые решают большинство задач.Открыть урок
- Объёмы телСчитаем объём цилиндра, конуса и шара на бочках, рожках мороженого и цистернах: формулы, перевод в литры и типичные ошибки.Открыть урок
- Площади поверхностей цилиндра, конуса и шара — геометрия 11 классПлощади поверхностей цилиндра, конуса и сферы через развёртки, образующая вместо высоты и все осевые сечения — на примере покраски садового бака.Открыть урок
- Расстояние от точки до плоскости — 11 класс: методы и задачиВсе расстояния стереометрии: точка и плоскость, точка и прямая, параллельные плоскости, скрещивающиеся прямые через общий перпендикуляр и метод объёмов.Открыть урок
- Скалярное произведение векторов в пространстве — 11 классСкалярное произведение в пространстве: угол между векторами, координатная формула с тремя слагаемыми, ноль для перпендикулярных и физический смысл — работа силы.Открыть урок
- Тела вращения: цилиндр, конус, шарЦилиндр, конус и шар как тела вращения: откуда они берутся, чем различаются и как считать их объём — с формулами и жизненными примерами.Открыть урок
- Теорема о трёх перпендикулярах — 11 класс: формулировка и применениеТеорема о трёх перпендикулярах: наклонная, проекция и перпендикуляр в одном прямоугольном треугольнике, прямая и обратная формулировки, расстояние от точки до прямой.Открыть урок
- Угол между прямой и плоскостью — 11 класс: формулы и задачиУглы в стереометрии: скрещивающиеся прямые через параллельный перенос, угол прямой с плоскостью по проекции, двугранный угол и его линейный угол.Открыть урок
Как устроен самоучитель по геометрии
Каждая тема — это отдельный урок: короткая теория с формулами, интерактивная лаборатория, чтобы «пощупать» правило руками, квиз на самопроверку и отдельный тренажёр с бесконечными вариантами задач. Пройденный материал отмечается в вашем профиле прогресса — данные хранятся только в вашем браузере.
Начните с класса, в котором учитесь сейчас, и идите по порядку: темы выстроены так же, как в школьной программе. Застряли — открывайте справочник формул или гайд по подготовке.
Популярные темы этого предмета
С них чаще всего начинают: первые темы каждого класса задают ход всей программы года.