Линейные уравнения с одной переменной

Ты копишь на наушники за 2400 рублей и каждую неделю откладываешь по 300 рублей. Вопрос «через сколько недель покупка состоится» — это уже уравнение: 300x = 2400. Здесь x — количество недель, и ответ у него ровно один: 8. Точно так же устроены расчёты тарифов связи, планов тренировок и остатка на карте. Осталось научиться находить такой ответ честно, по шагам, а не подбором.

Уравнения вокруг нас

Уравнения окружают и вне школы. На телефоне: остаток трафика 6 ГБ, в день уходит по 1,5 ГБ — через сколько дней интернет кончится? Запись 6 − 1,5x = 0 даёт x = 4. В спортзале: план поднять общий вес со 110 до 140 кг, добавляя по 5 кг в неделю, — 110 + 5x = 140, x = 6. В дороге: осталось проехать 9 км, каждая остановка — полтора километра, значит 1,5x = 9 и x = 6. Везде один и тот же ход: неизвестное получает имя и превращается в задачу о равновесии двух частей.

За буквой x может прятаться всё что угодно: количество недель, скорость, цена. Классика седьмого класса — задачи про возраст: «Отцу 38 лет, сыну 14. Через сколько лет отец будет втрое старше сына?» Составляем: 38 + x = 3 · (14 + x). Раскрываем скобки: 38 + x = 42 + 3x. Переносим: x − 3x = 42 − 38, то есть −2x = 4, x = −2. Ответ странный, но осмысленный: два года назад отцу было 36, сыну 12 — ровно втрое. Уравнение честно сообщило, что в будущем такой момент не наступит.

Корень уравнения и алгоритм решения

Корень уравнения — число, при котором равенство становится верным: для 300x = 2400 это 8, потому что 300 · 8 = 2400. Линейным называют уравнение, которое можно привести к виду ax = b, где a и b — числа. Схема всегда одна: раскрываем скобки, переносим слагаемые без x в правую часть, приводим подобные слагаемые и делим на коэффициент при x. Разберём на примере 4x + 7 = 3x − 5. После переноса: 4x − 3x = −5 − 7. Приводим подобные: x = −12. Проверка: 4 · (−12) + 7 = −41 и 3 · (−12) − 5 = −41 — равенство сошлось, корень верный. Есть особые случаи: у уравнения 0 · x = 5 корней нет вовсе, а у 0 · x = 0 корнем служит любое число.

Равносильные преобразования: почему решение законно

Уравнение — это весы в равновесии: слева и справа стоят выражения одинакового веса. Если с обеих чаш снять или добавить поровну, равновесие сохранится. Отсюда два разрешённых хода: прибавить к обеим частям одно и то же число (или вычесть — так работает перенос слагаемых) и умножить или разделить обе части на одно и то же число, не равное нулю. Уравнения, полученные такими ходами, называют равносильными: у них одни и те же корни.

Схема решения всегда одна: привести уравнение к виду ax = b и разделить на коэффициент. Разберём строку 5(x − 3) + 2 = 3(x + 2). Раскрываем скобки: 5x − 15 + 2 = 3x + 6. Переносим: 5x − 3x = 6 + 15 − 2. Приводим подобные: 2x = 19, отсюда x = 9,5. Корень вышел дробным — это нормальная история: у линейного уравнения корнем может быть любое рациональное число.

Три случая: как коэффициент решает судьбу уравнения

Судьбу уравнения ax = b решает коэффициент a. Первый случай: a не равно нулю — корень один, x = b : a. Второй: a = 0, а b не ноль — корней нет вовсе, потому что строка 0 · x = 5 ложна при любом x. Третий: a = 0 и b = 0 — получается тождество 0 = 0, верное при любом значении буквы. Такие уравнения любят прятаться: 2(x + 3) = 2x + 6 выглядит обычным, но после раскрытия скобок слева и справа оказываются одинаковые выражения.

• ax = b при a ≠ 0 — ровно один корень;
• 0x = b при b ≠ 0 — корней нет;
• 0x = 0 — корнем является любое число;
• потерянный знак при переносе превращает верное решение в ложное — проверка обязательна.

Отдельно про деление на ноль. Ход «разделим обе части на a» запрещён при a = 0 не из вредности: деление обратно умножению, а умножить на ноль можно любое число, поэтому «восстановить» делитель невозможно. Именно поэтому случай a = 0 разбирают отдельно, сравнивая b с нулём: b не ноль — корней нет, b = 0 — корней бесконечно много. Ни в одном другом случае у линейного уравнения сюрпризов нет.

Коэффициент может быть и дробным. Уравнение 0,5x = 12 решается делением: x = 12 : 0,5 = 24 — деление на дробь, меньшую единицы, только увеличивает число. А если дробь неудобная, обе части умножают на знаменатель: запись x/3 = 8 превращается в x = 24 одним умножением на 3. Приём «умножь обе части на знаменатель» экономит на контрольной целую минуту и три ошибки.

Текстовые задачи: переводим слова в уравнение

Главная профессия линейного уравнения — текстовые задачи. План из четырёх шагов: обозначь неизвестное буквой, вырази остальное через неё, запиши равенство из условия, реши и проверь ответ на здравый смысл. Задача: в двух корзинах 48 яблок, в первой их в три раза больше, чем во второй. Пусть во второй x яблок, тогда в первой 3x. Вместе: x + 3x = 48, то есть 4x = 48, откуда x = 12. Проверка: 12 и 36, сумма 48 — сходится.

Бывает, что удобнее обозначить не то, о чём спрашивают. Задача: у Маши наклеек в 4 раза больше, чем у Саши, а разница — 27. Пусть у Саши x, тогда у Маши 4x, и 4x − x = 27. Отсюда 3x = 27, x = 9: у Саши 9 наклеек, у Маши 36. Уравнение получилось простым именно потому, что мы назвали буквой меньшее число. Ответ проверяй вопросом условия, а не уравнением: корень x = 9 — про Сашу, а спрашивали про Машу.

Как это спрашивают на контрольной и ОГЭ

Первая часть ОГЭ любит задания «решите уравнение» и «найдите корень по условию задачи»: линейные уравнения встречаются и сами по себе, и внутри задач на движение, работу и цены. Второй любимый формат — обратный: «при каком значении a уравнение ax = 8 имеет корень 2». Подставляем корень и решаем относительно коэффициента: 2a = 8, a = 4. Такие задания проверяют, понимаешь ли ты устройство уравнения, а не только умеешь ли его решать.

Три источника потерянных баллов, если судить по тетрадям. Первый: знак при переносе — минус у слагаемого исчезает, и решение рушится. Второй: скобки, перед которыми стоит минус: 4 − (x + 2) = 4 − x − 2, а не 4 − x + 2. Третий: в задаче про количество людей пишут дробный ответ, хотя люди измеряются целыми числами. Каждая из этих ошибок ловится проверкой за десять секунд.

Уравнение#

равенство, содержащее букву, значение которой нужно найти

Корень уравнения#

число, при подстановке которого равенство становится верным

Линейное уравнение#

уравнение вида ax = b: переменная входит в первой степени

Подобные слагаемые#

слагаемые с одинаковой буквенной частью, например 4x и −x

Коэффициент#

числовой множитель при переменной

Равносильные уравнения#

уравнения с одинаковыми корнями или оба без корней

Подсказка: клавиши J — следующая тема, K — предыдущая, клик по картинке — на весь экран, ←/→ — листать, на телефоне: свайп влево/вправо — соседняя тема