АлгебраКалькулятор2026-09-01

Калькулятор формул сокращённого умножения

Вводишь два числа — видишь раскрытие всех семи формул с подстановкой и пошаговый разбор выбранной: квадрат суммы, квадрат разности, разность квадратов и кубы.

Формулы сокращённого умножения: вводишь a и b — видишь все семь раскрытий

Число aЧисло b (можно отрицательное)

a = 98 · b = 2 — раскрыли все семь формул, результат выбранной — ниже

Квадрат суммы $(98 + 2)^{2} = 10000$
Квадрат разности $(98 - 2)^{2} = 9216$
Разность квадратов $9604 - 4 = 9600$
Куб суммы $(98 + 2)^{3} = 1000000$
Куб разности $(98 - 2)^{3} = 884736$
Сумма кубов $941192 + 8 = 941200$
Разность кубов $941192 - 8 = 941184$

Пошаговый разбор выбранной формулы

Квадрат суммы: 10000

Формула: квадрат первого числа, плюс удвоенное произведение, плюс квадрат второго. $(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}$
Подставляем числа. $(98 + 2)^{2} = 9604 + 2 \cdot 98 \cdot 2 + 4$
Считаем каждое слагаемое и складываем — это развёрнутый ответ. $= 9604 + 392 + 4 = 10000$

Ловушка: (a + b)² не равно a² + b² — терять слагаемое 2ab нельзя. Проверка числами: (3 + 2)² = 25, а 3² + 2² = 13. Маркер ошибки: в развёрнутой записи всегда три слагаемых.

Посчитаем в уме, сколько будет 98 умножить на 102. Столбиком — долго, калькулятор под рукой не всегда. Но замечаем: 98 — это 100 без двух, а 102 — это 100 плюс два. Дальше работает разность квадратов: $98 \cdot 102 = (100 - 2) (100 + 2) = 10 0^{2} - 2^{2} = 10000 - 4 = 9996$ . Несколько секунд — и готово, причём ошибиться труднее, чем в столбике. Так действует приём, который в школе называют формулами сокращённого умножения: произведения особого вида сворачиваются в короткие записи, а короткие записи разворачиваются обратно в произведения. Калькулятор выше раскрывает все семь формул для любых двух чисел, а теория ниже показывает, откуда каждая берётся и как не наступить на грабли.

Семь тождеств, которые работают всегда

Формулы сокращённого умножения — это тождества: равенства, верные при любых значениях входящих переменных. Подставь вместо букв любые числа — левая и правая части совпадут, в этом легко убедиться на калькуляторе выше. Таких тождеств семь: два квадрата, разность квадратов и четыре записи с кубами. Каждая читается в обе стороны: слева направо — это умножение двучлена на двучлен, свёрнутое до короткой записи; справа налево — разложение многочлена на множители. Умение переключать направление и отличает уверенного решающего от того, кто заучил строчки, но забыл, зачем они.

(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}

Квадрат суммы — самая ходовая формула всего курса алгебры

Разберём первую формулу честно, без пересказа наизусть. Возведение в квадрат — это умножение выражения на само себя: $(a + b)^{2} = (a + b) (a + b)$ . Раскрываем скобки общим правилом: каждое слагаемое первого двучлена умножаем на каждое слагаемое второго. Получаем $a^{2}$ из крайних множителей, $ab$ и ещё раз $ab$ из перекрёстных, $b^{2}$ из последних. Два одинаковых перекрёстных слагаемых складываются в $2 ab$ — вот откуда берётся удвоенное произведение, которое чаще всего теряют. Геометрия подтверждает: квадрат со стороной $a + b$ режется на квадраты площадью $a^{2}$ и $b^{2}$ и два одинаковых прямоугольника площадью $ab$ .

