Уравнение прямой на плоскости

Такси берёт 90 рублей за посадку и по 12 рублей за каждый километр: поездка на 8 км обойдётся в 12 · 8 + 90 = 186 рублей. Зависимость «километры — рубли» рисует на координатной плоскости прямую, и такие прямые окружают везде: график тарифа, уклон пандуса, след самолёта на экране диспетчера. Пока вопрос прямой — «сколько стоит восемь километров», хватает арифметики. Но стоит спросить, при каком пробеге две компании берут поровну, или какой путь до шоссе короче, нужна алгебра: уравнение, которое описывает линию целиком.

Общее уравнение и вид с угловым коэффициентом

Прямая на плоскости задаётся уравнением первой степени: ax + by + c = 0, где a, b, c — числа, причём a и b не равны нулю одновременно. Это общее уравнение прямой. Возьмём $3x-2y+6=0$: каждая точка, подстановка которой обращает равенство в верное, лежит на этой прямой, и наоборот. Выразим отсюда y: $y=1,5x+3$ — получилась вторая форма записи, с угловым коэффициентом. Обе формы описывают одну линию, но отвечают на разные вопросы.

Запись y = kx + b — самая употребительная. Число k — угловой коэффициент: он показывает наклон прямой, а b — ордината точки, в которой прямая пересекает ось y. У прямых y = 2x + 1 и y = 2x − 3 одинаковый наклон 2, вторая просто сползла на четыре единицы вниз; у y = −x + 4 наклон отрицательный — с ростом x прямая убывает. График линейной функции из алгебры и уравнение прямой из геометрии — один и тот же объект, увиденный с двух сторон.

k связан с углом: k = tg α, где α — угол между прямой и положительным направлением оси x. Наклон 1 — это 45°, наклон $\sqrt{3}\approx 1,73$ — это 60°, ноль — горизонтальная прямая. Отрицательный k означает тупой угол: прямая y = −x идёт вниз под 135°. Пандус с уклоном 0,08 поднимается на 8 см на каждый метр длины — тот же тангенс, только в строительных терминах.

Уравнение прямой через две точки

Через две точки проходит ровно одна прямая — значит, по точкам A(x₁; y₁) и B(x₂; y₂) уравнение восстанавливается однозначно. Угловой коэффициент — это «подъём на единицу шага»: $k=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$. Знаменатель обязан быть ненулевым: если абсциссы точек совпали, прямая вертикальна и её уравнение — просто x = x₁. Найдя k, подставь координаты любой из точек в y = kx + b и достань b.

Обратная задача из ОГЭ — проверить, лежит ли точка на прямой. Подставь её координаты в уравнение: равенство сошлось — точка на прямой, не сошлось — мимо. Для y = 2x + 1 точка (5; 11) подходит: 2 · 5 + 1 = 11. Точка (4; 10) — нет: 2 · 4 + 1 = 9, а не 10. На том же приёме строится задача «при каком k прямая проходит через точку»: неизвестный коэффициент обозначают буквой, подставляют координаты и решают уравнение с одной неизвестной.

Параллельность и перпендикулярность прямых

Параллельные прямые имеют одинаковый наклон: k₁ = k₂ при разных b. Прямые y = 3x + 2 и y = 3x − 7 никогда не встретятся: куда ни шагни, обе поднимаются одинаково быстро, а стартуют с разной высоты. В общих уравнениях 3x − 2y + 6 = 0 и 3x − 2y − 5 = 0 коэффициенты при x и y совпадают, а свободные члены разные — те же две параллельные дороги, просто записанные без выраженного y.

Перпендикулярность звучит как фокус: k₁ · k₂ = −1. Прямая y = 2x − 1 растёт вдвое быстрее шага, перпендикуляр к ней обязан иметь k = −1/2, ведь произведение 2 · (−1/2) = −1. Причина — поворот на 90°: тангенсы углов, отличающихся на прямой угол, — обратные числа с противоположными знаками. Исключение то же, что и раньше: к вертикальной прямой перпендикулярна горизонтальная, у которой k = 0, и формула на неё не рассчитана.

Расстояние от точки до прямой

Расстояние от точки до прямой — длина перпендикуляра, опущенного из точки. Считается без всяких построений: для прямой ax + by + c = 0 и точки (x₀; y₀) действует формула с модулем в числителе. Числитель — подставил точку и взял модуль, знаменатель — длина вектора (a; b), перпендикулярного прямой. Формула работает для любого общего уравнения, включая вертикальные прямые, где запись с угловым коэффициентом отказывается служить.

Полезный частный случай: расстояние от начала координат до прямой ax + by + c = 0 равно |c|/√(a² + b²) — числитель сокращается до модуля свободного члена. Для 3x + 4y − 10 = 0 это 10/5 = 2. Такой короткий расчёт часто прячется в середине задач ОГЭ про касание окружности и прямой или про минимальное расстояние от пункта до дороги.

Точка пересечения прямых

Общая точка двух прямых — решение системы их уравнений: приравняй правые части или вычти одно уравнение из другого. Прямые y = 2x + 1 и y = x + 3 пересекаются там, где 2x + 1 = x + 3, то есть в точке (2; 5): икс находят из равенства, игрек — подстановкой в любое из уравнений. Три исхода системы повторяют геометрию: один корень — пересечение, ни одного — параллельность, бесконечно много — уравнения задают одну и ту же прямую.

Словарь урока

Общее уравнение прямой#

ax + by + c = 0: уравнение первой степени, описывающее любую прямую, включая вертикали

Угловой коэффициент#

число k в записи y = kx + b, равное тангенсу угла наклона к оси x

Параллельность#

k₁ = k₂ при b₁ ≠ b₂: прямые не встречаются никогда

Перпендикулярность#

k₁ · k₂ = −1: прямые пересекаются под прямым углом

Расстояние от точки до прямой#

длина перпендикуляра: |ax₀ + by₀ + c|/√(a² + b²)

Точка пересечения#

решение системы уравнений двух прямых

Уравнение прямой — рабочий инструмент координатного метода: задачу с чертежом он переводит в систему уравнений, где действуют алгебраические правила. В ОГЭ спрашивают вид уравнения, принадлежность точки, параллельность, перпендикулярность и точку пересечения. Отработай тренажёр, а следующий урок — про то, как симметрия, перенос и поворот решают задачи на кратчайшие пути и построение: там движение работает как инструмент, а не как определение из учебника.

Подсказка: клавиши J — следующая тема, K — предыдущая, на телефоне: свайп влево/вправо — соседняя тема