Алгебра · 11 класстренажёр

Показательные неравенства — тренажёр

Тренировка по теме «Показательные неравенства»: задачи с меняющимися числами, мгновенная проверка, подсказка и подробный разбор к каждой. Ниже — шпаргалка по теме, разобранные примеры и ответы на частые вопросы.

← К теории

Тренировка

0/8

Задача 1 из 8

Реши неравенство $3^{x} > 3^{8}$ . Запиши наименьшее целое решение.

Выбери ответ и нажми «Проверить». Подсказка рядом — пользоваться не стыдно.

Разбор примеров из тренажёра

12 задач из пула этого тренажёра с полной логикой решения: условие, подсказка, как решать и ответ. В самом тренажёре числа в каждой задаче обновляются от раунда к раунду — принцип решения остаётся тем же.

Пример 1. Реши неравенство $3^{x} > 3^{6}$ . Запиши наименьшее целое решение.

Подсказка. Основания одинаковые — сравнивай показатели.

Как решать. Основание 3 больше единицы, знак сохраняется: x > 6. Наименьшее целое — 6 + 1.

Ответ: 7

Пример 2. Реши неравенство $(1/3)^{x} > (1/3)^{2}$ . Запиши наибольшее целое решение.

Подсказка. Убывающая функция меняет знак.

Как решать. Основание 1/3 меньше единицы, знак переворачивается: x < 2. Наибольшее целое — 2 − 1.

Ответ: 1

Пример 3. Сколько целых чисел удовлетворяет неравенству $2^{2} < 2^{x} < 2^{6}$ ?

Подсказка. Считай целые строго между 2 и 6, сами концы не входят.

Как решать. Сравниваем показатели: 2 < x < 6. Между ними ровно 6 − 2 − 1 целых чисел.

Ответ: 3

Пример 4. Реши неравенство $3^{x} > 3^{2}$ . Запиши наименьшее целое решение.

Подсказка. Основания одинаковые — сравнивай показатели.

Как решать. Основание 3 больше единицы, знак сохраняется: x > 2. Наименьшее целое — 2 + 1.

Ответ: 3

Пример 5. Реши неравенство $(1/3)^{x} > (1/3)^{8}$ . Запиши наибольшее целое решение.

Подсказка. Убывающая функция меняет знак.

Как решать. Основание 1/3 меньше единицы, знак переворачивается: x < 8. Наибольшее целое — 8 − 1.

Ответ: 7

Пример 6. Сколько целых чисел удовлетворяет неравенству $2^{1} < 2^{x} < 2^{5}$ ?

Подсказка. Считай целые строго между 1 и 5, сами концы не входят.

Как решать. Сравниваем показатели: 1 < x < 5. Между ними ровно 5 − 1 − 1 целых чисел.

Ответ: 3

Пример 7. Реши неравенство $3^{x} > 3^{5}$ . Запиши наименьшее целое решение.

Подсказка. Основания одинаковые — сравнивай показатели.

Как решать. Основание 3 больше единицы, знак сохраняется: x > 5. Наименьшее целое — 5 + 1.

Ответ: 6

Пример 8. Реши неравенство $(1/3)^{x} > (1/3)^{5}$ . Запиши наибольшее целое решение.

Подсказка. Убывающая функция меняет знак.

Как решать. Основание 1/3 меньше единицы, знак переворачивается: x < 5. Наибольшее целое — 5 − 1.

Ответ: 4

Пример 9. Реши неравенство $3^{x} > 3^{7}$ . Запиши наименьшее целое решение.

Подсказка. Основания одинаковые — сравнивай показатели.

Как решать. Основание 3 больше единицы, знак сохраняется: x > 7. Наименьшее целое — 7 + 1.

Ответ: 8

Пример 10. Сколько целых чисел удовлетворяет неравенству $2^{3} < 2^{x} < 2^{8}$ ?

Подсказка. Считай целые строго между 3 и 8, сами концы не входят.

Как решать. Сравниваем показатели: 3 < x < 8. Между ними ровно 8 − 3 − 1 целых чисел.

Ответ: 4

Пример 11. Реши неравенство $(1/3)^{x} > (1/3)^{9}$ . Запиши наибольшее целое решение.

Подсказка. Убывающая функция меняет знак.

Как решать. Основание 1/3 меньше единицы, знак переворачивается: x < 9. Наибольшее целое — 9 − 1.

Ответ: 8

Пример 12. Сколько целых чисел удовлетворяет неравенству $2^{1} < 2^{x} < 2^{8}$ ?

Подсказка. Считай целые строго между 1 и 8, сами концы не входят.

Как решать. Сравниваем показатели: 1 < x < 8. Между ними ровно 8 − 1 − 1 целых чисел.

Ответ: 6

Вопросы для повторения темы

Контрольные вопросы по «Показательные неравенства» с верными ответами и пояснениями — проверь себя до запуска тренажёра.

Вопрос 1. Найди наименьшее целое решение неравенства 2ˣ > 16.

Ответ: 5

Пояснение. 16 = 2⁴, основание 2 > 1, знак сохраняется: x > 4. Наименьшее целое — 5.

