АлгебраКалькулятор2026-09-01

Калькулятор арифметической прогрессии

Три режима: n-й член по первому члену и разности, сумма первых n членов и поиск разности d по двум известным членам. Подстановка чисел по шагам, амфитеатр и пробежки, ловушки с n − 1 и знаком d.

Арифметическая прогрессия: aₙ = a₁ + d(n − 1), сумма Sₙ = ((a₁ + aₙ)/2)·n

Первый член a₁Разность dНомер члена n

Член с номером 15: a₁₅ = 40

Записываем данные: первый член, разность и номер члена. $a_{1} = 12, d = 2, n = 15$
Формула n-го члена: номер минус единица — столько раз прибавляем разность. $a_{n} = a_{1} + d (n - 1)$
Подставляем числа: от первого члена до 15-го — 14 шагов, каждый меняет число на 2. $a_{15} = 12 + 2 \cdot (15 - 1) = 12 + 2 \cdot 14 = 40$

Первые члены: 12, 14, 16, 18, 20, … — каждый следующий отличается от предыдущего на 2. Члены через один расходятся на 2d = 4: с пятого по седьмой ряд, с третьего по пятый день.

Летний кинотеатр строили с хитростью: в первом ряду 12 кресел, а каждый следующий ряд — на 2 кресла шире. Ты берёшь билет в пятнадцатый ряд и хочешь заранее понять, где окажешься: сколько всего кресел в этом ряду? Пересчитывать ряды подряд лень и рискованно — собьёшься на десятом, и всё насмарку. Выручает арифметическая прогрессия: раз каждый ряд шире предыдущего на одно и то же число, пятнадцатый ряд находится одной формулой — $a_{15} = 12 + 2 \cdot 14 = 40$ кресел. А вопрос «хватит ли места на всю смену из 390 человек» — это уже про сумму членов. Калькулятор выше работает в три стороны: находит n-й член, считает сумму первых n и подбирает разность d по двум известным членам. Ниже разберём, откуда берутся формулы и где про них спотыкаются.

Разность d: шаг, который всё решает

Арифметическая прогрессия — это последовательность, в которой к каждому члену прибавляют одно и то же число. Это число называют разностью и обозначают d. В амфитеатре $d = 2$ : второй ряд 14, третий 16, четвёртый 18. Разность находят вычитанием — из следующего члена отними предыдущий: $d = a_{n + 1} - a_{n}$ , и с какого места ни проверяй, результат один и тот же. Знак d несёт смысл: положительная разность — прогрессия растёт (накопления, ряды амфитеатра), отрицательная — убывает (лифт едет вниз: 20, 17, 14, 11), нулевая — стоит на месте (7, 7, 7 — каждый день одно и то же). А вот фраза «каждый следующий в 2 раза больше» задаёт уже другое правило: там умножают, и это геометрическая история.

Из правила «прибавляй d к предыдущему» (его называют рекуррентной формулой) явная формула добывается за минуту. Смотри: $a_{2} = a_{1} + d$ , $a_{3} = a_{1} + 2 d$ , $a_{4} = a_{1} + 3 d$ — каждый новый шаг добавляет одну d, и к члену с номером n этих шагов набирается ровно $n - 1$ . От первого ряда до пятнадцатого — четырнадцать прибавок по 2 кресла, и никак иначе.

a_{n} = a_{1} + d (n - 1)

Формула n-го члена: от первого члена до n-го ровно n − 1 шагов

Формула работает и в обратную сторону. Если известны первый и какой-нибудь дальний член, разность находится делением: $d = \frac{a _{n} - a _{1}}{n - 1}$ — перепад между крайними членами, поделённый на число шагов между ними. Для амфитеатра: $(40 - 12) : 14 = 2$ . Так решаются типовые задания, где прогрессия задана двумя членами: сначала находишь d, а дальше всё едет по рельсам.

