Алгебра · 11 классурок · 2026-09-27~7 мин чтения

Показательные неравенства

Q: Как решать показательное неравенство с разными основаниями?

Приведи обе части к одному основанию: 16 = 2⁴, 0,125 = 2⁻³ и так далее. Дальше сравнивай показатели, следя за знаком при основании меньше единицы.

Q: Где показательные неравенства применяются в жизни?

Везде, где рост или убывание в геометрической прогрессии: банковские вклады, распад веществ, распространение слухов. Вопрос «через сколько лет вклад удвоится» — это показательное неравенство.

Q: Что делать, если к одному основанию привести не получается?

Тогда применяют логарифмирование: обе части положительны, поэтому можно взять логарифм по удобному основанию, например десятичному. Так неравенство 3ˣ > 7 превращается в x > log 7 : log 3, а дальше остаётся оценить число или подобрать целые решения.

Учимся решать показательные неравенства: приводим к одному основанию и следим за знаком, когда основание меньше единицы.

Открыть тренажёр Сразу к проверке

Ты положил 10 000 руб. на вклад под 10 % в год, и через n лет на счёте 10000·1,1ⁿ. Через сколько лет вклад превысит 20 000? Получается неравенство 1,1ⁿ > 2, и обычные приёмы не работают: неизвестное стоит в показателе. Это показательное неравенство, и у него есть один хитрый поворот.

Приводим к одному основанию

Схема одна: сделать основания одинаковыми. Если a > 1, показательная функция растёт, и $a^{f (x)} > a^{g (x)}$ равносильно f(x) > g(x) — знак сохраняется. Пример: 2ˣ > 8, то есть 2ˣ > 2³, значит x > 3. Если основание между 0 и 1, функция убывает, и знак переворачивается: 0,5ˣ > 0,5³ равносильно x < 3. Проверка: при x = 4 будет 0,0625 > 0,125 — ложь, значит верно именно x < 3. Сложные случаи тоже сводятся к этой форме: 25ˣ < 125 — это 5²ˣ < 5³, то есть 2x < 3, x < 1,5. А вклад удвоится, когда n > log 2 : log 1,1 ≈ 7,3, то есть на 8-й год — точное значение даёт логарифм.

Что видно в условии	К какому основанию приводим	Пример
$2 5^{x}$	к пятёрке: $25 = 5^{2}$	$2 5^{x} = 5^{2 x}$
$8^{x}$	к двойке: $8 = 2^{3}$	$8^{x} = 2^{3 x}$
$0, 125$	к двойке: $0, 125 = 2^{- 3}$	$0, 12 5^{x} = 2^{- 3 x}$
$(\frac{1}{27})^{x}$	к тройке: $\frac{1}{27} = 3^{- 3}$	$(\frac{1}{27})^{x} = 3^{- 3 x}$

ОДЗ: когда проверять допустимые значения

Показательная функция y = aˣ определена при любом x, если основание a положительно и не равно единице. Поэтому для простейшего неравенства, где обе части — степени с одним основанием, ОДЗ — вся числовая прямая, и специально её выписывать не нужно. Но как только в условии появляются дробь, корень или логарифм, ОДЗ становится обязательной. В неравенстве (2ˣ − 8) : (x − 3) > 0 знаменатель запрещает x = 3 — это число придётся исключить из ответа, даже если по показателю оно подошло. Основание a = 1 выбрасывается из рассмотрения целиком: единица в любой степени равна единице, и сравнивать показатели бессмысленно. Основания вида 0 или отрицательные показательную функцию вообще не задают.

Покажу схему на цепочке посложнее: 0,25ˣ > 8. Основание 0,25 — это 2⁻², правая часть 2³. Записываем всё через двойку: 2⁻²ˣ > 2³. Основание больше единицы, знак сохраняется: −2x > 3, откуда x < −1,5. В одной задаче два поворота: сначала отрицательная степень у основания, потом минус перед x. Ответ — бесконечный луч x < −1,5, наибольшее целое решение равно −2.

a^{f (x)} > a^{g (x)} \Leftrightarrow f (x) > g (x) (a > 1)

