Геометрическая прогрессия

Биолог ставит чашку Петри: одна бактерия, и каждую минуту каждая делится надвое. Через минуту их 2, через две — 4, через три — 8. Кажется, что это долго, но за полчаса счёт идёт на 1 073 741 824 клетки — больше миллиарда из одной-единственной. Так растут не сложением, а умножением: каждое число получается из предыдущего умножением на одно и то же число. Ровно так же растёт снежный ком, катящийся с горы, и копятся проценты по вкладу. Набор таких чисел называют геометрической прогрессией.

Знаменатель q и формула n-го члена

Геометрическая прогрессия — последовательность, в которой каждый следующий член получают умножением предыдущего на постоянное число q; его называют знаменателем прогрессии. Снежный ком за первый метр налип на 5 г, и каждый следующий метр масса утраивается: 5, 15, 45, 135, 405, 1215 — здесь $b_1=5$ и $q=3$. Если знаешь первый член и знаменатель, любой член достаётся без выписывания цепочки: $b_n=b_1{q}^{n-1}$. Седьмой член этой прогрессии $b_7=5\cdot 3^6=3645$. Полезна и сумма: 5 + 15 + 45 + 135 + 405 + 1215 = 1820 г — почти два килограмма, и по формуле $S_n=\frac{b_1(q^n-1)}{q-1}$ выходит $5\cdot \frac{729-1}{2}=1820$. Сходится.

Геометрическая прогрессия обгоняет интуицию. Сложи лист бумаги пополам 21 раз — если бы это было возможно, толщина вышла бы 2²¹ · 0,1 мм ≈ 210 метров. После десяти сгибов стопка выглядит безобидно (10 сантиметров), а к двадцать первому дотягивает до шестидесятиэтажки. Так растут и проценты по вкладу, и число просмотров вирусного ролика: удвоение кажется медленным, пока вдруг не становится огромным.

Читаем q: как ведёт себя прогрессия

Знаменатель q управляет всем поведением прогрессии. При q > 1 члены растут: 2, 6, 18, 54. При 0 < q < 1 прогрессия убывает, и каждый член прижимается к нулю: 16, 8, 4, 2, 1, 0,5. При q = 1 прогрессия вырождается в повторение одного числа — 7, 7, 7; формула суммы здесь не работает, потому что знаменатель дроби обращается в ноль, зато сумма считается в уме: она равна b₁n. При q < 0 знаки членов чередуются: 4, −8, 16, −32 — сумма первых четырёх членов равна −20, и это не опечатка. Поэтому в ответах к таким задачам знак важен не меньше самого числа.

Характеристическое свойство: среднее геометрическое

У геометрической прогрессии есть свойство, которого нет у арифметической: каждый член, кроме крайних, — среднее геометрическое своих соседей. В прогрессии 3, 6, 12 средний член 6, и его квадрат равен произведению соседей: 6² = 36 = 3 · 12. Проверь и на 12: 12² = 144 = 6 · 24. Отсюда целый класс задач «вставь пропущенное число»: между 4 и 16 нужно вставить число, чтобы получилось три члена геометрической прогрессии. Искомое x удовлетворяет уравнению x² = 4 · 16 = 64, значит x = 8 или x = −8. Подходят оба: 4, 8, 16 и 4, −8, 16 — обе прогрессии, у первой q = 2, у второй q = −2. Читай условие внимательно: если в задаче требуют положительные члены, минус отпадает.

Бесконечно убывающая прогрессия

Разрежь отрезок пополам, затем половину ещё пополам и продолжай без остановки. Каждый новый кусок вдвое меньше предыдущего: получится прогрессия 1, 1/2, 1/4, 1/8 со знаменателем 1/2. Членов бесконечно много, но сумма не взрывается — она приближается к конечному числу. Прогрессию с |q| < 1 называют бесконечно убывающей, и для неё работает формула S = b₁/(1 − q). Для отрезка: S = 1/(1 − 1/2) = 2. Бесконечный процесс сложился в конечный ответ — так школьная алгебра впервые справляется с «бесконечностью».

Тот же приём расшифровывает периодические дроби. Сколько точно равно 0,(27), то есть 0,272727…? Это сумма прогрессии 0,27 + 0,0027 + 0,000027 со знаменателем 0,01. По формуле S = 0,27/(1 − 0,01) = 0,27/0,99 = 27/99 = 3/11. Бесконечный хвост цифр свернулся в аккуратную обыкновенную дробь, и заодно доказано, что любая периодическая дробь — рациональное число. Физика подкидывает живой пример: амплитуда затухающих колебаний маятника уменьшается вдвое за каждое качание — 10 мм, 5 мм, 2,5 мм и так далее. Полный путь до остановки складывается из дуг туда и обратно: 2 · 10/(1 − 1/2) = 40 мм, хотя качаний бесконечно много.

Прогрессии вокруг нас: бактерии и проценты

В задачах про рост задан процент — из него получается знаменатель. Вклад 10 000 рублей под 10 % годовых с капитализацией через год превращается в 11 000, через два — в 12 100, через три — в 13 310: геометрическая прогрессия с b₁ = 10 000 и q = 1,1. Через n лет вклад равен 10 000 · 1,1ⁿ рублей. С бактериями та же механика: колония удваивается каждые 20 минут, за три часа происходит 180 : 20 = 9 удвоений, и из 5 клеток получается 5 · 2⁹ = 2560.

Чаще встречается обратная задача: по первому и известному члену найти q. Пусть вклад через два года равен 12 100 рублей, а вначале был 10 000. Тогда q² = 12 100 : 10 000 = 1,21, откуда q = 1,1 — ставка 10 % годовых. Здесь пригодится корень из квадрата: знаменатель роста положителен, поэтому из двух кандидатов 1,1 и −1,1 берут первый. Снежный ком, вирусный ролик, цепная реакция — всюду за словами «каждый раз в … раз больше» прячется знаменатель q.

Словарь урока

Знаменатель q#

Постоянное число, на которое умножают член, чтобы получить следующий: q = bₙ₊₁ : bₙ.

Среднее геометрическое#

Число, квадрат которого равен произведению крайних: в тройке 3, 6, 12 это 6.

Бесконечно убывающая прогрессия#

Прогрессия с |q| < 1: члены прижимаются к нулю, а вся сумма конечна.

Капитализация процентов#

Проценты прибавляют ко вкладу, и дальше растёт уже новая сумма — рост идёт по геометрической прогрессии.

Периодическая дробь#

Дробь с бесконечно повторяющейся группой цифр, например 0,(27); расшифровывается через сумму бесконечно убывающей прогрессии.

Характеристическое свойство#

Квадрат члена равен произведению соседних: bₙ² = bₙ₋₁ · bₙ₊₁.

Разбор типовой задачи

Как спрашивают на контрольной и ОГЭ

1. Даны b₁ и q — найди n-й член: прямое применение формулы; при b₁ = 3 и q = 2 пятый член равен 3 · 2⁴ = 48.
2. Даны два члена — найди q: смотри на номера; если b₃ = 12 и b₁ = 3, то q² = 4, а дальше по знаку второго члена выбирают 2 или −2.
3. Найди сумму первых n членов по формуле, а для маленьких n проверь ответ прямым сложением.
4. Вставь пропущенный член: работай через произведение соседей, а не через подбор наугад.
5. Текстовая задача про рост: переводи «увеличивается на 20 %» в q = 1,2, а «уменьшается в 2 раза» в q = 0,5.

Подсказка: клавиши J — следующая тема, K — предыдущая, на телефоне: свайп влево/вправо — соседняя тема