Формулы сокращённого умножения
Разбираем квадрат суммы, квадрат разности и разность квадратов: формулы сокращённого умножения экономят время на контрольной — проверено на раскрое ткани.
Шьёшь наволочку 40 на 40 см и хочешь увеличить каждую сторону на 5 см. Новая сторона 45 см, площадь 45² = 2025 см². Многие считают иначе: 40² + 5² = 1625 — и ткань не сходится. Квадрат суммы — не сумма квадратов: между ними живёт удвоенное произведение. Формулы сокращённого умножения описывают, как раскрываются такие скобки, и позволяют умножать двучлены в уме быстрее, чем на калькуляторе.
Три формулы, которые решают всё
Квадрат суммы: (a + b)² = a² + 2ab + b² — к квадратам прибавляется удвоенное произведение. Квадрат разности устроен так же, минус прячется в среднем слагаемом: (a − b)² = a² − 2ab + b². Проверь на числах: (30 − 2)² = 784 и 900 − 120 + 4 = 784. Разность квадратов раскладывается в произведение: a² − b² = (a − b)(a + b). Она ускоряет счёт: 52² − 48² = (52 − 48)(52 + 48) = 4 · 100 = 400 — без единого возведения в квадрат. Формулы работают в обе стороны: слева направо — раскрытие скобок при упрощении, справа налево — разложение на множители, без которого не обходится сокращение дробей.
Откуда берётся формула: честное умножение скобок
Возьми квадрат суммы и умножь (a + b) на (a + b) честно, каждый с каждым: a² + ab + ba + b². Произведения ab и ba одинаковы, их ровно два — вот и удвоенное произведение. Геометрически это видно на квадрате со стороной a + b: он режется на четыре куска площадью a², два прямоугольника ab и b². Такую картинку рисовали ещё в «Началах» Евклида больше двух тысяч лет назад. Проверь на числах: (30 + 4)² = 1156 и 900 + 240 + 16 = 1156 — геометрия и алгебра сошлись.
С квадратом разности история та же, только следи за знаками: (a − b)² = a² − 2ab + b². Квадрат второго слагаемого остаётся положительным: минус умножается сам на себя и исчезает. Разность квадратов выводится ещё короче: (a − b)(a + b) = a² + ab − ab − b², и середина взаимно уничтожается. Именно поэтому формула такая экономная, а опаснее всего в ней именно пустота в середине: у квадрата разности это слагаемое есть, у разности квадратов — нет.
| Название | Формула | Как читают |
|---|---|---|
| Квадрат суммы | (a + b)² = a² + 2ab + b² | квадрат первого плюс удвоенное произведение плюс квадрат второго |
| Квадрат разности | (a − b)² = a² − 2ab + b² | то же, но удвоенное произведение с минусом |
| Разность квадратов | a² − b² = (a − b)(a + b) | произведение разности и суммы |
| Сумма кубов | a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²) | двучлен и неполный квадрат разности |
Формулы считают за тебя в уме. Сколько будет 98²? Пишем как квадрат разности: (100 − 2)² = 10000 − 400 + 4 = 9604. А 51 · 49 — это разность квадратов: (50 + 1)(50 − 1) = 2500 − 1 = 2499. Ни один калькулятор не понадобился, а в записи нет места ошибкам с удвоенным произведением.
Кубы: продолжение формулярной линейки
Кроме трёх главных формул, в программе живут формулы кубов. Сумма кубов: a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²), разность кубов: a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²). Вторая скобка называется неполным квадратом: слагаемых три вместо четырёх, а произведение ab одиночное, без двойки. Разложи x³ + 8: это x³ + 2³ = (x + 2)(x² − 2x + 4). Проверка числом: при x = 1 слева 1 + 8 = 9, справа 3 · 3 = 9. Не путай неполный квадрат с полным: в (a + b)² = a² + 2ab + b² произведение удвоено, а в a² − ab + b² — нет.
Разложение на множители: формула работает в обе стороны
Справа налево формулы раскладывают выражения на множители — а это ключ к сокращению дробей и решению уравнений. Возьми x² − 64 = 0: раскладываем (x − 8)(x + 8) = 0, и произведение подсказывает корни: x = 8 или x = −8. Коэффициенты формулам не мешают: 4x² − 25y² = (2x)² − (5y)² = (2x − 5y)(2x + 5y). А вот сумма квадратов a² + b² в произведение не превращается: среди школьных формул такой нет. Если видишь a² + b² и хочется написать (a + b)² — остановись: между ними всегда разница в 2ab.
- Оба слагаемых — точные квадраты, между ними минус: это разность квадратов.
- Примени формулу a² − b² = (a − b)(a + b), подставив 7 и 2a.
- Проверка числом: при a = 1 слева 45, справа 5 · 9 = 45.