Вопрос 2. Верно ли: неравенство (0,2)ˣ > (0,2)³ равносильно x > 3?

Ответ: Неверно

Пояснение. Основание 0,2 меньше единицы, функция убывает, знак переворачивается: x < 3.

Вопрос 3. Сколько целых решений у неравенства 3ˣ ≤ 27?

Ответ: бесконечно много

Пояснение. 3ˣ ≤ 3³ значит x ≤ 3 — таких целых бесконечно много: подходят и 0, и −5, и −100.

Вопрос 4. Какие неравенства решаются переворотом знака?

Ответ: 0,4ˣ > 0,4⁷; (1/5)ˣ ≤ (1/5)³

Пояснение. Переворот нужен, когда основание между 0 и 1: у 0,4 и 1/5. У 7 и 10 основание больше единицы — знак сохраняется.

Вопрос 5. При каком наибольшем целом x верно неравенство (0,5)ˣ > 0,125?

Ответ: 2

Пояснение. 0,125 = 0,5³. Основание меньше единицы: x < 3, наибольшее целое — 2.

Вопрос 6. Сопоставь неравенство и его решение.

Пояснение. У основания 2 знак сохраняется, у 1/2 — переворачивается.

Вопрос 7. Разложи неравенства по категориям: что происходит со знаком при переходе к показателям?

Пояснение. Основание больше единицы — функция растёт, знак сохраняется: у 3 и 7. Основание между 0 и 1 — функция убывает, знак переворачивается: у 0,3 и 1/4.

Вопрос 8. Дополни.

Ответ: сохраняется → переворачивается

Пояснение. Рост или убывание показательной функции решает судьбу знака: 2ˣ > 2³ даёт x > 3, а 0,5ˣ > 0,5³ даёт x < 3.

Настройте ритм перед экзаменом: задание дня по алгебре — новое каждый день.

Тренировка

Разбор примеров из тренажёра

Пример 1. Реши неравенство 3x>36. Запиши наименьшее целое решение.

Пример 2. Реши неравенство (1/3)x>(1/3)2. Запиши наибольшее целое решение.

Пример 3. Сколько целых чисел удовлетворяет неравенству 22<2x<26?

Пример 4. Реши неравенство 3x>32. Запиши наименьшее целое решение.

Пример 5. Реши неравенство (1/3)x>(1/3)8. Запиши наибольшее целое решение.

Пример 6. Сколько целых чисел удовлетворяет неравенству 21<2x<25?

Пример 7. Реши неравенство 3x>35. Запиши наименьшее целое решение.

Пример 8. Реши неравенство (1/3)x>(1/3)5. Запиши наибольшее целое решение.

Пример 9. Реши неравенство 3x>37. Запиши наименьшее целое решение.

Пример 10. Сколько целых чисел удовлетворяет неравенству 23<2x<28?

Пример 11. Реши неравенство (1/3)x>(1/3)9. Запиши наибольшее целое решение.

Пример 12. Сколько целых чисел удовлетворяет неравенству 21<2x<28?

Вопросы для повторения темы

Вопрос 1. Найди наименьшее целое решение неравенства 2ˣ > 16.

Вопрос 2. Верно ли: неравенство (0,2)ˣ > (0,2)³ равносильно x > 3?

Вопрос 3. Сколько целых решений у неравенства 3ˣ ≤ 27?

Вопрос 4. Какие неравенства решаются переворотом знака?

Вопрос 5. При каком наибольшем целом x верно неравенство (0,5)ˣ > 0,125?

Вопрос 6. Сопоставь неравенство и его решение.

Вопрос 7. Разложи неравенства по категориям: что происходит со знаком при переходе к показателям?

Вопрос 8. Дополни.

Пример 1. Реши неравенство $3^{x} > 3^{6}$ . Запиши наименьшее целое решение.

Пример 2. Реши неравенство $(1/3)^{x} > (1/3)^{2}$ . Запиши наибольшее целое решение.

Пример 3. Сколько целых чисел удовлетворяет неравенству $2^{2} < 2^{x} < 2^{6}$ ?

Пример 4. Реши неравенство $3^{x} > 3^{2}$ . Запиши наименьшее целое решение.

Пример 5. Реши неравенство $(1/3)^{x} > (1/3)^{8}$ . Запиши наибольшее целое решение.

Пример 6. Сколько целых чисел удовлетворяет неравенству $2^{1} < 2^{x} < 2^{5}$ ?

Пример 7. Реши неравенство $3^{x} > 3^{5}$ . Запиши наименьшее целое решение.

Пример 8. Реши неравенство $(1/3)^{x} > (1/3)^{5}$ . Запиши наибольшее целое решение.

Пример 9. Реши неравенство $3^{x} > 3^{7}$ . Запиши наименьшее целое решение.

Пример 10. Сколько целых чисел удовлетворяет неравенству $2^{3} < 2^{x} < 2^{8}$ ?

Пример 11. Реши неравенство $(1/3)^{x} > (1/3)^{9}$ . Запиши наибольшее целое решение.

Пример 12. Сколько целых чисел удовлетворяет неравенству $2^{1} < 2^{x} < 2^{8}$ ?