Ловушка

Первая классическая ошибка — подставить n вместо $n - 1$ : пятый член равен $a_{1} + 4 d$ , а не $a_{1} + 5 d$ , потому что от первого до пятого всего четыре шага. Из-за этой единицы на контрольных теряют баллы чаще всего. Вторая — перепутать $a_{n}$ и $S_{n}$ : вопрос «сколько кресел в пятнадцатом ряду» — это $a_{15} = 40$ , а «сколько всего кресел в пятнадцати рядах» — уже $S_{15} = 390$ . Это разные числа и разные формулы, хотя условие отличают два слова. Третья — потерять минус у разности: в ряду 20, 17, 14 разность равна −3, и кто пишет 3, получает ряд, растущий с каждым шагом, хотя он убывает.

Сумма первых n членов: пары с двух концов

Складывать пятнадцать чисел подряд — потеря времени. Сложи первый член с последним: 12 + 40 = 52. Второй с предпоследним: 14 + 38 = 52. Третий с третьим от конца: 16 + 36 = 52. Каждая пара даёт одно и то же — один её край растёт на d, другой на столько же убывает. Пар из пятнадцати членов выходит семь с половиной, поэтому вся сумма равна 52, умноженным на 15 и поделённым на 2: 390. Этот же приём, по легенде, девятилетний Гаусс применил к числам от 1 до 100 и посчитал их за минуту, пока класс складывал подряд.

S_{n} = \frac{a _{1} + a _{n}}{2} \cdot n

Сумма первых n членов: среднее первого и последнего, умноженное на число членов

Знать $a_{n}$ для этой формулы не обязательно. Если есть только $a_{1}$ и d, подставь вместо $a_{n}$ его выражение через шаги: получится вторая форма. Для амфитеатра $S_{15} = \frac{2 \cdot 12 + 2 \cdot 14}{2} \cdot 15 = 26 \cdot 15 = 390$ кресел. Быстрая проверка любой суммы: раздели её на n — должно выйти среднее первого и последнего члена. 390 : 15 = 26, и $(12 + 40) : 2 = 26$ . Сошлось.

S_{n} = \frac{2 a _{1} + d ( n - 1 )}{2} \cdot n

Вторая форма суммы: когда последнего члена не ищут, а есть только a1 и d

Задача: две недели пробежек

Бегун начинает с 3 км в день и каждый день добавляет 0,5 км. Какой путь он пробежит на четырнадцатый день и сколько всего набежит за две недели?
$a_{1} = 3, d = 0, 5, n = 14$
Четырнадцатый день: от первого дня до него тринадцать шагов по полкилометра.
$a_{14} = 3 + 0, 5 \cdot 13 = 9, 5 km$
Сумма за две недели: среднее первого и последнего дня умножить на количество дней.
$S_{14} = \frac{3 + 9 , 5}{2} \cdot 14 = 6, 25 \cdot 14 = 87, 5 km$
Проверка делением: сумма, поделённая на 14 дней, даёт 6,25 — ровно среднее крайних членов.
$87, 5 : 14 = 6, 25 = \frac{3 + 9 , 5}{2}$

Фраза из условия	Что она на самом деле значит	Пример
«каждый следующий на 10 больше»	прибавляем 10, разность d = 10	5, 15, 25, 35
«каждый следующий в 10 раз больше»	умножаем на 10 — это уже геометрическая прогрессия	5, 50, 500
«первый ряд — 12 кресел, дальше на 2 больше»	первый член 12, разность d = 2	12, 14, 16
«найдите пятый член»	номер n = 5, шагов от первого четыре	пятый член = первый + 4d
«найдите сумму первых пятнадцати членов»	это S₁₅, а не a₁₅	390, а не 40
«между числами 4 и 10 стоит один член»	он равен среднему арифметическому	(4 + 10) : 2 = 7

Разница «на 10» и «в 10 раз» — экзаменационная классика: одно слово меняет всю задачу, а ответы различаются в разы. Читай условие медленно и в первый же момент решай, там складывают или умножают. Заодно прикидывай знак разности: если числа в сюжете уменьшаются, d отрицательная, и «красивые» ответы с ростом сразу мимо.

