Тригонометрические уравнения — тренажёр

Пример 1. Серия корней уравнения sin x = 0 записывается как x = 180°·n. Найди корень при n = 4.

Подсказка. Умножь 180 на n.

Как решать. Подставь n = 4 в формулу: x = 180°·4.

Ответ: 720

Пример 2. Серия корней уравнения tg x = 1 записывается как x = 45° + 180°·n. Найди корень при n = 1.

Подсказка. Сначала умножение, потом сложение.

Как решать. Подставь n = 1: x = 45° + 180°·1.

Ответ: 225

Пример 3. Угол равен 6π радиан. Сколько это градусов?

Подсказка. Умножь количество π на 180.

Как решать. π радиан = 180°, значит 6π радиан = 6·180°.

Ответ: 1080

Пример 4. Серия корней уравнения cos x = 1/2 записывается как x = ±60° + 360°·n. Найди корень из серии с плюсом при n = 4.

Подсказка. Сначала умножение, потом сложение.

Как решать. Подставь n = 4: x = 60° + 360°·4.

Ответ: 1500

Пример 5. Многошаговая задача: в задаче о качелях серии корней — x = 30° + 360°·n и x = 150° + 360°·n. Найди оба корня при n = 2 и запиши их сумму (в градусах).

Подсказка. Найди оба корня, затем сложи их.

Как решать. Первый корень: 30°+360°·2, второй: 150°+360°·2. Сумма: 180°+720°·2.

Ответ: 1620

Пример 6. Серия корней уравнения sin x = 0 записывается как x = 180°·n. Найди корень при n = 1.

Подсказка. Умножь 180 на n.

Как решать. Подставь n = 1 в формулу: x = 180°·1.

Ответ: 180

Пример 7. Серия корней уравнения tg x = 1 записывается как x = 45° + 180°·n. Найди корень при n = 5.

Подсказка. Сначала умножение, потом сложение.

Как решать. Подставь n = 5: x = 45° + 180°·5.

Ответ: 945

Пример 8. Угол равен 2π радиан. Сколько это градусов?

Подсказка. Умножь количество π на 180.

Как решать. π радиан = 180°, значит 2π радиан = 2·180°.

Ответ: 360

Пример 9. Серия корней уравнения cos x = 1/2 записывается как x = ±60° + 360°·n. Найди корень из серии с плюсом при n = 3.

Подсказка. Сначала умножение, потом сложение.

Как решать. Подставь n = 3: x = 60° + 360°·3.

Ответ: 1140

Пример 10. Многошаговая задача: в задаче о качелях серии корней — x = 30° + 360°·n и x = 150° + 360°·n. Найди оба корня при n = 1 и запиши их сумму (в градусах).

Подсказка. Найди оба корня, затем сложи их.

Как решать. Первый корень: 30°+360°·1, второй: 150°+360°·1. Сумма: 180°+720°·1.

Ответ: 900

Пример 11. Серия корней уравнения sin x = 0 записывается как x = 180°·n. Найди корень при n = 3.

Подсказка. Умножь 180 на n.

Как решать. Подставь n = 3 в формулу: x = 180°·3.

Ответ: 540

Пример 12. Серия корней уравнения tg x = 1 записывается как x = 45° + 180°·n. Найди корень при n = 3.

Подсказка. Сначала умножение, потом сложение.

Как решать. Подставь n = 3: x = 45° + 180°·3.

Ответ: 585

Пример 13. Серия корней уравнения cos x = 1/2 записывается как x = ±60° + 360°·n. Найди корень из серии с плюсом при n = 2.

Подсказка. Сначала умножение, потом сложение.

Как решать. Подставь n = 2: x = 60° + 360°·2.

Ответ: 780

Пример 14. Серия корней уравнения sin x = 0 записывается как x = 180°·n. Найди корень при n = 5.

Подсказка. Умножь 180 на n.

Как решать. Подставь n = 5 в формулу: x = 180°·5.

Ответ: 900

Пример 15. Угол равен 7π радиан. Сколько это градусов?

Подсказка. Умножь количество π на 180.

Как решать. π радиан = 180°, значит 7π радиан = 7·180°.

Ответ: 1260

Пример 16. Серия корней уравнения cos x = 1/2 записывается как x = ±60° + 360°·n. Найди корень из серии с плюсом при n = 1.

Подсказка. Сначала умножение, потом сложение.

Как решать. Подставь n = 1: x = 60° + 360°·1.

Ответ: 420

Пример 17. Серия корней уравнения tg x = 1 записывается как x = 45° + 180°·n. Найди корень при n = 6.

Подсказка. Сначала умножение, потом сложение.

Как решать. Подставь n = 6: x = 45° + 180°·6.

Ответ: 1125

Вопрос 1. Реши уравнение sin x = 1. Запиши наименьший положительный корень в градусах.

Ответ: 90

Пояснение. Синус равен 1 только в самой верхней точке окружности: x = 90° + 360°n.

Вопрос 2. Сколько серий корней даёт уравнение cos x = a при −1 < a < 1?

Ответ: две

Пояснение. Вертикальная прямая пересекает окружность в двух точках — отсюда две серии: x = ±arccos a + 2πn.

Вопрос 3. Верно ли: уравнение tg x = 1 имеет серию корней x = 45° + 180°n?

Ответ: Верно

Пояснение. arctg 1 = 45°, а тангенс повторяется каждые 180° — одна серия с шагом пол-оборота.

Вопрос 4. Чему равен arccos(1/2)? Ответ в градусах.

Ответ: 60

Пояснение. Косинус равен 1/2 при 60° — это табличное значение из прямоугольного треугольника с углами 30°, 60°, 90°.

Вопрос 5. Какие из чисел являются корнями уравнения sin x = 0,5?

Ответ: 30°; 150°

Пояснение. Синус равен 0,5 у углов 30° и 150°; у 210° и 330° синус равен −0,5.

Вопрос 6. Сопоставь уравнение и форму его корней.

Пояснение. У каждого простейшего уравнения своя форма записи серий — держи её перед глазами на контрольной.

Вопрос 7. Разложи углы по принадлежности к корням sin x = 0,5.

Пояснение. Подходят 30° и 150°, а также их копии через полный оборот: 390° = 30° + 360°, 510° = 150° + 360°. У 270° синус равен −1.

Вопрос 8. Дополни про тангенс.

Ответ: одну → 180°

Пояснение. Точки с одинаковым тангенсом повторяются каждые пол-оборота, поэтому серия одна: x = arctg a + 180°·n.