Тригонометрические уравнения

Качели качаются, и высота сиденья над землёй описывается формулой h(t) = 1,5 + 1,5·sin t, где t — время в секундах. Когда сиденье окажется на высоте 2,25 м? Подставляем: 1,5 + 1,5·sin t = 2,25, то есть sin t = 0,5. И тут сюрприз: у этого уравнения не один ответ, а бесконечная серия. Качели проходят высоту 2,25 м на каждом качании — и вверх, и вниз.

Серии корней на единичной окружности

Все решения уравнения sin x = a — это углы, при которых точка на окружности имеет ординату a. Таких точек две, поэтому корней две серии: x = arcsin a + 2πn и x = π − arcsin a + 2πn. Для cos x = a проводим вертикальную прямую — снова две точки: x = ±arccos a + 2πn. А вот tg x = a даёт одну серию x = arctg a + πn: точки с одинаковым тангенсом повторяются каждые пол-оборота. Проверь: sin x = 0,5, arcsin 0,5 = π/6, ответ x = π/6 + 2πn или x = 5π/6 + 2πn. В градусах это 30° + 360°n и 150° + 360°n.

Арксинус: угол прячется в записи

Запись arcsin 0,5 читается как «угол, синус которого равен 0,5», и таких углов бесконечно много: 30°, 150°, 390° и дальше с шагом в полный оборот. Чтобы запись не распадалась, арксинусом договорились называть угол из отрезка от −90° до 90°: arcsin 0,5 = 30°, arcsin(−0,5) = −30°. Вторая серия уравнения sin x = a при этом не теряется: она равна 180° − arcsin a. У арккосинуса главное значение выбирают из отрезка от 0° до 180°: arccos(1/2) = 60°, а arccos(−1/2) = 120° — арккосинус отрицательного числа обязан быть тупым углом, ведь абсцисса отрицательна слева от вертикальной оси.

Почему у косинуса две серии, а у тангенса одна

Для уравнения cos x = a вертикальная прямая пересекает окружность в двух точках, симметричных относительно горизонтальной оси: абсциссы обеих равны a, ординаты противоположны. Этим точкам отвечают углы arccos a и −arccos a, поэтому серия записывается со знаком плюс-минус: x = ±arccos a + 360°·n. У тангенса всё скромнее: точки с равным тангенсом отличаются ровно на пол-оборота, ведь радиусы, повёрнутые на α и α + 180°, лежат на одной прямой и имеют одинаковый наклон. Серия одна: x = arctg a + 180°·n. Проверь на a = 1: углы 45°, 225°, 405° дают тангенс 1, и все они описываются одной формулой.

Частные случаи: края и середины четвертей

Когда справа стоит 0, 1 или −1, прямая на окружности проходит через особые точки и общие формулы сжимаются. Горизонтальная прямая для sin x = 0 ловит сразу две точки, 0° и 180°, — их склеивает одна серия x = 180°·n. Прямая для sin x = 1 касается окружности в верхней точке — остаётся x = 90° + 360°·n. Эти шесть серий стоит выучить наизусть: в задачах они встречаются чаще любых других.

• sin x = 0 → x = 180°·n
• sin x = 1 → x = 90° + 360°·n
• sin x = −1 → x = −90° + 360°·n
• cos x = 0 → x = 90° + 180°·n
• cos x = 1 → x = 360°·n
• cos x = −1 → x = 180° + 360°·n

Сводим уравнение к простейшему

Перед применением серий уравнение приводят к виду «функция равна числу». Мешает числовой коэффициент — дели на него: 2·cos x = 1 превращается в cos x = 0,5, дальше знакомо: x = ±60° + 360°·n. Из 3·tg x = √3 после деления выходит tg x = √3/3, то есть x = 30° + 180°·n. Мешает знак — он просто живёт в числе справа: для sin x = −0,5 арксинус берётся от отрицательного значения, и серия начинается с −30°. Правило одно: сначала чистая функция слева и число справа, и только потом окружность. Если справа осталось выражение с переменной, это уже не простейшее уравнение — но принцип «сначала изолируй функцию» остаётся тем же.

Проверяй серию подстановкой — это дешёвая страховка. Для sin x = 0,5 кандидат x = 150°: синус 150° равен синусу 30°, то есть 0,5 — годится. А x = 330° даёт −0,5 — не годится, значит при отборе корней на отрезке его вычёркиваешь. Такой отбор — половина задания из второй части ЕГЭ: сначала серия, потом перебор n и проверка попадания в отрезок.

Разбор типовой задачи: отбор корней на отрезке

Та же логика работает и с косинусом, и не только в тетради. Кабина колеса обозрения поднимается по закону h(t) = 25 + 12·cos t, где h — высота в метрах, t — время в минутах, а t = 0 — момент на верхней точке. Когда кабина проходит отметку 31 метр? Записываем уравнение 25 + 12·cos t = 31 и получаем cos t = 0,5 — простейшее уравнение, знакомое до последней буквы. Физический смысл ограничений виден сразу: время неотрицательно, и из бесконечной серии нас интересуют конкретные минуты.

Отбор по окружности: быстрый способ

Есть маршрут короче перебора n. Отметь на окружности дугу, соответствующую отрезку: для промежутка от 0° до 360° это весь круг, а для отрезка от 0° до 180° — верхняя половина. Затем найди точки пересечения дуги с прямыми своего уравнения: для cos x = 0,5 на верхней половине лежит только 60°, вторая точка −60° после добавления оборота уезжает на 300° и дугу не ловит. Способ экономит время, но в чистовике его сопровождают перебором серий: проверяющие хотят видеть серию и отбор n, а не только картинку.

Словарь урока

Арксинус#

Угол из отрезка от −90° до 90°, синус которого равен данному числу

Арккосинус#

Угол из отрезка от 0° до 180°, косинус которого равен данному числу

Арктангенс#

Угол из интервала от −90° до 90°, тангенс которого равен данному числу

Серия корней#

Бесконечный набор решений вида x = x₀ + шаг·n, где n пробегает целые числа

Период#

Шаг повторения значений: 360° у синуса и косинуса, 180° у тангенса

Частный случай#

Уравнение с числом 0, 1 или −1 справа: формулы серий упрощаются

Как это спрашивают на контрольной

Классический маршрут из трёх шагов: реши простейшее уравнение, выпиши серии, отбери корни на заданном отрезке — например, найти корни cos x = 0,5 на отрезке от 0° до 180°. Внутри задачи спрятаны две главные потери: забытая вторая серия и брошенный перебор n. Ещё бывает обратное задание: по серии x = 60° + 360°·n назвать корни из списка — тогда просто подставляй n = 0, 1, 2 и сравнивай с вариантами. Последний шаг любого решения — подстановка одного корня в исходное уравнение. Для sin x = −1 на отрезке от 0° до 360° ответ всего один угол, 270°: серия x = −90° + 360°·n попадает в отрезок лишь при n = 1.

Подсказка: клавиши J — следующая тема, K — предыдущая, на телефоне: свайп влево/вправо — соседняя тема