Калькулятор системы двух уравнений

Катер прошёл 48 км по течению за 3 часа, а потом 40 км против течения за 4 часа. Сколько часов займут 26 км по озеру в штиль и с какой скоростью течёт река? Два неизвестных — собственная скорость катера и скорость течения. По одному уравнению их не поймать, зато два условия сразу дают систему: $3(v+t)=48$ и $4(v-t)=40$. Калькулятор выше решает такие системы с любыми коэффициентами: считает определитель, показывает и правило Крамера, и метод сложения, рисует график двух прямых. Введи коэффициенты из своей задачи — и следи за шагами.

Что такое система двух линейных уравнений

Система — это несколько уравнений, для которых ищут общие решения. Каждое из двух уравнений с двумя переменными имеет вид $a_{1}x+b_{1}y=c_1$ и $a_{2}x+b_{2}y=c_2$: слева коэффициенты при $x$ и при $y$, справа — свободный член. Решить систему значит найти все пары чисел $(x;y)$, которые обращают в верное равенство оба уравнения одновременно. Например, пара $(2;3)$ — решение системы $2x+3y=13$, $x-y=-1$: подставь и убедись, что $4+9=13$ и $2-3=-1$. Записывают ответ именно парой, потому что по отдельности $x$ и $y$ ничего не значат — они подходят к условию только вместе.

У каждой геометрическая картинка: уравнение $ax+by=c$ — прямая линия на плоскости. У системы таких прямых две, и их взаимное расположение даёт ровно три исхода. Прямые пересекаются — одна общая точка, единственное решение. Параллельны — общих точек нет, решений нет. Совпали — каждая точка прямой общая, решений бесконечно много. Это три вопроса, на которые отвечает любой метод: подстановка, сложение или определители.

Графический метод: построить и увидеть

Прямую достаточно построить по двум точкам — удобнее всего по пересечениям с осями. Для $2x+3y=13$ при $x=0$ выходит $y=13/3\approx 4,3$, при $y=0$ выходит $x=6,5$; отметь две точки и проведи линию. Повтори для второго уравнения — и точка пересечения станет видимой: для нашей системы это $(2;3).$ График ничего не вычисляет, зато мгновенно показывает три исхода: пересеклись — решение есть, разошлись параллельно — нет, наложились — их бесконечно много. Точность ограничена клеткой: пара $(2;3)$ с листа снимается уверенно, а дробную вроде $(\frac{5}{3};\frac{1}{3})$ без расчёта не прочитаешь. Поэтому график используют для прикидки и проверки, а точный ответ добирают алгеброй.

Метод подстановки

Идея — выразить одну переменную из уравнения с удобным коэффициентом и подставить во второе. Возьмём систему $2x+3y=13$, $x-y=-1$. Во втором уравнении при $x$ стоит единица — выражаем: $x=y-1$. Подставляем в первое: $2(y-1)+3y=13$, раскрываем скобки: $5y-2=13$, значит $y=3$. Возвращаемся к выражению: $x=y-1=2$. Ответ — пара $(2;3)$. Метод особенно хорош, когда какой-то коэффициент равен 1 или $-1$: тогда выражение получается без дробей. Если удобных коэффициентов нет, появятся дроби — они не ошибка, просто счёт станет длиннее.

Метод сложения

Здесь одну из переменных уничтожают умножением и сложением уравнений. В той же системе умножим второе уравнение на 3 — по числу, стоящему при $y$ в первом: $3x-3y=-3$. Складываем с первым: $5x=10$, значит $x=2$. Дальше $y$ находим из любого уравнения: $y=x+1=3$. Тот же ответ, но без выражения переменной через другую. Сложение выигрывает, когда коэффициенты уже противоположны или отличаются множителем: $2x+5y=21$ и $2x-y=3$ — вычти и получишь $6y=18$. Проверку стоит делать всегда: подставь пару в оба уравнения исходной системы, а не промежуточных.

Определитель и правило Крамера

Третий способ — самый компактный и самый «взрослый». Главный определитель системы $D=a_1{b}_2-a_2{b}_1$ — произведение коэффициентов на главной диагонали минус произведение на побочной. Правило, опубликованное швейцарским математиком Габриэлем Крамером в 1750 году, даёт ответ одной дробью: числитель — тот же определитель, в котором столбец коэффициентов при $x$ заменён столбцом свободных членов, знаменатель — $D$. Для $y$ заменяется второй столбец.

Красота правила Крамера в том, что определитель сразу диагностирует систему. Если $D\ne 0$, решение существует и единственно — прямые наклонены по-разному и обязаны пересечься. Если $D=0$, коэффициенты при переменных пропорциональны, и остаётся два варианта, которые различают по свободным членам — они и собраны в таблице.

Где системы применяются

Классика школьных задач — сплавы и смеси. Сплавили 4 кг сплава с 15% меди и 6 кг с 25%: меди стало $0,6+1,5=2,1$ кг на 10 кг, то есть 21%. Когда в задаче просят найти обе массы по двум условиям — общему весу и весу чистого металла — это в точности система из двух уравнений. Вторая классика — движение: в уравнениях появляются $v+t$ по течению и $v-t$ против. Из нашего вступления выходит система $v+t=16$, $v-t=10$, и сложение мгновенно даёт $v=13$ км/ч, $t=3$ км/ч.

Третий частый сюжет — цена и количество. Три тетради и две ручки стоят 230 рублей, одна тетрадь и три ручки — 170. Пусть тетрадь стоит $x$, ручка $y$: получается $3x+2y=230$ и $x+3y=170$. Определитель $D=3\cdot 3-1\cdot 2=7$, правило Крамера даёт $x=50$, $y=40$ — тетрадь 50 рублей, ручка 40. Проверка: $150+80=230$ и $50+120=170$. За пределами школы системы живут в электротехнике — правила Кирхгофа для токов в цепи, в экономике — баланс цен и объёмов, в химии — материальный баланс реакций.

Калькулятор вверху страницы повторяет этот путь для любых шести коэффициентов: определитель, Крамер с подстановкой чисел, дополнение методом сложения и график, на котором видно, пересекаются прямые или идут параллельно. Дальше логично двигаться по урокам: базовые приёмы — в теме про системы уравнений 7-9 классов, а в 11 классе системы встречаются уже с нелинейными уравнениями — там методы из этого калькулятора остаются каркасом, к которому добавляется исключение переменных через возведение в квадрат.