Калькулятор равноускоренного движения

Машина на скорости 60 км/ч жмёт в тормоз, спринтер срывается с колодок, камень срывается с крыши — во всех трёх историях скорость меняется каждую секунду на одну и ту же величину. Такое движение называют равноускоренным, и двух формул хватает на девять задач из десяти. Калькулятор выше работает в четыре стороны: считает конечную скорость, путь, ускорение или время — и показывает подстановку чисел по шагам. Введи данные своей задачи, не забыв перевести километры в час в метры в секунду: 60 км/ч — это 16,7 м/с.

Ускорение: на сколько меняется скорость за секунду

Ускорение — это $a=\frac{\Delta v}{\Delta t}$: изменение скорости, делённое на время, за которое оно произошло. Единица — м/с², читается «метр в секунду за секунду». Если автомобиль разгоняется с ускорением 2 м/с², то каждую секунду его скорость растёт ровно на 2 м/с: 0, 2, 4, 6... Рывок до сотни за 10 секунд — это ускорение около 2,8 м/с²: 27,8 м/с делим на 10 с. У бытовой стиральной машины барабан меняет обороты быстрее, чем спортивный автомобиль, — просто о скорости вращения думать непривычно.

Знак ускорения — это газ или тормоз. a > 0 — разгон вперёд, a < 0 — торможение: скорость падает на величину ускорения каждую секунду. Равноускоренное движение с нулевым ускорением — просто равномерное движение, скорость не меняется вовсе.

Откуда берётся at²/2

Формула скорости при равноускоренном движении простая: конечная скорость — начальная плюс прирост, $v=v_0+at$. Прирост одинаковый каждую секунду, поэтому график скорости — прямая линия. А вот путь накапливается неравномерно: в начале тело медленное и метры набегают лениво, к концу — быстрые и счет идёт на десятки. Спасает средняя скорость: при равномерном изменении она равна среднему арифметическому начала и конца, $\bar{v}=\frac{v_0+v}{2}$. Умножь её на время — и вылезет знаменитая половинка.

Подставим выражение скорости в среднюю: $\frac{v_0+(v_0+at)}{2}=v_0+\frac{at}{2}$. Умножаем на время и получаем путь: $s=v_{0}t+\frac{a{t}^2}{2}$. Первое слагаемое — путь равномерного движения, второе — добавка от ускорения, растущая как квадрат времени. Вот почему за первую секунду разгоняющееся тело проходит мало, а за десятую — много.

Есть и третья формула — без времени. Если из двух основных исключить t, выйдет $s=\frac{v^2-v_0^2}{2a}$: путь из начальной и конечной скоростей и ускорения. Она спасает, когда время в задаче не дано: машина разогналась с 20 до 30 м/с с ускорением 2 м/с² — путь (900 − 400)/4 = 125 м, и время знать не нужно. На экзаменах эта формула экономит строку-другую выкладок, а выводится она из тех же двух основных — запоминать можно только их.

Проверим на числах: v₀ = 10 м/с, a = 2 м/с², t = 3 с. Конечная скорость 16 м/с, средняя — (10 + 16)/2 = 13 м/с, путь 13 × 3 = 39 м. По формуле: 10 × 3 + 2 × 9/2 = 30 + 9 = 39 м. Сошлось: девять метров — та самая добавка, которую равномерная формула пропустила бы. Средняя скорость проверяется делением: 39/3 = 13.

Торможение и тормозной путь

При торможении ускорение отрицательное, и водителю важны две величины. Время до полной остановки: скорость обнуляется, когда начальный запас выбран, $t_{stop}=\frac{v_0}{|a|}$. Тормозной путь: $s=\frac{v_0^2}{2|a|}$ — квадрат скорости, делённый на удвоенное ускорение. При ускорении 5 м/с², характерном для экстренного торможения на сухом асфальте, машина с 60 км/ч остановится примерно за 28 м, а с 120 км/ч — за 111 м. Скорость удвоилась — путь вырос вчетверо.

Четверки в таблице — прямое следствие квадрата: 1, 4, 9, 16. Реальный остановочный путь ещё длиннее: водитель сначала реагирует, и за секунду реакции машина на 60 км/ч проезжает ещё 17 м, на 120 км/ч — уже 33 м, до того как тормоза включатся. Плюс покрытие бывает мокрым, шины — изношенными. Именно поэтому в правилах дистанция измеряется в метрах, а не «в корпусах», и именно поэтому городские лимиты не растут, хотя машины стали мощнее.

Свободное падение: g ≈ 9,8 м/с²

Свободное падение — равноускоренное движение с ускорением свободного падения g ≈ 9,8 м/с², направленным вниз (в задачах часто округляют до 10). Главный факт: в вакууме все тела падают одинаково, масса не влияет. На Земле мешает воздух, но на Луне атмосферы нет — и в 1971 году астронавт Аполлона-15 Дэвид Скотт одновременно уронил молоток и перо: оба коснулись поверхности в один момент. Формулы те же: подставь v₀ = 0 и a = 9,8 — получишь скорость тела через t секунд падения и глубину колодца по времени звука удара. Ускорение свободного падения на Луне всего 1,6 м/с², поэтому прыжки астронавтов выглядят замедленными.

Посчитаем: тело падает из состояния покоя 2 секунды — скорость к концу 19,6 м/с, и путь тоже 19,6 м: при g = 9,8 числа на второй секунде совпадают. Камень в колодце: стук услышан через 3 секунды после старта — глубина около 44 м (9,8 × 9/2), время на звук, идущий обратно, пока не учитываем. А на десятой секунде свободного падения скорость уже почти 100 м/с — потому и говорят, что падение без парашюта не прощает ни секунды.

Графики v(t) и s(t)

График скорости — прямая линия, и её наклон и есть ускорение: горизонталь — равномерное движение, подъём — разгон, спуск — торможение. Путь — площадь под графиком скорости: под прямой лежит трапеция, и её площадь считается той самой формулой $v_{0}t+\frac{a{t}^2}{2}$. График пути — ветвь параболы: при старте с нуля кривая загибается всё круче, потому что скорость растёт. По наклону графика пути в любой точке читается мгновенная скорость — чем круче, тем быстрее тело движется в этот момент.

Живой пример — стометровка Усэйна Болта: 100 м за 9,58 секунды (Берлин, 2009). Средняя скорость 10,4 м/с, но движение не равномерное: первые метры — чистый разгон, а на середине дистанции пиковая скорость переваливает за 12 м/с. На графике v(t) это крутой подъём, переходящий в почти горизонтальный участок — к финишу рекордсмен движется почти равномерно, и путь после разгона прирастает уже с постоянной скоростью.

Куда двигаться дальше: определения и виды движения разобраны в уроке про механическое движение, полный разбор формул и задач на ускорение — в уроке про равноускоренное движение, а частный случай падения с ускорением 9,8 м/с² — в уроке про свободное падение. Там же — про невесомость: когда лифт и тело падают с одинаковым ускорением, вес исчезает.