Характеристическое свойство: сосед и среднее

У арифметической прогрессии есть свойство, которое работает как детектор. Каждый её член, кроме крайних, равен среднему арифметическому своих соседей: в ряду 12, 14, 16 средний член — это (12 + 16) : 2 = 14. Проверяется свойство в обе стороны: сошлось в каждом звене — перед тобой настоящая арифметическая прогрессия; не сошлось — прогрессии нет, и искать d бессмысленно. Возьми 3, 7, 12: среднее крайних равно 7,5, а не 7 — лови несоответствие.

a_{n} = \frac{a _{n - 1} + a _{n + 1}}{2}

Характеристическое свойство: каждый член — среднее арифметическое соседних

Свойство выручает, когда в ряду пропал средний член: между 4 и 10 стоит ровно одно число — это (4 + 10) : 2 = 7, и весь ряд 4, 7, 10 сходится с шагом 3. А ещё оно объясняет, почему сумма считается по крайним членам: члены, равноудалённые от концов, в сумме дают то же, что первый и последний, — они симметричны относительно середины, поэтому пары складываются в одинаковые числа.

Арифметическая прогрессия#: последовательность, в которой каждый следующий член получается прибавлением одного и того же числа
Разность d#: число, которое прибавляют на каждом шаге; положительная — ряд растёт, отрицательная — убывает, нулевая — стоит на месте
Формула n-го члена#: выдаёт член с любым номером без перебора предыдущих: первый член плюс разность, умноженная на число шагов
Сумма Sₙ#: сумма первых n членов; равна среднему первого и последнего, умноженному на число членов
Характеристическое свойство#: каждый член, кроме крайних, равен среднему арифметическому двух соседних

Отрицательная разность — не экзотика, а обычное дело. Остывающий чай: 90°, 82°, 74° — каждый час минус 8, то есть d = −8. До какой отметки он дойдёт к одиннадцатому часу? $90 + (- 8) \cdot 10 = 10$ °. А до скольких градусов он остынет вообще — вопрос обратной задачи: приравняй $a_{n}$ к нужному числу и найди n. В девятом классе такие задачи формулируют про бактерии, тарифы и заряд телефона, но скелет всегда один: первый член, разность, номер.

Дальше по теме: полный разбор формул и задач девятого класса — в уроке про арифметическую прогрессию, умножение вместо сложения — в уроке про геометрическую прогрессию, а родня прогрессии по духу — линейная функция: там одинаковые шаги по оси x тоже дают одинаковые шаги по y. Текстовые задачи ЕГЭ собирают всё это вместе в сюжеты про вклады, расписания и запасы.

Частые вопросы

Как найти n-й член арифметической прогрессии?

Подставь номер в формулу $a_n = a_1 + d(n - 1)$: к первому члену прибавь разность, умноженную на число шагов $n - 1$. В амфитеатре с $a_1 = 12$ и $d = 2$ пятнадцатый ряд равен $12 + 2 \cdot 14 = 40$.

Почему в формуле стоит n − 1, а не n?

Потому что от первого члена до n-го всего n − 1 шагов: второй член — один шаг, пятнадцатый — четырнадцать. Прибавив d n раз, ты перескочишь на один член дальше. Это самая частая ошибка темы, поэтому в первых задачах шаги стоит пересчитывать руками.

Чем арифметическая прогрессия отличается от геометрической?

В арифметической к каждому члену прибавляют одно и то же число d: 12, 14, 16. В геометрической каждый член умножают на одно и то же число q: 12, 24, 48. Слова «на десять больше» ведут в арифметику, слова «в десять раз больше» — в геометрию.

Как найти разность прогрессии, если известны два её члена?

Из дальнего члена вычти ближний и подели на число шагов между ними: $d = \frac{a_n - a_1}{n - 1}$. Например, если $a_1 = 12$, а $a_{15} = 40$, то $d = (40 - 12) : 14 = 2$. После этого проверь себя подстановкой в формулу n-го члена.