Первообразная и интеграл — тренажёр

Пример 1. Найди площадь под графиком функции f(x) = 4x на отрезке от 0 до 4.

Подсказка. Формула Ньютона-Лейбница: F(4) − F(0).

Как решать. Первообразная 4x²/2: F(4) − F(0) = 4·16/2 = 4·8.

Ответ: 32

Пример 2. Вычисли площадь криволинейной трапеции под графиком f(x) = 3x² от x = 0 до x = 2.

Подсказка. Пределы подставляй в первообразную, а не в саму функцию.

Как решать. Первообразная x³: F(2) − F(0) = 2³, то есть 2·2·2.

Ответ: 8

Пример 3. Скорость самоката за 3 секунды равномерно выросла от 0 до 2·6 м/с. Найди пройденный путь (в метрах).

Подсказка. Путь — площадь треугольника: половина произведения основания на высоту.

Как решать. Под графиком скорости — треугольник: основание 3 с, высота 2·6 м/с. Путь = 3·2·6 : 2 = 6·3 м.

Ответ: 18

Пример 4. Найди площадь под графиком функции f(x) = 2x на отрезке от 0 до 4.

Подсказка. Формула Ньютона-Лейбница: F(4) − F(0).

Как решать. Первообразная 2x²/2: F(4) − F(0) = 2·16/2 = 2·8.

Ответ: 16

Пример 5. Вычисли площадь криволинейной трапеции под графиком f(x) = 3x² от x = 0 до x = 4.

Подсказка. Пределы подставляй в первообразную, а не в саму функцию.

Как решать. Первообразная x³: F(4) − F(0) = 4³, то есть 4·4·4.

Ответ: 64

Пример 6. Скорость самоката за 3 секунды равномерно выросла от 0 до 2·3 м/с. Найди пройденный путь (в метрах).

Подсказка. Путь — площадь треугольника: половина произведения основания на высоту.

Как решать. Под графиком скорости — треугольник: основание 3 с, высота 2·3 м/с. Путь = 3·2·3 : 2 = 3·3 м.

Ответ: 9

Пример 7. Найди площадь под графиком функции f(x) = 3x на отрезке от 0 до 4.

Подсказка. Формула Ньютона-Лейбница: F(4) − F(0).

Как решать. Первообразная 3x²/2: F(4) − F(0) = 3·16/2 = 3·8.

Ответ: 24

Пример 8. Вычисли площадь криволинейной трапеции под графиком f(x) = 3x² от x = 0 до x = 3.

Подсказка. Пределы подставляй в первообразную, а не в саму функцию.

Как решать. Первообразная x³: F(3) − F(0) = 3³, то есть 3·3·3.

Ответ: 27

Пример 9. Найди площадь под графиком функции f(x) = 5x на отрезке от 0 до 4.

Подсказка. Формула Ньютона-Лейбница: F(4) − F(0).

Как решать. Первообразная 5x²/2: F(4) − F(0) = 5·16/2 = 5·8.

Ответ: 40

Пример 10. Скорость самоката за 3 секунды равномерно выросла от 0 до 2·7 м/с. Найди пройденный путь (в метрах).

Подсказка. Путь — площадь треугольника: половина произведения основания на высоту.

Как решать. Под графиком скорости — треугольник: основание 3 с, высота 2·7 м/с. Путь = 3·2·7 : 2 = 7·3 м.

Ответ: 21

Пример 11. Скорость самоката за 3 секунды равномерно выросла от 0 до 2·2 м/с. Найди пройденный путь (в метрах).

Подсказка. Путь — площадь треугольника: половина произведения основания на высоту.

Как решать. Под графиком скорости — треугольник: основание 3 с, высота 2·2 м/с. Путь = 3·2·2 : 2 = 2·3 м.

Ответ: 6

Вопрос 1. Вычисли ${\int }_0^{2}6x^{2}dx$.

Ответ: 16

Пояснение. Первообразная $2x^3$: $2\cdot 2^3-0=16$.

Вопрос 2. Верно ли: sin x + C — первообразная для cos x?

Ответ: Верно

Пояснение. Производная sin x равна cos x, а производная константы — нуль, поэтому всё семейство sin x + C подходит.

Вопрос 3. Скорость самоката v(t) = 2t м/с. Какой путь он пройдёт за первые 3 секунды?

Ответ: 9 м

Пояснение. Первообразная t²: 3² − 0 = 9 м. Проверка геометрией: треугольник с основанием 3 и высотой 6, площадь 9.

Вопрос 4. Выбери все первообразные для функции f(x) = x².

Ответ: $x^3/3$; $x^3/3+5$; $x^3/3-1$

Пояснение. Производная каждой из первых трёх равна x². Производная 3x² равна 6x — это уже другая функция.

Вопрос 5. Сопоставь функцию и её первообразную.

Пояснение. Проверка простая: производная правой колонки должна давать левую.

Вопрос 6. Расставь шаги вычисления ${\int }_0^{2}3x^{2}dx$ по формуле Ньютона-Лейбница.

Ответ: найти первообразную: x³ → подставить верхний предел: 2³ = 8 → подставить нижний предел: 0³ = 0 → вычесть: 8 − 0 = 8

Пояснение. Схема всегда одна: первообразная, верхний предел, нижний предел, разность.

Вопрос 7. Дополни.

Ответ: интегралом → первообразной

Пояснение. Путь — интеграл скорости; чтобы его посчитать, ищем первообразную и вычитаем значения на концах отрезка.