Основание больше единицы — знак сохраняется

Ты разослал мем в чат: за первую минуту его увидели 5 человек, и каждую следующую минуту число удваивалось. Через сколько минут охват превысит параллель из 32 человек? Получается неравенство 5 · 2ⁿ > 32, и показательный рост решает его за считаные минуты. Так же растут вклад в банке и колония бактерий.

a^{f (x)} > a^{g (x)} \Leftrightarrow f (x) < g (x) (0 < a < 1)

Основание меньше единицы — знак переворачивается

Почему знак переворачивается: взгляд на график

Правило про переворот — не прихоть учебника, а прямое следствие монотонности. График y = 0,5ˣ убывает: с каждым шагом вправо значения падают вдвое, поэтому большему показателю отвечает меньшее число: 0,5⁴ = 0,0625, а 0,5² = 0,25, и 0,0625 меньше. Если 0,5ˣ больше, чем 0,5³, значит показатель x обязан быть меньше трёх. У y = 2ˣ всё наоборот: функция растёт, и большее значение означает больший показатель. Стоит один раз нарисовать эти две кривые рядом — и путаница со знаками исчезает.

Приём самопроверки, который спасает на контрольной: подставь в исходное неравенство число из полученного ответа. Для 0,5ˣ > 0,5⁵ ответ x < 5 — возьми x = 2: 0,25 больше 0,03125, верно. А если бы ты ошибся и написал x > 5, проверка с x = 6 дала бы 0,015625 больше 0,03125 — ложь, и ошибка найдена за десять секунд.

Замена t = aˣ: когда основания разные

Если слева и справа основания, которые не сводятся друг к другу, выручает замена. Классика жанра: 4ˣ − 5 · 2ˣ + 4 > 0. Четвёрка — это 2², значит 4ˣ = (2ˣ)², и неравенство превращается в квадратное относительно новой переменной. Показатель живёт дальше только внутри замены, а ты решаешь обычное алгебраическое неравенство.

Квадратное неравенство после замены

Замечаем, что 4 — это 2², поэтому левую часть можно записать через 2ˣ.
$4^{x} = (2^{x})^{2}$
Обозначаем t = 2ˣ. Важная деталь: t строго положительно при любом x.
$t = 2^{x}, t > 0$
Неравенство становится квадратным и легко раскладывается на множители.
$t^{2} - 5 t + 4 > 0$
Корни трёхчлена — 1 и 4, ветви параболы вверх, значит решение вне промежутка между корнями.
$(t - 1) (t - 4) > 0$
Первая ветка: t < 1, то есть 2ˣ < 2⁰ — основание больше единицы, знак сохраняется.
$2^{x} < 2^{0} \Rightarrow x < 0$
Вторая ветка: t > 4, то есть 2ˣ > 2², откуда x > 2. Ответ: x < 0 или x > 2.
$2^{x} > 2^{2} \Rightarrow x > 2$

Прогоним ту же схему по-другому: 9ˣ − 12 · 3ˣ + 27 < 0. Замена t = 3ˣ даёт t² − 12t + 27 < 0, корни трёхчлена 3 и 9, значит 3 < t < 9. Возвращаемся к x: 3 < 3ˣ < 9, то есть 3¹ < 3ˣ < 3² и 1 < x < 2. Целых решений внутри нет, но и промежуток с дробными концами — нормальный ответ, если вопрос не требует именно целого.

Вынесение общего множителя

Второй приём выручает в случаях вроде 3ˣ⁺¹ − 3ˣ < 18. Вынеси 3ˣ за скобку: слева останется 3ˣ · (3 − 1) = 2 · 3ˣ. Неравенство становится 2 · 3ˣ < 18, то есть 3ˣ < 9 = 3², откуда x < 2. Вынесение работает, когда степени отличаются на константу: 5ˣ⁺² и 5ˣ, 7ˣ⁺¹ и 7ˣ. Делить обе части на положительное число можно, знак при этом не меняется — а вот делить на выражение с неизвестным в показателе нельзя ни в каком виде.

Свести обе части к одному основанию — самый частый и самый короткий путь.
Если под степенями прячется одно число — замена t = aˣ и квадратное неравенство.
Если степени отличаются на константу — вынесение общего множителя за скобку.
В конце — подстановка числа из ответа: она ловит и перевёрнутый знак, и потерянную ветку.