(a - b)^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2}

Квадрат разности — та же формула квадрата суммы, но с минусом во втором числе

Квадрат разности не нужно учить отдельно: это квадрат суммы, в который подставили $- b$ вместо $b$ . Средний член меняет знак, потому что $2 \cdot a \cdot (- b) = - 2 ab$ , а последний минус гасится возведением в квадрат: $(- b)^{2} = b^{2}$ . Итого три слагаемых: квадрат первого, минус удвоенное произведение, плюс квадрат второго. Плюс у третьего слагаемого принципиален: минус на минус даёт плюс, и запись вида $a^{2} - 2 ab - b^{2}$ формулой не является ни в каком курсе.

a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)

Разность квадратов — единственная формула без среднего члена

Разность квадратов устроена иначе: в свёрнутом виде слева нет удвоенного произведения, а в развёрнутом справа нет привычного трёхчлена. Произведение суммы и разности даёт перекрёстные слагаемые $ab$ и $- ab$ , которые взаимно уничтожаются. Формула одинаково полезна в обе стороны: слева направо — быстрое умножение вроде $48 \cdot 52 = 2496$ , справа налево — разложение на множители, без которого не сокращаются дроби и не решаются многие уравнения. Из всех семи тождеств это применяется на практике чаще всего.

Разбор 98 × 102 по шагам

Каждый множитель представляем через круглое число 100: 98 — это 100 минус 2, а 102 — это 100 плюс 2.
$98 \cdot 102 = (100 - 2) (100 + 2)$
Справа стоит произведение разности на сумму — это в точности разность квадратов.
$(100 - 2) (100 + 2) = 10 0^{2} - 2^{2}$
Возводим круглые числа в квадрат и вычитаем.
$10 0^{2} - 2^{2} = 10000 - 4$
Ответ получен устно, без столбика и без калькулятора.
$98 \cdot 102 = 9996$

Обрати внимание на порядок действий: сначала мы заметили структуру — разность и сумма одного и того же числа, — и только потом применили формулу. Именно так тождества и работают в задачах: не «примени формулу куда попало», а «увидь узор». Калькулятор выше печатает такие цепочки для любых введённых чисел, включая отрицательные: минус внутри скобок он аккуратно расставит за тебя.

Откуда берётся само правило умножения двучленов? Из распределительного закона: каждый член первого выражения умножается на каждый член второго. Формулы не отменяют это правило — они лишь записывают его результат заранее. Если сомневаешься в любой из семи строчек, всегда можно раскрыть скобки вручную и убедиться: получится ровно та же запись, только дольше и с риском описаться.

Все семь формул рядом

В таблице — тождества курса с чтением словами и готовым числовым примером. Средний столбец полезно проговорить вслух несколько раз: формулы запоминаются не зрением, а речью. Числовой пример справа — это ещё и мини-тренажёр: закрой таблицу рукой и попробуй воспроизвести выкладку сам, а потом сверься.

Формула	Как читать	Пример
$(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}$	квадрат суммы: квадрат первого, плюс удвоенное произведение, плюс квадрат второго	$4 1^{2} = (40 + 1)^{2} = 1600 + 80 + 1 = 1681$
$(a - b)^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2}$	квадрат разности: квадрат первого, минус удвоенное произведение, плюс квадрат второго	$1 9^{2} = (20 - 1)^{2} = 400 - 40 + 1 = 361$
$a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)$	разность квадратов: произведение разности двух чисел на их сумму	$48 \cdot 52 = (50 - 2) (50 + 2) = 2496$
$(a + b)^{3} = a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}$	куб суммы: куб первого, утроенный квадрат первого на второе, утроенное первое на квадрат второго, куб второго	$1 2^{3} = (10 + 2)^{3} = 1000 + 600 + 120 + 8 = 1728$
$a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + ab + b^{2})$	разность кубов: произведение разности на неполный квадрат суммы	$7^{3} - 3^{3} = (7 - 3) (49 + 21 + 9) = 316$
$a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - ab + b^{2})$	сумма кубов: произведение суммы на неполный квадрат разности	$4^{3} + 2^{3} = (4 + 2) (16 - 8 + 4) = 72$

Шесть строк в таблице, а формул семь — куда делась седьмая? Куб разности получается из куба суммы подстановкой $- b$ вместо $b$ : все знаки в развёрнутой записи начинают чередоваться через один — плюс, минус, плюс, минус. Запоминать её отдельно не нужно, достаточно держать в голове куб суммы и аккуратно следить за знаками.

