Числовые выражения и выражения с переменными
Разбираем чек из магазина и узнаём, что такое числовое выражение, как найти значение выражения и зачем в записи нужна переменная.
Кассир в конце смены сверяет чек: три булки по 34 рубля, молоко за 72 рубля и пакет за 8 рублей. В уме он собирает всё в одну строку: 34 · 3 + 72 + 8. Такая запись из чисел и знаков действий называется числовым выражением. А вечером на кассе понадобится ещё одна строка — сколько сдачи дать с пятисот рублей: 500 − (34 · 3 + 72 + 8). Считать такие цепочки быстро получается у того, кто понимает их устройство, а не складывает наугад.
Значение выражения и порядок действий
Пройдёшь по всем действиям по правилам — получишь число, его называют значением выражения. Для строки 34 · 3 + 72 + 8 это 182. Правила короткие: сначала степень, затем умножение и деление, и только в конце сложение и вычитание; скобки меняют порядок как угодно. Если в записи появляется буква, получится выражение с переменной. Цена булки выросла до p рублей — новая запись 34 · 3 + p почти не изменилась, но её значение теперь зависит от подстановки: при p = 76 выйдет 178, при p = 60 — всего 162. В этом сила буквы: одна запись обслуживает десятки расчётов, от сдачи в магазине до времени в дороге.
Рациональные числа: строительный материал выражений
В числовых выражениях живут не только натуральные числа вроде 34 и 72. Термометр показал −5 — это целое отрицательное число. В бутылке 1,5 литра сока, а третья часть торта записывается дробью 1/3 — это дробные числа. Натуральные числа, ноль и противоположные им отрицательные образуют целые числа, а целые вместе с дробными — рациональные. Любое рациональное число можно записать дробью с целым числителем и натуральным знаменателем: −5 = −5/1, 1,5 = 3/2, 0,07 = 7/100.
С рациональными числами в выражениях работают все четыре действия, и на каждом шаге, кроме деления на нуль, результат снова рационален. Отсюда главное правило: числовое выражение имеет смысл, если в нём не встречается деление на ноль. Запись 18 : (6 − 6) смысла не имеет, а 18 : (6 − 3) вполне законна и даёт 6. В жизни это проявляется постоянно: скидка 20 % — это умножение на 0,8, рост температуры на 2,5 градуса — прибавление дробного числа, проигрыш в очках — вычитание.
- натуральные: 1, 2, 34, 1000 — счёт предметов;
- целые: −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3 — натуральные, ноль и противоположные им;
- дробные: 1,5; 3/4; 0,07 — части целого;
- рациональные: всё перечисленное вместе — любое число вида m/n.
Зачем нужна вся эта классификация? Чтобы понимать, с чем ты работаешь и что может пойти не так. С натуральными числами вычитание упирается в тупик: 3 − 5 среди них ответа не имеет. Целые числа проблему решают: 3 − 5 = −2. Дробные добавляют деление: 3 : 4 = 0,75. Каждый новый вид чисел расширяет возможности выражений, и к седьмому классу у тебя в руках полный набор для бытовых расчётов: от сдачи в магазине до процентов по вкладу.
| Тип записи | Что внутри | Пример | Что с ней делают |
|---|---|---|---|
| Числовое выражение | только числа и знаки действий | 34 · 3 + 72 | вычисляют значение |
| Выражение с переменной | числа, знаки и буква | 3x + 2 | упрощают и подставляют значения |
| Уравнение | равенство с переменной | 5x = 60 | решают — ищут корень |
Порядок действий: лестница вычислений
Сложение и вычитание называют действиями первой ступени, умножение и деление — второй, возведение в степень — третьей. Правило лестницы: выполняем от третьей ступени к первой. В строке 18 − 4 · 2 + 3 сначала умножение: 4 · 2 = 8; дальше слева направо: 18 − 8 = 10 и 10 + 3 = 13. Если остались действия только одной ступени, идём строго слева направо: 12 : 4 · 3 даёт 9, а не 1, потому что сначала 12 : 4 = 3, затем 3 · 3 = 9.
Скобки ломают лестницу. В записи (2 + 3)² сначала складываем, потом возводим в квадрат — выходит 25. Без скобок 2² + 3² = 4 + 9 = 13. Разница в 12 единиц только из-за пары скобок. Значение выражения не обязано быть натуральным числом: в строке 18 − 25 получится −7, а деление 7 : 2 даёт 3,5. Если в ответе вышло что-то совсем дикое — бесконечный хвост цифр или отрицательная длина покупки — перепроверь порядок действий и знаки: половина ошибок в тетрадях рождается не от незнания правил, а от невнимательного переписывания строки с одной на другую.
- Скобки, причём внутри сначала умножение: 2 · 3 = 6, затем 11 − 6 = 5.
- Третья ступень: 5² = 25.
- Вторая ступень слева направо: 24 : 8 = 3 и 4 · 25 = 100.
- Первая ступень: 3 + 100 = 103.