- Порядок множителей в ответе не важен, оба варианта верны.
- Спроси себя: здесь два слагаемых и между ними минус — похоже на разность квадратов.
- Найди корни из квадратов: x² — это x², а 49 = 7².
- Применяй формулу: x² − 49 = (x − 7)(x + 7).
- Проверка числом: при x = 8 это 64 − 49 = 15, а скобки дают 1 · 15 = 15.
Ловим ошибки: где формулы мстят
Три ошибки преследуют всех. Первая — потерянное удвоенное произведение: (x + 3)² пишут как x² + 9, а правильно x² + 6x + 9. Вторая — забытый квадрат коэффициента: в (2x + 1)² возводить в квадрат нужно и двойку, получается 4x² + 4x + 1, а не 2x² + .... Третья — лишний минус у b² в квадрате разности: (a − b)² = a² − 2ab + b², плюс в конце обязателен. Лечится всё одним приёмом: подставь маленькие числа, например a = 2 и b = 1, в обе части равенства и сравни. Сошлось — формула записана верно, разошлось — ищи, где потерялась середина.
- Квадрат суммы#
- a² + 2ab + b² — раскрывается через удвоенное произведение
- Квадрат разности#
- a² − 2ab + b²: минус живёт только в среднем слагаемом
- Разность квадратов#
- a² − b² = (a − b)(a + b), середина уничтожается
- Удвоенное произведение#
- 2ab — слагаемое, которое чаще всего теряют
- Неполный квадрат#
- a² − ab + b² или a² + ab + b² — вторая скобка в формулах кубов
- Тождество#
- равенство, верное при любых значениях переменных
Нажми на элемент, затем на категорию. Нажми на разложенный элемент — вернётся в пул.
Где формулы экономят время
Считай в уме. 71² = (70 + 1)² = 4900 + 140 + 1 = 5041. Произведение 68 · 72 — это (70 − 2)(70 + 2) = 4900 − 4 = 4896. На ОГЭ задание выглядит так: упрости (x − 4)² − x(x − 2). Раскрываем: x² − 8x + 16 − x² + 2x = −6x + 16. При x = 3 ответ −2. Заметь: x² исчезло — так бывает часто, и это хороший знак, что ты на верном пути.
Проверка подстановкой работает и здесь. Возьми x = 10: слева (6)² − 10 · 8 = 36 − 80 = −44, справа −60 + 16 = −44. Сошлось. Такой самоконтроль стоит тридцать секунд, а спасает целое задание от потерянного знака. Те же формулы вернутся в геометрии — в формулах площадей и объёмов, и в физике, где выражения с ускорением приходится сворачивать в квадрат суммы или разности.
- Два слагаемых-квадрата и минус между ними — разность квадратов
- Три слагаемых — ищи квадрат суммы или разности по удвоенному произведению
- Скобка в квадрате раскрывается с удвоенным произведением, а не как сумма квадратов
- Коэффициенты возводи в квадрат вместе с буквами: (3x)² = 9x²
Проверь себя
Клавиши 1–9 выбирают вариант, Enter — «Проверить»
1 Вычисли (20 + 3)², используя формулу квадрата суммы.
2 Чему равно 57² − 43²?
3 Квадрат суммы равен сумме квадратов.
4 Раскрой скобки и найди значение (x + 4)² при x = 5.
5 Какая формула записана верно?
6 52² − 48² удобнее считать как (52 − 48)(52 + 48).
7 Разложи выражения по нужной формуле.
Разложи элементы по категориям: нажми на элемент, потом на категорию.
8 Дополни квадрат суммы.
Выбери подходящее слово в каждом пропуске.
Квадрат суммы: (a + b)² = a² + + b². В примере (x + 4)² это слагаемое равно 8x, потому что удвоенное произведение 2 · x · .
Было понятно? Скажи — так мы видим, какие темы переписать.
Частые вопросы
Чем отличается квадрат суммы от суммы квадратов?
Квадрат суммы: (a + b)² = a² + 2ab + b². В сумме квадратов a² + b² удвоенного произведения нет, поэтому значения разные: (3 + 2)² = 25, а 3² + 2² = 13.
Зачем нужны формулы сокращённого умножения?
Они быстро раскрывают скобки и раскладывают выражения на множители — без длинных вычислений столбиком. На экзамене это экономит время и снижает число ошибок со знаками.
Как применить разность квадратов?
Найди корни из слагаемых: 81 − 4 = (9 − 2)(9 + 2) = 7 · 11 = 77. С буквами так же: x² − 25 = (x − 5)(x + 5).
Можно ли разложить сумму квадратов на множители?
Среди школьных формул такой нет: a² + b² в произведение не превращается. Разница между (a + b)² и a² + b² ровно в удвоенном произведении 2ab.