Одночлены и многочлены: действия
Считаем обои для ремонта и заодно разбираемся, что такое одночлены и многочлены, как привести подобные слагаемые и выполнить умножение одночленов.
Ремонтируешь комнату и считаешь обои. Стена — прямоугольник 5 м на 3 м, площадь 5 · 3 = 15 м². Таких стен две, запись растёт: 2 · 5 · 3. Это одночлен — произведение числа и степеней переменных. Вся комната складывается из площадей стен, окна и двери: 2 · 5 · 3 + 2 · 4 · 3 − 2 · 1. Запись, где одночлены соединены плюсами и минусами, называют многочленом. Одну стену посчитаешь в уме, а когда слагаемых пять — нужен порядок.
Из чего собран одночлен: коэффициент и степень
Разберём устройство одночлена на конкретном примере: −7a²b³. Числовой множитель −7 называют коэффициентом, а сумму показателей степеней 2 + 3 = 5 — степенью одночлена. Буквенные множители принято записывать в алфавитном порядке, и тогда запись становится стандартной. Одночлен 4y · x · 3x ещё не в стандартном виде: переставим множители и перемножим числа — получится 12x²y. У числа 8 степень нулевая, потому что букв нет вовсе, а запись −x — одночлен со скрытым коэффициентом −1 и степенью 1. Сравнивать и упрощать удобно только одночлены в стандартном виде: в записи 3a · 2a² слишком легко ошибиться, а в записи 6a³ ошибке просто негде поместиться.
Стандартный вид получается за два шага. Первый — перемножь все числовые множители и запиши произведение впереди. Второй — соедини одинаковые буквы, сложив их показатели: x · x² = x³. Так 5x · (−2)x² превращается в −10x³, а запись 2a · 3b — в 6ab. Если одночлены различаются только коэффициентом, их называют подобными: 4m², −m² и 17m² подобны, и их сумма записывается коротко: 20m². Противоположные одночлены вроде 9c и −9c в сумме дают ноль — этот приём часто выручает при упрощении длинных выражений. Степень многочлена считают по старшему слагаемому: у 2x² + x − 7 это 2.
Мини-словарь темы
- Одночлен#
- произведение числа и степеней переменных; число или одна переменная — тоже одночлены
- Коэффициент#
- числовой множитель одночлена, записанного в стандартном виде
- Стандартный вид#
- коэффициент впереди, затем буквы в алфавитном порядке со своими показателями
- Степень одночлена#
- сумма показателей степеней всех входящих в него переменных
- Подобные слагаемые#
- одночлены с одинаковой буквенной частью
- Многочлен#
- сумма одночленов; каждый из них называют членом многочлена
Приводим подобные и упрощаем
У одночлена есть стандартный вид: числовой коэффициент впереди, буквы со степенями за ним. Перемножим 3x и 4x²: коэффициенты дают 12, а степени складываются — 12x³. В многочлене 2x + 5 + 3x − 1 слагаемые 2x и 3x — подобные слагаемые: буквенная часть одинаковая, складываем коэффициенты и получаем 5x. Числа 5 и −1 тоже подобны, вместе 4. Многочлен стал короче: 5x + 4. Чтобы умножить одночлен на многочлен, раздай множитель каждому слагаемому: 2x(x − 4) = 2x² − 8x. Два многочлена перемножают по правилу «каждый с каждым»: (x + 2)(x + 3) = x² + 3x + 2x + 6 = x² + 5x + 6.
| Действие | Правило | Пример |
|---|---|---|
| Умножение одночленов | перемножить коэффициенты, сложить степени | 2y · 5y³ = 10y⁴ |
| Приведение подобных | сложить коэффициенты при одинаковой буквенной части | 7a + a − 2a = 6a |
| Одночлен на многочлен | умножить одночлен на каждое слагаемое | 3a(2a − b) = 6a² − 3ab |
| Многочлен на многочлен | каждое слагаемое умножить на каждое | (x + 1)(x + 4) = x² + 5x + 4 |
Складываем, вычитаем и умножаем
Сложение и вычитание многочленов — это работа со скобками. Если перед скобкой плюс, она просто снимается: (3a − 2b) + (a + 4b) = 3a − 2b + a + 4b = 4a + 2b. Если минус — знаки внутри меняются на противоположные: (5x² − x) − (2x² + 3x) = 3x² − 4x. У каждого многочлена есть противоположный: для x² − 7x + 2 это −x² + 7x − 2, и их сумма равна нулю. Умножение устроено иначе — правило «каждый с каждым»: (2x − 1)(x + 5) = 2x² + 10x − x − 5 = 2x² + 9x − 5. Два слагаемых на два слагаемых дают четыре промежуточных произведения, из которых потом собирается итог.