Одна буква — десятки расчётов
Формулы — это выражения с переменной, у которых есть имя и смысл. Периметр прямоугольника со сторонами a и b: P = 2 · (a + b). Путь при скорости 60 км/ч за t часов: s = 60t. Стоимость n ручек по 12 рублей: 12n. Каждая формула экономит целую цепочку рассуждений: подставил значение — получил ответ. Так алгебра с первого урока работает на физику, экономику и бытовые расчёты.
| Значение a | 3a − 2 | a · a + 1 | 10 : a |
|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 2 | 10 |
| 2 | 4 | 5 | 5 |
| 4 | 10 | 17 | 2,5 |
| 5 | 13 | 26 | 2 |
Таблица показывает главную мысль: выражение с переменной — правило, которое превращает каждое число в другое. При a = 2 две записи дали 5 — совпадение возможно, но правила у них разные. Загляни в последний столбец: при a = 0 там случилось бы деление на нуль, поэтому ноль в таблицу не входит — выражение 10 : a при a = 0 значения не имеет.
Преобразование выражений: упрощаем, не вычисляя
Буквы позволяют не только подставлять числа, но и преобразовывать записи. Если в корзине 2x яблок и рядом ещё 3x, всего 5x яблок: слагаемые 2x и 3x отличаются только числовым множителем, поэтому их складывают как обычные числа. Это приведение подобных слагаемых. Работает и распределительное свойство: умножение раздаётся каждому слагаемому в скобках — 4 · (x + 3) = 4x + 12. Эти два приёма пригодятся буквально на следующем уроке — при решении уравнений.
- Задача: тетрадь стоит a рублей, а альбом — на 40 рублей дороже. Сколько стоят 3 тетради и 2 альбома?
- Цена альбома: a + 40 рублей. Тогда 3 тетради стоят 3a рублей, а 2 альбома — 2 · (a + 40) рублей.
- Складываем: 3a + 2 · (a + 40) = 3a + 2a + 80 = 5a + 80 — выражение упрощено.
- Проверка числом: при a = 20 выходит 5 · 20 + 80 = 180. Считай и без упрощения: 3 · 20 + 2 · 60 = 60 + 120 = 180 — сошлось.
Как это спрашивают на контрольной и ОГЭ
Типовая задача первая: найти значение выражения с переменной при заданных числах. Дано 3x − 2y при x = 5 и y = 4: подставляем 3 · 5 − 2 · 4 = 15 − 8 = 7. Типовая задача вторая: составить выражение по условию. Скорость велосипедиста 12 км/ч, время t часов — путь 12t километров. Типовая задача третья, любимая на ОГЭ: при каком значении буквы выражение теряет смысл. Ищи деление: запись (a + 3) : (a − 7) не имеет смысла ровно при a = 7 — знаменатель обращается в нуль.
- Числовое выражение#
- запись из чисел и знаков арифметических действий, которую можно вычислить
- Значение выражения#
- число, которое получается после выполнения всех действий по правилам
- Переменная#
- буква в записи, вместо которой можно подставлять разные числа
- Выражение с переменной#
- запись из чисел, букв и знаков действий
- Рациональное число#
- число, которое можно записать дробью m/n с целым числителем и натуральным знаменателем
- Подобные слагаемые#
- слагаемые, отличающиеся только числовым множителем: 2x и 5x
- Пример: 500 − (34 · 3 + 72 + 8). Сначала скобки: внутри умножение 34 · 3 = 102.
- Складываем всё в скобках: 102 + 72 + 8 = 182.
- Последним действием вычитаем: 500 − 182 = 318 рублей сдачи.
Сдача с 500 рублей: 3 булки по 34, молоко за 72 и пакет за 8. Прикинь и проверь.
Проверь себя
Клавиши 1–9 выбирают вариант, Enter — «Проверить»
1 Найди значение выражения 34 · 3 + 72.
2 Какая запись является выражением с переменной?
3 В выражении 20 − 8 : 2 первым выполняется вычитание.
4 При a = 5 найди значение выражения a · a − 9.
5 Сопоставь термин и его смысл.
Нажми на элемент слева, затем на его пару справа. Повторное нажатие отменяет связь.
6 Покупка стоит 34 · 3 + 72 рубля. Сколько сдачи дадут с 500 рублей?
7 Разложи записи по типам.
Разложи элементы по категориям: нажми на элемент, потом на категорию.
8 Дополни правило порядка действий.
Выбери подходящее слово в каждом пропуске.
Сначала выполняют и деление, затем сложение и . Скобки меняют порядок: в записи 500 − (34 · 3 + 72) первым считают .
Было понятно? Скажи — так мы видим, какие темы переписать.
Частые вопросы
Чем числовое выражение отличается от выражения с переменной?
В числовом выражении только числа и знаки действий, и его значение — одно конкретное число. В выражении с переменной есть буква, и значение зависит от того, что вместо неё подставить.
Почему в 3 + 2 · 4 нельзя сначала сложить 3 и 2?
Потому что все договорились: умножение и деление выполняются раньше сложения и вычитания. Иначе один и тот же пример давал бы разные ответы у разных людей.
Может ли выражение не иметь значения?
Может, и причина почти всегда одна — деление на ноль. Если в записи встречается 18 : (6 − 6), значение найти нельзя: говорят, что выражение не имеет смысла.
Как составить выражение по условию задачи?
Обозначь неизвестную величину буквой и запиши действия из условия: цена умножить на количество, путь — скорость умножить на время. Если сказано «на 40 дороже», прибавляй 40 к букве.