Алгебра · 11 классурок · 2026-09-27~7 мин чтения

Текстовые задачи: проценты, смеси, совместная работа

Собираем приёмы для текстовых задач ЕГЭ: проценты как множители, смеси через массу чистого вещества и совместная работа через производительности.

Открыть тренажёр Сразу к проверке

Через первую трубу бассейн наполняется за 6 часов, через вторую — за 4. Сосед по парте уверен: вместе они справятся за 10 часов, ну или за 5, в крайнем случае за 3. Правильный ответ 2,4 часа — меньше, чем каждая труба по отдельности. Разберёмся, почему, и заодно соберём приёмы для трёх самых частых сюжетов текстовых задач: проценты, смеси и совместная работа.

Сюжет задачи	Главная идея	Опорная запись
Движение	путь равен скорости, умноженной на время	$S = v \cdot t$
Проценты	рост или скидка — это умножение на множитель	$1 \pm \frac{p}{100}$
Смеси и сплавы	масса чистого вещества сохраняется	концентрация = чистое вещество : вся масса
Совместная работа	складываются производительности, а не времена	$\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$

Движение: навстречу и вдогонку

База одна: путь равен скорости, умноженной на время. Всё разнообразие сюжетов — в том, как складывать скорости. Движение навстречу: скорости сближения складываются. Из двух посёлков, между которыми 54 км, выехали одновременно велосипедист со скоростью 12 км/ч и мопедист со скоростью 15 км/ч: за час они сокращают расстояние на 27 км, значит встретятся через 54 : 27 = 2 часа. Движение вдогонку: скорости вычитаются. Автобус отстал на 40 км и едет со скоростью 60 км/ч, автомобиль догоняет со скоростью 80 км/ч — разрыв тает на 20 км в час, догонит через 2 часа.

t = \frac{S}{v _{1} + v _{2}}

Навстречу: время до встречи

Задержка старта — любимое усложнение. Пешеход вышел из деревни со скоростью 5 км/ч, а через час вдогонку ему выехал велосипедист со скоростью 12 км/ч. За этот час пешеход ушёл на 5 км, разрыв закрывается со скоростью 7 км/ч, значит велосипедист догонит через 5 : 7 часа, то есть примерно за 43 минуты. В таких задачах сначала спроси себя: на каком расстоянии друг от друга они оказались к моменту старта второго? Дальше это обычная задача вдогонку.

На экзамене рисуй схему: точки А и В, стрелки движения, подписанные скорости. Она заменяет половину рассуждений — сразу видно, кто куда едет, где точка встречи и что с чем складывать. Таблица «скорость — время — путь» для каждого участника работает так же: три строки, три столбца, и уравнение записывается почти само.

Движение по реке

Река либо помогает, либо мешает: по течению скорости складываются, против — вычитаются. Моторная лодка с собственной скоростью 12 км/ч при течении 2 км/ч идёт по течению со скоростью 14 км/ч, против — 10 км/ч. Путь 28 км туда займёт 2 часа, обратно 2,8 часа — итого 4,8 часа, а по спокойному озеру те же 56 км заняли бы 56 : 12 ≈ 4,67 часа. Плот плывёт со скоростью течения: мотора у него нет, толкает только река. Типовая ловушка ЕГЭ — забыть про течение и делить путь на собственную скорость лодки.

Проценты и смеси

Процент — просто множитель. Рост на 15 % — умножение на 1,15, скидка 20 % — умножение на 0,8. Куртка за 4000 руб. после двух скидок по 10 % будет стоить 4000·0,9·0,9 = 3240 руб., а не 3200: вторая скидка считается уже от новой цены, проценты от разных баз складывать нельзя. В задачах на смеси считай массу чистого вещества: в 300 г двадцатипроцентного раствора соли её 300·0,2 = 60 г. Долили 100 г воды — соли по-прежнему 60 г, раствора стало 400 г, концентрация 60/400 = 15 %. Из сохранения массы и получается уравнение.

S^{'} = S \cdot (1 \pm \frac{p}{100})

Процент — это множитель: рост (+), скидка (−)

t = \frac{a \cdot b}{a + b}

Совместная работа: время через производительности

Совместная работа с тремя исполнителями

Правило со сложением производительностей работает для любого числа участников. Первый насос осушает подвал за 6 часов, второй за 3, третий за 2. За час они выкачивают 1/6 + 1/3 + 1/2 = 1 подвал, значит вместе справятся ровно за час. Если же третий подключается не сразу, а через час после старта первых двух, считай по этапам: за первый час двое осушат 1/2 подвала, останется половина, и все трое доделают её за полчаса. Всегда спрашивай себя: работают одновременно или по очереди? От ответа зависит, складывать ли производительности или считать этапы по отдельности.

Ты устроился на летнюю подработку: первая смена приносит 800 рублей, вторая — на 25% больше. Считаем множителем: 800 · 1,25 = 1000 рублей, за обе смены 1800. Заметь: «на сколько процентов вторая смена больше первой» — это всегда деление прироста на ту базу, что названа в вопросе.

Смеси и сплавы: уравнение сохранения

Главное правило: при смешивании складываются массы чистого вещества. Смешали 400 г двадцатипроцентного раствора соли и 100 г пятидесятипроцентного. Соли в первом 400 · 0,2 = 80 г, во втором 100 · 0,5 = 50 г, всего 130 г чистой соли на 500 г смеси — концентрация 130 : 500 = 26 %. Из того же правила следуют и ловушки: при выпаривании воды соль не испаряется, её масса не меняется, меняется лишь общая масса раствора. Если в задаче два сплава с разными металлами, уравнение пишут для каждого чистого вещества отдельно — по меди отдельно, по цинку отдельно.