- Раскрой скобки: при плюсе оставь знаки, при минусе смени их на противоположные
- Отметь подобные слагаемые — у них одинаковая буквенная часть
- Сложи коэффициенты подобных слагаемых, буквенную часть перепиши без изменений
- Убедись, что одночлены записаны в стандартном виде и буквы не повторяются
При умножении многочлена на одночлен каждый член многочлена умножается на этот одночлен: 3x(2x² − x + 4) = 6x³ − 3x² + 12x. Проверь на площади: прямоугольник со сторонами 3x и (2x² − x + 4) режется на три полосы площадью 6x³, −3x² и 12x — ровно те же слагаемые. Степень произведения равна сумме степеней множителей: у (2x − 1) степень 1, у (x + 5) тоже 1, у результата — 2. Такой контроль степени ловит потерянное слагаемое мгновенно.
- Умножь x на каждое слагаемое второй скобки: x · x + x · 3 = x² + 3x.
- Умножь 2 на каждое слагаемое второй скобки: 2 · x + 2 · 3 = 2x + 6.
- Сложи результаты и приведи подобные: x² + 3x + 2x + 6 = x² + 5x + 6.
- Проверка числом: при x = 1 скобки дают 3 · 4 = 12, а результат 1 + 5 + 6 = 12 — сошлось.
Разложение на множители: обратная дорога
Умножение можно повернуть вспять — разложить многочлен на множители. Первый инструмент — вынесение общего множителя: 6x² − 9x = 3x(2x − 3). Второй — группировка: ax + ay + bx + by = a(x + y) + b(x + y) = (a + b)(x + y). Зачем это нужно? Чтобы решать уравнения: x² − 5x = 0 нельзя решать делением на x — потеряешь корень. А если вынести x, получится x(x − 5) = 0: произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель нулевой, и корни найдены — x = 0 и x = 5. Разложение на множители ждёт тебя в каждом сокращении дробей, от 8 класса до итоговых экзаменов.
- Смотри на слагаемые: у обоих есть множитель x — вынеси его за скобку.
- Произведение равно нулю, когда нулевой множитель хотя бы один.
- Приравняй каждый множитель к нулю и найди оба корня.
- Проверка: 0² − 5 · 0 = 0 и 25 − 25 = 0 — оба корня подходят.
Значение многочлена 2x² + 3 при x = 4. Прикинь и проверь.
Как это встречается в задачах и на экзамене
На контрольных и ОГЭ любят задание: упрости выражение и найди его значение. Пример: (2a − 3)(a + 1) − a². Раскрываем по правилу «каждый с каждым»: 2a² + 2a − 3a − 3 − a² = a² − a − 3. Теперь при a = 5 подставлять удобно: 25 − 5 − 3 = 17. Если бы упрощения не было, пришлось бы честно считать 7 · 6 − 25 — тоже возможно, но длиннее и опаснее. Вывод простой: сначала упрощай, потом подставляй — экономишь и время, и силы.
Многочлены окружают тебя и вне контрольной. Периметр квадрата со стороной x — это 4x. Стоимость m блокнотов по 60 рублей и n ручек по 25 — это 60m + 25n. Площадь зала со стенами (x + 3) и (x + 5) разворачивается в x² + 8x + 15. Когда в старших классах появится парабола y = x² − 4x + 3, каждый коэффициент этого многочлена расскажет что-то о графике: куда смотрят ветви и где он встречается с осями.
- Минус перед скобкой меняет знак каждого слагаемого внутри
- При умножении степеней с одинаковой основой показатели складываются, а не перемножаются
- Коэффициенты подобных слагаемых складываются, буквенная часть остаётся прежней
- Степень многочлена — наибольшая из степеней его слагаемых
Проверь себя
Клавиши 1–9 выбирают вариант, Enter — «Проверить»
1 Найди значение выражения 7x − 2x + 6 при x = 3.
2 Какая запись — одночлен в стандартном виде?
3 Верно ли: x² · x⁴ = x⁶?
4 Вычисли (3x − 2) − (x + 5) при x = 4.
5 Собери пары: термин — значение.
Нажми на элемент слева, затем на его пару справа. Повторное нажатие отменяет связь.
6 Разложи записи по типам.
Разложи элементы по категориям: нажми на элемент, потом на категорию.
7 Дополни правило умножения одночленов.
Выбери подходящее слово в каждом пропуске.
При умножении одночленов коэффициенты , а степени при одинаковых буквах .
Было понятно? Скажи — так мы видим, какие темы переписать.
Частые вопросы
Чем одночлен отличается от многочлена?
Одночлен — произведение числа и степеней переменных, например 3x² или просто 7. Многочлен — сумма одночленов, например 3x² − x + 5. Запись 3 : x не является ни тем, ни другим.
Как умножить одночлен на многочлен?
Умножь одночлен на каждое слагаемое в скобке и сложи результаты: 2x(x + 4) = 2x² + 8x. Следи за знаками: минус перед слагаемым меняет знак у его произведения.
Зачем приводить подобные слагаемые?
Чтобы запись стала короче и считать было проще: 5x + 3x − 2 — это просто 8x − 2. Без приведения подобных в длинных выражениях легко потерять слагаемое.
Что такое степень многочлена?
Это наибольшая из степеней его слагаемых. У 2x² + x − 7 степень 2, а у x³ + 2x — 3.