Первообразная и интеграл — тренажёр

Пример 1. Для функции f(x) = 6x первообразная равна F(x) = 6x²/2. Вычисли F(2).

Подсказка. Сначала возведи 2 в квадрат, потом умножай и дели.

Как решать. F(2) = 6·2²/2 = 6·2. Подставляем x = 2 именно в первообразную.

Ответ: 12

Пример 2. Вычисли площадь под графиком f(x) = 2x от 0 до 2.

Подсказка. Формула Ньютона-Лейбница: F(b) − F(a).

Как решать. Первообразная x²: площадь = 2² − 0² = 2·2.

Ответ: 4

Пример 3. Скорость велосипедиста v(t) = 7t м/с. Какой путь он пройдёт за первые 2 секунды? (Ответ в метрах.)

Подсказка. Это площадь треугольника: v(2)·2 : 2.

Как решать. Путь = интеграл от 7t по t от 0 до 2: 7·2²/2 = 7·2 м.

Ответ: 14

Пример 4. Для функции f(x) = 2x первообразная равна F(x) = 2x²/2. Вычисли F(2).

Подсказка. Сначала возведи 2 в квадрат, потом умножай и дели.

Как решать. F(2) = 2·2²/2 = 2·2. Подставляем x = 2 именно в первообразную.

Ответ: 4

Пример 5. Вычисли площадь под графиком f(x) = 2x от 0 до 5.

Подсказка. Формула Ньютона-Лейбница: F(b) − F(a).

Как решать. Первообразная x²: площадь = 5² − 0² = 5·5.

Ответ: 25

Пример 6. Скорость велосипедиста v(t) = 4t м/с. Какой путь он пройдёт за первые 2 секунды? (Ответ в метрах.)

Подсказка. Это площадь треугольника: v(2)·2 : 2.

Как решать. Путь = интеграл от 4t по t от 0 до 2: 4·2²/2 = 4·2 м.

Ответ: 8

Пример 7. Для функции f(x) = 5x первообразная равна F(x) = 5x²/2. Вычисли F(2).

Подсказка. Сначала возведи 2 в квадрат, потом умножай и дели.

Как решать. F(2) = 5·2²/2 = 5·2. Подставляем x = 2 именно в первообразную.

Ответ: 10

Пример 8. Вычисли площадь под графиком f(x) = 2x от 0 до 4.

Подсказка. Формула Ньютона-Лейбница: F(b) − F(a).

Как решать. Первообразная x²: площадь = 4² − 0² = 4·4.

Ответ: 16

Пример 9. Для функции f(x) = 7x первообразная равна F(x) = 7x²/2. Вычисли F(2).

Подсказка. Сначала возведи 2 в квадрат, потом умножай и дели.

Как решать. F(2) = 7·2²/2 = 7·2. Подставляем x = 2 именно в первообразную.

Ответ: 14

Пример 10. Вычисли площадь под графиком f(x) = 2x от 0 до 6.

Подсказка. Формула Ньютона-Лейбница: F(b) − F(a).

Как решать. Первообразная x²: площадь = 6² − 0² = 6·6.

Ответ: 36

Пример 11. Скорость велосипедиста v(t) = 8t м/с. Какой путь он пройдёт за первые 2 секунды? (Ответ в метрах.)

Подсказка. Это площадь треугольника: v(2)·2 : 2.

Как решать. Путь = интеграл от 8t по t от 0 до 2: 8·2²/2 = 8·2 м.

Ответ: 16

Пример 12. Скорость велосипедиста v(t) = 3t м/с. Какой путь он пройдёт за первые 2 секунды? (Ответ в метрах.)

Подсказка. Это площадь треугольника: v(2)·2 : 2.

Как решать. Путь = интеграл от 3t по t от 0 до 2: 3·2²/2 = 3·2 м.

Ответ: 6

Вопрос 1. Вычисли ${\int }_0^{3}2xdx$.

Ответ: 9

Пояснение. Первообразная для 2x — это x². Подставляем пределы: 3² − 0² = 9.

Вопрос 2. Верно ли: если F — первообразная для f, то F + 7 тоже первообразная для f?

Ответ: Верно

Пояснение. Производная константы равна нулю, поэтому (F + 7)′ = f. Первообразных бесконечно много — всё семейство F + C.

Вопрос 3. Чему равна площадь под графиком скорости v(t) = 4t (м/с) от t = 0 до t = 2 (в метрах)?

Ответ: 8 м

Пояснение. Путь равен интегралу: 2t² при подстановке даёт 8 м. Проверка через геометрию: треугольник с основанием 2 и высотой 8, площадь 8.

Вопрос 4. Выбери верные утверждения о первообразных.

Ответ: у $x^3$ первообразная $\frac{x^4}{4}$; у cos x первообразная sin x + C; у $e^x$ первообразная $e^x$

Пояснение. 2x — это производная x², а не первообразная; первообразная для x² равна x³/3.

Вопрос 5. Первообразная для f(x) = 6x имеет вид F(x) = kx². Чему равно k?

Ответ: 3

Пояснение. (kx²)′ = 2kx = 6x, значит k = 3.

Вопрос 6. Сопоставь функцию и её первообразную.

Пояснение. Проверка простая: производная правой колонки должна давать левую.

Вопрос 7. Разложи задачи по категориям: чем находят величину?

Пояснение. Интегрирование восстанавливает нижний уровень: из скорости — путь, из ускорения — скорость. Дифференцирование идёт наоборот: из пути — скорость, из скорости — ускорение.

Вопрос 8. Дополни.

Ответ: первообразной → Ньютона-Лейбница

Пояснение. Сначала ищем первообразную F, потом считаем F(b) − F(a). Подставлять пределы прямо в f(x) — типичная ошибка.