(a - b)^{3} = a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a b^{2} - b^{3}

Куб разности: знаки чередуются, начиная с плюса у куба первого числа

С кубами две новости. Хорошая: коэффициенты $1, 3, 3, 1$ восстанавливаются треугольником Паскаля, так что потерянную строчку легко вывести заново. Плохая: формулы суммы и разности кубов дальше не разворачиваются — их средний множитель, неполный квадрат, на множители не разбирается, потому что соответствующее уравнение корней не имеет. Поэтому в разложении кубы встречаются парами: увидел $x^{3} - 8$ — сразу пиши $(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)$ .

Как запомнить и не перепутать

Мнемоника для квадратов: «квадрат первого, удвоенное произведение, квадрат второго» — и знак по среднему члену. Для разности квадратов — короткое «разность на сумму». С кубами аккуратнее всего с неполными квадратами: в сумме кубов посередине минус, в разности кубов — плюс. Работает перекрёстная подсказка: знак перед вторым числом в большой скобке совпадает со знаком исходного выражения, а знак перед произведением — всегда противоположный.

Тождество#: равенство, верное при любых значениях переменных; все семь формул — тождества, и на этом строятся проверки подстановкой
Полный квадрат#: выражение вида $a^{2} + 2 ab + b^{2}$ , которое сворачивается в квадрат суммы или разности; обратный приём называют выделением полного квадрата
Неполный квадрат#: выражение вида $a^{2} + ab + b^{2}$ без удвоения произведения; дальше на множители не раскладывается и живёт внутри формул кубов
Разложение на множители#: запись суммы в виде произведения; формулы работают в обе стороны, и обратная нужна для сокращения дробей
Раскрытие скобок#: переход от произведения к многочлену по распределительному закону; формулы заменяют его, когда вид выражения подходит

Где всё это применяется? В вычислениях: прикидка на числах вроде $98 \cdot 102$ или квадратов близких чисел экономит минуты на контрольной. В преобразованиях: разложение на множители нужно для сокращения дробей — например, $r a c x^{2} - 9 x + 3$ после формулы сокращается до $x - 3$ . В уравнениях: выделение полного квадрата выводит формулу корней квадратного уравнения и помогает строить параболы. На экзаменах формулы встречаются не отдельным заданием, а внутри десятков других — поэтому их доводят до автоматизма уже в седьмом классе.

Типичные ошибки собираются в короткий список. Первая — стирание среднего члена: $(a + b)^{2} \neq = a^{2} + b^{2}$ , и проверка числами $3$ и $2$ показывает это мгновенно: $25$ против $13$ . Вторая — путаница направлений: разность квадратов разворачивается из произведения разности и суммы, но не из квадрата разности. Третья — перепутанные знаки у неполных квадратов в формулах кубов. Лечится всё одинаково: подставь два маленьких числа и проверь, сходятся ли обе части равенства.

Как тренироваться: бери пару чисел, раскрывай формулу руками, затем сворачивай обратно и сверяйся с калькулятором выше. Пять минут в день дают больше, чем час чтения, потому что формулы — это навык, а не знание. Когда раскроешь без бумаги все семь тождеств для чисел вроде $4$ и $- 3$ , тема закрыта: дальше она будет работать на тебя во всей алгебре, от дробей до квадратных уравнений.

Частые вопросы

Как раскрыть квадрат суммы?

Умножь двучлен на самого себя и приведи подобные: получится квадрат первого числа, плюс удвоенное произведение, плюс квадрат второго. Например, $(x + 5)^2 = x^2 + 10x + 25$. Свериться можно в калькуляторе выше — он показывает и подстановку чисел, и развёрнутый ответ.

Чем квадрат разности отличается от разности квадратов?

Это разные выражения: квадрат разности равен $a^2 - 2ab + b^2$ и содержит три слагаемых, а разность квадратов равна $a^2 - b^2$ и раскладывается в произведение разности на сумму. Подставь $3$ и $2$: получится $1$ против $5$.

Можно ли разложить сумму квадратов на множители?

Нет, среди семи формул суммы квадратов нет: $a^2 + b^2$ с действительными числами на множители не раскладывается. Раскладываются разность квадратов, а также сумма и разность кубов — их вторые множители называют неполными квадратами.

Как быстро считать в уме с этими формулами?

Представляй числа через ближайший круглый десяток: $98 \cdot 102 = 100^2 - 2^2 = 9996$, а $47^2 = (50 - 3)^2 = 2500 - 300 + 9 = 2209$. Формула заменяет умножение столбиком парой коротких действий.