Все три приёма — одинаковое основание, замена, вынесение — перепробуй за первые полминуты знакомства с задачей. Сначала посмотри на основания: если это степени одного числа, дорога одна. Если основания выглядят по-разному, поищи скрытую связь: 0,25 и 8 оба живут у двойки, 9 и 27 — у тройки. Связи нет — без логарифмов уже не обойтись.

Словарь урока

Показательное неравенство#: Неравенство, в котором неизвестное стоит в показателе степени: 2ˣ > 8, 0,5ˣ ≥ 4
Равносильный переход#: Замена неравенства на другое с теми же решениями; здесь — переход от степеней к показателям
Возрастающая функция#: Большему аргументу отвечает большее значение; y = aˣ растёт при a > 1, знак сохраняется
Убывающая функция#: Большему аргументу отвечает меньшее значение; y = aˣ убывает при 0 < a < 1, знак переворачивается
Замена переменной#: Приём: обозначить aˣ через t, решить алгебраическое неравенство и вернуться к x
Целое решение#: Целое число, при котором неравенство верно; наименьшее или наибольшее из них часто и есть ответ

Как это спрашивают на ЕГЭ

Показательные неравенства в профильном ЕГЭ — это обычно приведение к одному основанию или подсчёт целых решений. Вот типовой набор формулировок.

Решить неравенство приведением к одному основанию: 0,25ˣ ≥ 8 или 9ˣ < 27.
Найти количество целых решений на отрезке — например, у неравенства 3 < 2ˣ < 24.
Разложить через замену: 9ˣ − 12 · 3ˣ + 27 < 0.
Прикладной сюжет: через сколько лет вклад превысит заданную сумму, когда охват рекламы перекроет план.

Попыток: 0 · Найдено: 0 из 4

Термины

Определения

Собери пары

Перетаскивай: случай и правило.

Утверждение 1 из 4

Неравенство 3ˣ > 3⁴ равносильно x > 4.

Верно или нет?

Смотри на основание: больше единицы или меньше.

Заполнено: 0 из 3

Схема решения показательного неравенства: привести обе части к основанию и сравнить показатели. Если основание больше единицы, знак , а если основание между нулём и единицей — знак .

Банк слов

Собери алгоритм

Выбирай слова из банка, чтобы восстановить схему решения.

Проверь себя

Клавиши 1–9 выбирают вариант, Enter — «Проверить»

Найди наименьшее целое решение неравенства 2ˣ > 16.

Верно ли: неравенство (0,2)ˣ > (0,2)³ равносильно x > 3?

Сколько целых решений у неравенства 3ˣ ≤ 27?

Какие неравенства решаются переворотом знака?

При каком наибольшем целом x верно неравенство (0,5)ˣ > 0,125?

Сопоставь неравенство и его решение.

Нажми на элемент слева, затем на его пару справа. Повторное нажатие отменяет связь.

Разложи неравенства по категориям: что происходит со знаком при переходе к показателям?

Разложи элементы по категориям: нажми на элемент, потом на категорию.

Дополни.

Выбери подходящее слово в каждом пропуске.

Если основание показательной функции больше единицы, знак неравенства , а если основание между нулём и единицей, знак .

Было понятно? Скажи — так мы видим, какие темы переписать.

Частые вопросы

Почему при основании меньше единицы знак неравенства меняется?

Функция y = aˣ при 0 < a < 1 убывает: большему показателю отвечает меньшее значение. Например, 0,5² = 0,25 меньше, чем 0,5¹ = 0,5.

Как решать показательное неравенство с разными основаниями?

Приведи обе части к одному основанию: 16 = 2⁴, 0,125 = 2⁻³ и так далее. Дальше сравнивай показатели, следя за знаком при основании меньше единицы.

Где показательные неравенства применяются в жизни?

Везде, где рост или убывание в геометрической прогрессии: банковские вклады, распад веществ, распространение слухов. Вопрос «через сколько лет вклад удвоится» — это показательное неравенство.

Что делать, если к одному основанию привести не получается?

Тогда применяют логарифмирование: обе части положительны, поэтому можно взять логарифм по удобному основанию, например десятичному. Так неравенство 3ˣ > 7 превращается в x > log 7 : log 3, а дальше остаётся оценить число или подобрать целые решения.