Общая стратегия любого текстового сюжета одинакова: введи переменную, вырази все величины через неё и данные условия, найди сохраняющуюся связь — путь, работу или массу чистого вещества — и запиши уравнение. Решив его, верни единицы измерения и проверь ответ на здравый смысл. Такой порядок спасает даже в незнакомых сюжетах: неизвестное, связь, уравнение, проверка.

S^{''} = S \cdot (1 + \frac{p _{1}}{100}) \cdot (1 + \frac{p _{2}}{100})

Последовательные проценты: цепочка множителей

Разбор типовой задачи: по реке и обратно

Лодка, река и время в пути

Условие: лодка прошла 30 км по течению и 20 км против, собственная скорость 12 км/ч, течение 3 км/ч. Находим скорости на каждом участке.
$12 + 3 = 15, 12 - 3 = 9$
Время по течению: путь 30 км делим на 15 км/ч.
$30 : 15 = 2$
Время против течения: путь 20 км делим на 9 км/ч.
$20 : 9$
Складываем два времени: 2 часа плюс 20/9 часа, всего 38/9 часа — примерно 4,2.
$2 + \frac{20}{9} = \frac{38}{9}$
Проверка: против течения лодка медленнее, значит на 20 км уходит больше двух часов — 20/9 ≈ 2,2 согласуется с условием.
Заметь: скорость течения именно прибавляется и вычитается, а не делится или умножается — половина ошибок в задачах про реку происходит именно здесь.

Словарь урока

Скорость сближения#: Сумма скоростей при встречном движении; на неё сокращается расстояние между пунктами
Собственная скорость#: Скорость лодки в стоячей воде; по течению к ней прибавляется течение, против — вычитается
Производительность#: Доля работы в единицу времени: если задание выполняют за a часов, за час делается 1/a работы
Концентрация#: Отношение массы чистого вещества к массе всей смеси, чаще всего в процентах
Чистое вещество#: Соль, кислота или металл в сплаве: его масса сохраняется при разбавлении и выпаривании
Множитель процента#: Число для умножения: рост на p % даёт 1 + p/100, скидка на p % даёт 1 − p/100

Как это спрашивают на ЕГЭ

Текстовые задачи в профильном ЕГЭ — это первая часть и отдельная задача второй части. Сюжеты повторяются из года в год, меняются только числа и упаковка.

Движение навстречу или вдогонку с задержкой старта — один выехал позже другого.
Путь по реке туда и обратно: составить уравнение по сумме времён на двух участках.
Совместная работа двух труб, насосов или цехов, иногда с выключением одного из них.
Смешивание растворов или сплавов двух концентраций с вопросом о доле чистого вещества.

Попыток: 0 · Найдено: 0 из 4

Термины

Определения

Собери пары

Перетаскивай: фраза из условия и действие.

Утверждение 1 из 4

Две скидки по 10 % равны одной скидке 20 %.

Верно или нет?

Проценты — от какой базы? Соль при испарении воды никуда не уходит.

s = v·t = 100 м

Скорость v10 м/сВремя t10 с

Полигон задач на движение

Двигай слайдеры скорости и времени: смотри, как растёт пройденный путь.

Проверь себя

Клавиши 1–9 выбирают вариант, Enter — «Проверить»

Цена товара 800 руб. выросла на 15 %. Сколько теперь стоит товар (в рублях)?

Цена 500 руб. выросла на 20 %, потом упала на 20 %. Какая цена в итоге?

Верно ли: если первая труба наполняет бассейн за 3 ч, а вторая за 6 ч, то вместе они наполнят его за 2 ч?

В 400 г раствора 25 % соли. Сколько граммов соли в растворе?

Какие действия верны в задачах на совместную работу?

Сопоставь фразу из условия и математическое действие.

Нажми на элемент слева, затем на его пару справа. Повторное нажатие отменяет связь.

Разложи ситуации по категориям: что делать с величинами?

Разложи элементы по категориям: нажми на элемент, потом на категорию.

Дополни.

Выбери подходящее слово в каждом пропуске.

В задачах на совместную работу складываются , а не времена. Скидка 20% — это умножение цены на .

Было понятно? Скажи — так мы видим, какие темы переписать.

Частые вопросы

Как решать задачи на совместную работу?

Прими всю работу за 1 и найди производительность каждого: 1/a и 1/b в единицу времени. Вместе они делают 1/a + 1/b, а время равно 1 : (1/a + 1/b) = ab/(a+b).

Почему две скидки по 10 % — это не скидка 20 %?

Вторая скидка считается уже от уменьшенной цены: 0,9 · 0,9 = 0,81, то есть итоговая скидка 19 %. Проценты от разных баз не складываются.

Что делать в задачах на смеси?

Считай массу чистого вещества: концентрация, умноженная на массу раствора. При смешивании и разбавлении чистое вещество сохраняется — из этого уравнения и находится ответ.

Как решать задачи на движение по реке?

Выпиши отдельно собственную скорость лодки и скорость течения, затем сложи их для пути по течению и вычти для обратного. Дальше работает обычное правило: путь равен скорости, умноженной на время, и уравнение составляется по сумме времён на каждом участке.