Наибольшее и наименьшее значение функции через производную — тренажёр

Пример 1. Найди наименьшее значение функции y = (x − 5)² + 4.

Подсказка. Квадрат выражения не бывает меньше нуля.

Как решать. Квадрат неотрицателен и обнуляется при x = 5, поэтому наименьшее значение равно 4.

Ответ: 4

Пример 2. Найди наибольшее значение функции y = 7x − x² на отрезке от 0 до 3.

Подсказка. Проверь знак производной на отрезке.

Как решать. Производная 7 − 2x на всём отрезке положительна, функция растёт, максимум в правом конце x = 3: 7·3 − 9 = 7 + 7 + 7 − 9.

Ответ: 12

Пример 3. Функция y = x³ − 12x рассматривается на отрезке от 0 до 5, критическая точка x = 2. Где достигается наибольшее значение — в критической точке или на границе? Запиши одним словом.

Подсказка. Посчитай значения в x = 2, x = 0 и x = 5.

Как решать. f(2) = −16, f(0) = 0, f(5) = 65: наибольшее значение 65 достигается на правом конце отрезка.

Ответ: граница

Пример 4. Найди наименьшее значение функции y = (x − 2)² + 9.

Подсказка. Квадрат выражения не бывает меньше нуля.

Как решать. Квадрат неотрицателен и обнуляется при x = 2, поэтому наименьшее значение равно 9.

Ответ: 9

Пример 5. Найди наибольшее значение функции y = 9x − x² на отрезке от 0 до 3.

Подсказка. Проверь знак производной на отрезке.

Как решать. Производная 9 − 2x на всём отрезке положительна, функция растёт, максимум в правом конце x = 3: 9·3 − 9 = 9 + 9 + 9 − 9.

Ответ: 18

Пример 6. Найди наименьшее значение функции y = (x − 4)² + 8.

Подсказка. Квадрат выражения не бывает меньше нуля.

Как решать. Квадрат неотрицателен и обнуляется при x = 4, поэтому наименьшее значение равно 8.

Ответ: 8

Пример 7. Найди наибольшее значение функции y = 8x − x² на отрезке от 0 до 3.

Подсказка. Проверь знак производной на отрезке.

Как решать. Производная 8 − 2x на всём отрезке положительна, функция растёт, максимум в правом конце x = 3: 8·3 − 9 = 8 + 8 + 8 − 9.

Ответ: 15

Пример 8. Найди наименьшее значение функции y = (x − 6)² + 2.

Подсказка. Квадрат выражения не бывает меньше нуля.

Как решать. Квадрат неотрицателен и обнуляется при x = 6, поэтому наименьшее значение равно 2.

Ответ: 2

Пример 9. Найди наименьшее значение функции y = (x − 5)² + 3.

Подсказка. Квадрат выражения не бывает меньше нуля.

Как решать. Квадрат неотрицателен и обнуляется при x = 5, поэтому наименьшее значение равно 3.

Ответ: 3

Вопрос 1. У функции f(x) = x³ − 3x сколько нулей у производной 3x² − 3?

Ответ: 2

Пояснение. 3x² = 3 даёт x = 1 и x = −1 — две критические точки, но на отрезке [0; 2] лежит только одна.

Вопрос 2. Где достигается наибольшее значение функции y = x² на отрезке [1; 3]?

Ответ: в точке x = 3

Пояснение. Вершина x = 0 вне отрезка, функция на отрезке возрастает, поэтому максимум в правом конце: 3² = 9.

Вопрос 3. Критическая точка всегда является точкой экстремума.

Ответ: Неверно

Пояснение. Нет: у y = x³ производная обнуляется в нуле, но функция монотонно растёт и экстремума нет.

Вопрос 4. Что обязательно сравнивают при поиске наибольшего значения на отрезке?

Ответ: значения в критических точках внутри отрезка; значения на концах отрезка

Пояснение. Рекорд сидит либо во внутренней критической точке, либо на границе — других кандидатов нет.

Вопрос 5. Расставь шаги алгоритма по порядку.

Ответ: найти производную → решить уравнение производная равна нулю → вычислить значения на концах отрезка → сравнить полученные числа

Пояснение. Производная, нули внутри отрезка, значения с границами, финальное сравнение — классическая цепочка.

Вопрос 6. Сопоставь термин и его смысл.

Пояснение. Критические точки шире стационарных: к нулям производной добавляются точки, где производной нет.

Вопрос 7. Дополни.

Ответ: производную → границах

Пояснение. Производная даёт кандидатов, а сравнение с границами гарантирует настоящий рекорд.