Калькулятор квадратного уравнения

Дана контрольная, в руках только ручка, а в задании уравнение $3x^2-5x-2=0$. Калькулятор выше решит его за секунду, но настоящая польза в другом: он показывает каждый шаг — куда подставить коэффициенты, как считается дискриминант и откуда берутся корни. Реши уравнение сначала сам, а потом сверь ход решения: так формула запоминается с первого раза, а не на двадцатый.

Что такое квадратное уравнение и какие они бывают

Квадратное уравнение — это уравнение вида $a{x}^2+bx+c=0$, где $a\ne 0$. Число $a$ называют первым или старшим коэффициентом, $b$ — вторым, $c$ — свободным членом. Старший коэффициент не может быть нулём: если $a=0$, слагаемое с квадратом исчезает, и уравнение превращается в линейное $bx+c=0$, которое решается в одно действие.

Полное уравнение имеет все три слагаемых, неполные — часть из них. Варианта три: $c=0$ (например $x^2-9=0$), $b=0$ (например $2x^2+18=0$) и оба равны нулю. Неполные уравнения решаются без дискриминанта: в первом случае вынеси $x$ за скобку, во втором вырази $x^2$. Если после переноса $c$ вправо получается $x^2=-25$, действительных корней нет — квадрат действительного числа не бывает отрицательным.

Дискриминант: счётчик корней

Слово «дискриминант» происходит от латинского discriminare — «различать». Он и различает: сколько корней у уравнения. Формула $D=b^2-4ac$ даёт три случая, и каждый виден уже по знаку.

• D > 0 — два различных корня: график пересекает ось x в двух точках.
• D = 0 — один корень (говорят «двойной»): парабола касается оси в вершине.
• D < 0 — действительных корней нет: парабола висит выше оси или ниже неё, не касаясь.

Почему формула именно такая, интересно увидеть один раз. Разделим уравнение на $a$ и выделим полный квадрат: $x^2+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a}$. Добавим к обеим частям $\frac{b^2}{4a^2}$ — слева получится полный квадрат ${\left(x+\frac{b}{2a}\right)}^2$, справа — $\frac{b^2-4ac}{4a^2}$, то есть дискриминант, делённый на $4a^2$. Извлекаешь корень — и получаешь формулу корней. Дискриминант не выдуман, он естественно вылезает из выделения квадрата.

Теорема Виета: проверка за десять секунд

Франсуа Виет в XVI веке заметил связь корней с коэффициентами: сумма корней равна $-\frac{b}{a}$, а произведение — $\frac{c}{a}$. Для приведённого уравнения, где $a=1$, ещё проще: сумма корней равна второму коэффициенту с минусом, произведение — свободному члену.

Виета используют в две стороны. Прямая: подобрать корни в уме, глядя на свободный член — для целых корней это быстрее формулы. Обратная: проверить найденные корни — подставь их сумму и произведение, сойдётся с коэффициентами, значит, решение верное. На ОГЭ и ЕГЭ эта проверка экономит минуты.

Геометрия уравнения: парабола

График $y=a{x}^2+bx+c$ — парабола. Знак $a$ решает, куда смотрит чаша: $a>0$ — ветви вверх (минимум), $a<0$ — вниз (максимум). Вершина сидит в точке $x=-\frac{b}{2a}$, а её вторая координата находится подстановкой. Корни уравнения — это точки, где парабола пересекает ось x: три случая дискриминанта — это три варианта положения графика относительно оси.

Симметрия помогает строить график быстро: вершина — середина между корнями. Нашёл корни 2 и 5 — вершина на $x=3,5$. И наоборот: зная вершину и один корень, второй находишь отражением. Ось симметрии параболы проходит через вершину, поэтому любая точка слева имеет пару справа на той же высоте.

Где это встречается

Частные случаи и приёмы экономии времени

Сумма коэффициентов $a+b+c=0$ даёт мгновенный корень $x=1$, а второй корень равен $c/a$. Проверь: $5x^2-8x+3=0$ — сумма коэффициентов ноль, значит $x=1$ подходит, второй корень $3/5=0,6$. Аналогично, если $a-b+c=0$, корень $x=-1$. Эти проверки занимают три секунды, а на тесте с ограничением времени экономят минуты вычислений.

Ещё два ускорителя. Во-первых, чётный второй коэффициент: если $b=2k$, то дискриминант упрощается до $k^2-ac$, а формула корней становится x = rac{-k pm sqrt{k^2 - ac}}{a} — числа меньше, считать легче. Во-вторых, знак прикидки: свободный член положительный и сумма корней отрицательная — оба корня отрицательные; свободный член отрицательный — корни разных знаков. Это правило не даёт точных значений, но сразу отбрасывает неверные варианты в тестовых вопросах.

Квадратное уравнение — самая частая математическая модель на экзаменах. ОГЭ: задачи на движение и работу, геометрия по теореме Пифагора. ЕГЭ профиль: задача с параметром, где нужно пересчитать число корней при разных значениях параметра — без понимания дискриминанта там делать нечего. Физика: время полёта тела, брошенного вверх, — уравнение $h=v_{0}t-\frac{g{t}^2}{2}$ после переноса в одну сторону превращается в квадратное. Экономика: максимум прибыли ищется в вершине параболы дохода.

Биквадратные и сводящиеся уравнения

Многие уравнения старших классов притворяются сложными, но после замены переменной становятся квадратными. Биквадратное $x^4-13x^2+36=0$ лечится заменой $t=x^2$: получаешь $t^2-13t+36=0$ с корнями 4 и 9, а затем возвращаешься: $x^2=4$ даёт $pm2$, $x^2=9$ даёт $pm3$. Четыре корня из одного квадратного. Тот же приём работает для уравнений с x^2 + rac{1}{x^2}, где выгодна замена t = x + rac{1}{x}.

Второй типовой трюк — деление на подходящий множитель. Уравнение $6x^2+5x-4=0$ имеет дискриминант 121 — это 11 в квадрате, и корни выходят красивыми: 0,5 и минус 4/3. Заметь закономерность: если дискриминант — точный квадрат, корни рациональны, и уравнение можно было решить и подбором по Виету. Если же под корнем торчит 3 или 7, готовься к иррациональным ответам — калькулятор покажет их с четырьмя знаками.

Когда решаешь через калькулятор выше, обращай внимание на блок шагов: он показывает разложение на множители $a(x-x_1)(x-x_2)$ — это удобно для сокращения дробей в алгебре 9 класса. Если дискриминант отрицательный, калькулятор выдаст комплексные корни — так делается в 10-11 классе; для ОГЭ достаточно фразы «корней нет».